Etude numérique par la méthode des éléments finis de l'écoulement d'un fluide a travers un milieu poreux homogène

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ETUDE NUMERIQUE PAR LA METHODE DES ELEMENTS
FINIS DE L'ECOULEMENT D'UN FLUIDE A TRAVERS UN
MILIEU POREUX HOMOGENE

ANDRIAMALALA Lalao Richard Julien ⁽¹⁾, RAMAHALEOHARINJATO Jeremia ⁽²⁾

1) Université d'Antananarivo, Ecole Supérieure Polytechnique, Ecole Doctorale Ingénierie et Géosciences, Equipe d'Accueil Doctorale Hydraulique et Aménagement, Antananarivo 101, Madagascar

2) Université d'Antananarivo, Faculté des Sciences, EAD Géoressources - Géotechniques - Environnement, Antananarivo 101, Madagascar

RESUME

Cette étude nous permet de connaitre l'écoulement souterrain à travers une digue en terre ou barrage en terre. Le but de ce travail est de calculer les vitesses de l'eau dans le milieu poreux en tout point de la digue par la méthode des éléments finis.

D' après le résultat obtenu, on constate que la méthode des éléments finis est le meilleur parce que le débit à la sortie de la digue est très petit par rapport au débit à l'entrée et quand on applique le calcul de débit par la méthode de Darcy, on trouve que ces deux débits sont presque les mêmes.

Mots clés : digue - porosité - viscosité - NAVIER STOKES - interpolation - polynomiale - GMSH - GALERKIN.

ABSTRACT

This book allows us to know the groundwater flow through an earth dam or an earth barrage. The purpose of this study is calculate the speed of the water in the porous medium at any point of the dam by the finite element method.

According to the result obtained, we find that finite element method is the best because the outlet flow of the dam is very small compared to the flow at the inlet, and when applying the flow calculation by the method of Darcy, we find that these two flow rates are nearly the same.

Key words : dam - porosity - viscosity - NAVIER STOKES - polynomial - interpolation - GMSH - GALERKIN.

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SOMMAIRE

1. INTRODUCTION 3

2. METHODOLOGIE 4

3. METHODE DES ELEMENTS FINIS 5

3.1. MAILLAGE PAR GMSH 5

3.2. DISCRETISATION GEOMETRIQUE DES ELEMENTS DE CROUZEIX

RAVIART 5

3.3. FONCTION DE FORME 6

3.4. INTERPOLATION DE L'EQUATION DE NAVIER STOKES 7

4. RESULTATS ET INTERPRETATION 9

4.1. RECUPERATION DE COORDONNEES EN TOUS POINTS AUX NOEUDS

PRINCIPAUX D'UNE MAILLE 9

4.2. ALGORITHME DE CALCUL DE Ke, Be, ET LES VITESSES 11

4.3. TABLEAU RECAPITULATIF DES VITESSES POUR POROSITE e=0.5 13

4.4. TABLEAU RECAPITULATIF DES VITESSES POUR POROSITE e=0.2 13

4.5. DEBIT TRAVERSANT LE PAROI AMONT 14

5. CONCLUSION 16

BIBLIOGRAPHIE 17

LISTE DES FIGURES

Figure 1 : Maillage par GMSH 5

Figure 2 : Algorithme de calcul des matrices des éléments finies 11

Figure 3 : Algorithme de calcul de vitesses 12

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1 : Elements de Crouzeix Raviart 6

Tableau 2 : Equation de forme de type 9 noeuds 7

Tableau 3 : Elément de type 07 noeuds 7

Tableau 4 : Coordonnées des tous les noeuds 9

Tableau 5 : Nombre de maille 10

Tableau 6 : Vitesse dans tous les noeuds e = 0,5 13

3

Tableau 7 : Vitesse dans tous les noeuds e = 0,2 13

1. INTRODUCTION

De nombreuses digues en terre à Madagascar ont subi de rupture ou de brèche sous l'effet des crues. Avant de chercher les solutions adéquates face à ce problème, il est nécessaire de mener des études approfondies sur le régime de l'écoulement à travers le milieu de cette digue.

Ces milieux, qui doivent être poreux, sont constitués d'une matrice solide et d'une phase complémentaire de liquide. L'écoulement en milieu poreux est la circulation de phase complémentaire à l'intérieur de pores de la matrice ou dans le VER (Volume Elémentaire Représentatif). Dans beaucoup des cas, on observe de circulation de l'eau à l'intérieur de la matrice solide.

On considère le fluide comme un ensemble de plusieurs particules, et on étudie leurs mouvements dans les pores. Puisque le fluide est soumis à des forces de répulsion et des forces d'attraction sous forme d'agitation intermoléculaire, ceux-ci engendrent des forces de viscosité (forces de frottement) entre le fluide. Causé par ces forces de frottement, l'écoulement à travers un milieu poreux devient très faible, ce qui implique une vitesse très faible. Ce phénomène apparaît sur le fluide à l'intérieur d'une digue en terre et d'un barrage en terre.

