I-2/- Le modèle d'évaluation des actifs
financiers MEDAF
Appelé « Capital Asset-Pricing
Model» le modèle d'équilibre des actifs
financiers (MEDAF) de Sharpe (1964), Lintner
(1965), Mossi (1966) et Black
(1972) est l'un des résultats centraux de la
théorie financière moderne il constitue l'un des paradigmes
dominants de la finance moderne depuis sa validation empirique par
Black, Jensen et Scholes (1972) et par Famad et
Macbeth (1973). Ce modèle est incontestablement le modèle
d'évaluation le plus connu et utilisé menant à une
conclusion facilement compréhensive, à savoir la
rentabilité moyenne d'un actif financier est d'autant plus importante
que le bêta est élevé. Il existe donc une relation
linéaire entre les rentabilités espérées
excédentaires (par rapport au taux sans risque) de chaque titre et la
rentabilité espérée excédentaire du marché.
Ce portefeuille du marché dont la construction relève des
modèles de décision de portefeuille a pour représentation
approximative, l'indice boursier. Le MEDAF est un Modèle qui explique
les taux de rentabilité des différents actifs, en fonction de
leur risque.
I-2-1/-Hypothèses du modèle
-Les investisseurs composent leurs portefeuilles en se
préoccupant exclusivement de l'espérance et de la
variance de rendement de ces derniers.
-Les investisseurs sont averses au
risque: ils n'aiment pas le risque et cherchent à
maximiser l'utilité espérée de leur richesse en fin de
période ; le modèle est donc un modèle de
période.
-La période d'investissement est
la même pour tous les investisseurs.
-Les marchés sont parfaits: il n'y a pas de
coûts de transaction, ni de taxes pour les dividendes et les gains en
capitaux; les actifs sont tous négociables et divisibles à
l'infini.
-De nombreux acheteurs et vendeurs interviennent sur le
marché et aucun d'entre eux ne peut avoir d'influence sur les prix.
-Tous les investisseurs peuvent prêter ou
emprunter le montant qu'ils souhaitent au taux sans risque, sans
limitation.
-Les anticipations des différents
investisseurs sont homogènes au sujet des retours d'actifs car
il y a symétrie d'information, les investisseurs ont la même
information en même temps, disposent d'opportunités identiques.
I-2-2/-Présentation du modèle
Le Capital Asset Pricing Model (CAPM) ou MEDAF est
défini par la formule suivante :
Cette équation est interprétée de la
façon suivante :
À l'équilibre, le taux de rendement de tout
actif est égal au taux de rendement de l'actif sans risque
augmenté d'une prime de risque. Cette prime est égale au prix du
risque multiplié par la quantité de risque, suivant la
terminologie du CAPM. Le prix du risque est la différence entre le taux
de rendement attendu du portefeuille de marché, et la rentabilité
de l'actif sans risque. La quantité de risque, appelée beta ( le
même beta défini dans le modèle du marché).
Beta est donc égale à la covariance entre le
rendement de l'actif i et le rendement du portefeuille de marché,
divisée par la variance du portefeuille de marché. L'actif sans
risque a donc un bêta nul et le portefeuille de marché un
bêta égal à un. Le bêta ainsi défini est celui
qui apparaissait déjà dans le modèle de marché
empirique de Sharpe.
On introduit   dans la formule on obtient
    , (A) avec:
E(Ri) : le rendement espéré de
l'actif i ;
  : Le rendement espéré du portefeuille de marché
;
  : Taux d'intérêt de l'actif sans risque ;
  : le bêta de l'actif i, il est égal à la covariance
entre le rendement du titre et le rendement du portefeuille.
La relation (A) est appelée Modèle
d'évaluation des actif financiers (MEDAF) ou Capital Asset Pricing Model
(CAPM).
Cette équation s'applique aussi dans le cas d'un
portefeuille composé de plusieurs titres, soit :
  , (B)
D'après la relation (A), si deux titres ont deux
bêtas différents, leur rendement moyen attendu sera
différent. Autrement dit, le terme   de l'équation (B) et (A) doit être positif. Le rendement
espéré de tout portefeuille risqué est une fonction
positive de son bêta. L'investisseur ne va accepter d'acheter une action
que si son rendement attendu est performant au point de compenser son risque
systématique. Sinon, il ne détiendrait que les actifs non
risqués. Ce comportement s'appuie sur la décomposition du risque
total d'une action en risque systématique et risque spécifique.
Celle-ci admet que, dans un portefeuille bien diversifié, seul le risque
systématique persiste. Et c'est justement le bêta, correspondant
à la pente de la droite dans les équations (A) et (B), qui mesure
la sensibilité (réactivité) du rendement moyen d'un titre
aux mouvements du marché.
Le modèle de Sarpe-Lintner-Black
(SLB) se distingue du modèle de marché
notamment par l'existence d'une prime de risque (apport fondamental pour les
investisseurs), mais aussi de la notion d'équilibre. Nous ramenons
à trois principales implications :
- La relation entre le rendement
espéré d'un actif et son risque systématique est
linéaire ;
- âi, le risque systématique de
l'actif i est une mesure complète du risque de cet actif ;
- Dans un marché ou les investisseurs ont une certaine
pulsion pour le risque, la relation entre la rentabilité
espérée et le risque est positive. Il est important de souligner
que pour Sharpe, Treynor et Lintner (1960) cités par GOFFIN
(1999) la relation entre rendement et risque non
diversifiable est valable pour n'importe quel portefeuille efficient ou non
efficient et pour n'importe quel titre isolé. La démonstration de
la relation se fait en deux étapes :
* 1er, on montre qu'il existe une relation pour les
portefeuilles efficients.
* 2e, on montre que la relation qui existe pour les
portefeuilles efficients est également vraie pour tous les actifs
financiers.
Les portefeuilles efficients sont des combinaisons du titre
sans risque (prêt ou emprunt au taux sans risque  ) et du portefeuille de marché M. L'espérance de rendement
d'un
portefeuille efficient
est une moyenne pondéré   et de  .
On désigne par    la fraction du portefeuille investie en titre sans risque et par   celle qui est investie en portefeuille de marché.
 
Le risque non diversifiable des portefeuilles efficients est
une moyenne pondérée du bêta du titre sans risque
(bêta= 0) et du bêta du portefeuille de marché (bêta =
1).
Le bêta d'un portefeuille efficient est donc une moyenne
pondérée de 0 et de 1
  D'où  
Le bêta d'un portefeuille efficient est donc égal à la
fraction du portefeuille investie dans le portefeuille de marché.
En reportant la valeur de   dans (1), on aura :
  (2)
Il s'agit
d'une relation linéaire de la forme   entre l'espérance de rendement du portefeuille efficient   et le risque non diversifiable mesuré par   .
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