Modélisation de l'écoulement des dépôts à vue : cas des banques commerciales camerounaise

I-4. Estimation

Considérons un processus centré ARMA (p, q), solution stationnaire et inversible de l'équation

p q X t - E? i X t - i = åt - i t i

,

i = 1 i=1

où å_t est un bruit blanc de variance 2

ó

Un processus Xt est dit inversible s'il existe un autre processus Yt tel qu'on ait XtYt = 1. On dispose de données X = (Xl , ...,XT)^'.

Dans ce paragraphe, nous considérons l'estimation des paramètres 2

ó , ? 1 ,..., ? p , è ₁ ,..., è _q .

Notons X , la moyenne arithmétique des données. On peut estimer ã (h) =Cov( Xt,,Xt-h) Par

T

ã ( ) ( )( )

1

h = X X X X h

- - , 0,

=

i i h

-

T i = h+1

Et

Par

ñ ( h ) = ã( h) ã( 0)^,

( h ) ₌ãà( h)

ãà ( 0)

.

à

ñ

On pose ãà ( - h ) = ãà ( h).

Les estimations ? à 1 , . . . , ? à p de ? ₁,..., ? p peuvent être obtenues en résolvant le système de p équations linéaires :

p

13( q + j )- E0 13( q + + 0= 0, j =1,..., p.

i =1 i

Pour ce qui est de l'estimation des è_i , on emploiera les autocorrélations inverses ñ_i (h) qui sont, par définition, les autocorrélations du processus dual ARMA (q, p) défini par l'équation

è ( B ) X_t = ö( B) å_t. Les è_i sont donc solutions des équations

q

A.

,( p + j )- Lè i i3i( p + j + 0= 0 pour tout

i

=

1

I-5. Vérification.

Les tests que l'on fait subir au modèle sont de deux types: les tests concernant les paramètres ? i et è _i du modèle

et ceux concernant les hypothèses faites sur å

· Tests concernant les paramètres

Pour comparer une formulation ARMA (p, q) avec une formulation ARMA (p1, q1), il est commode de se placer dans le cas où l'un des modèles est un cas particulier de l'autre. On suppose dans la suite que l'on part d'un modèle ARMA (p, q) et que l'on examine les tests correspondant à diverses valeurs de p1, q1 .

° pl = p-1, ql =q.

Il s'agit ici de voir s'il est possible de diminuer d'une unité le nombre de retards intervenant dans la

partie autorégressive. Ceci revient à tester la significativité du coefficient ?_p ce qui peut être fait

au moyen' d'un test de type Student.

° pl = p+1, ql =q.

Il s'agit de voir s'il est nécessaire d'introduire un retard supplémentaire dans la partie autorégressive. Il faut alors

estimer un modèle ARMA (p1, q1)=ARMA (p+1, q) et tester dans ce second modèle la nullité de ?p + 1 . Ceci nous ramène évidemment au cas précédent.

· Test concernant les résidus

Il est question ici de savoir si les hypothèses de normalité et de bruit blanc sont satisfaites. ° Test « portmanteau »

C'est un test concernant le bruit blanc.

Ce test est fondé sur la statistique:

k

Q N ñ

= à

2 [ ]

å ?

,

h

h = 1

ñà _h [ ^å? ] étant la corrélation empirique entre les résidus (distants de h).

à

ñ_h

T

[ ] [ ] ₀ [ ] [ ] ( )( )

1

å ã å ã å

? = ? ?

à / à avec ã å

.

à ? = å å å - å

- -

h h t t h

T t h

= + 1

On montre que, sous l'hypothèse d'indépendance des å_t , Q suit asymptotiquement (quand N? 8) une loi du 2

÷ à

K - p - q degrés de liberté; on refuse donc l'hypothèse d'indépendance, au niveauá .

Q > 2

÷ 1 - á [k - p- q] .

° Test de Jarque et Bera Il s'agit là d'un test de normalité.

k

n

1/ 2

Soit ( )

ì le moment centré empirique d'ordre k, le coefficient de Skewness ( )

= â₁ est égal

X X

-

k i

i= 1

ì à: ( ) â1 = 3 1/ 2 ì 3/ 2 2

et le coefficient de Kurtosis

â

ì₄

2 2

ì 2 .

Si la distribution est normale et le nombre d'observations grand (n>30) :

6 24

( )

â₁ ? 2

1/ 2 N 0; et â? N3; cf. Régis BOURBONNAIS dans « Manuel et exercices corrigés,

n n

Econométrie ».

Si ( )

â₁ et â₂ obéissent à des lois normales alors la quantité

1/ 2

Modélisation de l'écoulement des dépôts à vue : Cas des banques commerciales du Cameroun

s = ( )2

n n

â + â - suit un x² à deux degrés de liberté.

2 3

1

6 24

Donc si s > 2

x1 _-á (2), on rejette l'hypothèse H0 de normalité des résidus au seuil á .