L'objectif de ce thème qui s'intitule "Etude par la méthode des éléments finis de l'écoulement d'un fluide dans un milieu poreux" est de déterminer la vitesse dans ce milieu poreux puis de calculer la pression à l'intérieur de la digue.

Ces grandeurs peuvent être obtenues en résolvant l'équation différentielle non linéaire de NAVIER STOKES. En effet, la détermination de solutions de l'équation de NAVIER STOKES donne l'équation de mouvement de fluide et du solide à l'intérieur de massif poreux. Avec la loi de comportement on peut estimer la contrainte de déformation et de trouver la pression et le tenseur de vitesse sur ce massif.

Mais, il n'y a pas de solution analytique concrète pour l'équation différentielle de NAVIER STOKES. Dans ce cas, ce travail propose de résoudre par la méthode des éléments finis cette équation afin de trouver numériquement les réseaux

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d'écoulement réel dans le VER. Notons que la méthode des éléments finis est issue de la méthode de GALERKIN. Ce calcul numérique s'effectue par l'introduction dans la formulation intégrale une solution approchée sous forme de polynôme et de les appliquer sur chaque maillage du milieu par interpolation nodale.

L'interpolation nodale consiste à déterminer chaque point de l'espace à partir d'un autre point connu avec l'équation de la ligne reliant les deux points. Dans un système de coordonnées, cette ligne représente la fonction appelée fonction d'interpolation (ou fonction de forme). Cette constatation peut s'appliquer aussi sur plusieurs points reliés les uns aux autres par des courbes dont on connaît leurs équations mathématiques.

Les fonctions de forme sont des fonctions polynomiales qui permettent de calculer par interpolation à partir de coordonnées de noeuds de maillage et en passant par l'élément de référence tous les points à l'intérieur du domaine.

De plus, en éléments finis, les grandeurs physiques sont approximativement liées entre eux par ces mêmes fonctions. Dans ce cas on parle des éléments iso paramétriques. Même chose pour le champ de vitesse et de pression.

2. METHODOLOGIE

Pour le calcul en éléments finis, on applique la méthode suivante:

> On décompose le domaine d'étude "O" en éléments dû appelé discrétisation géométrique. Le meilleur compromis actuel pour la mécanique des fluides est les éléments de CROUZEIX RAVIART. Ces éléments sont à 7 noeuds pour les triangles et 9 noeuds pour les quadrangles,

> On procède à une interpolation de l'équation de NAVIER STOKES, en passant par l'élément de référence sur l'élément û avec les fonctions de forme de manière à avoir un système d'équations linéaire algébrique. L'interpolation de la vitesse est quadratique. L'interpolation sur la pression est linéaire. La pression est déterminée au centre de l'élément avec ses dérivées. La relation obtenue est appelée formulation variationnelle faible de l'équation de NAVIER STOKES,

> On calcule sur l'élément de référence l'intégrale numérique de l'équation,

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> On dispose les résultats sur la diagonale de matrice notons matrice de rigidité de façon à obtenir une matrice inversible dont sa dimension est définie par le nombre de maillage,

> On résout le système linéaire et on détermine la vitesse et la pression. La vitesse est inconnue sur tous les noeuds. Elle est continue. La pression par contre est affine sur chaque élément, et discontinue d'un élément à l'autre.

3. METHODE DES ELEMENTS FINIS

3.1. MAILLAGE PAR GMSH

Le GMSH est un logiciel qui nous aide de faire le maillage arrangé. Il nous permet aussi de récupérer le nombre de mailles et les coordonnées aux trois (03) noeuds principaux pour le triangle à sept (07) noeuds et les coordonnées secondaires à calculer à partir de coordonnées principales récupérées par les GMSH afin de trouver les vitesses en tous points de chaque noeud.

Figure 1 : Maillage par GMSH

3.2. DISCRETISATION GEOMETRIQUE DES ELEMENTS DE CROUZEIX RAVIART

Les principaux éléments finis utilisés en mécanique des fluides en 2D sont les éléments de Cast3M.

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Tableau 1 : Elements de Crouzeix Raviart

Interpolation vitesse/pression	Elément de référence et élément réel
Elément de type Q9
Elément de type T7

3.3. FONCTION DE FORME

Les fonctions de forme ci-dessous sont des fonctions polynomiales sur les coordonnées de l'élément de référence (0, x, h)

7

Tableau 2 : Equation de forme de type 9 noeuds

Tableau 3 : Elément de type 07 noeuds

3.4. INTERPOLATION DE L'EQUATION DE NAVIER STOKES

3.3.1. FORMULATION INTEGRALE FORTE

On cherche le champ du vecteur vitesse V(x, y) et le champ de pression p(x, y)

définis par les intégrales fortes de l'équation de STOKES avec les conditions aux limites de domaine O

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3.3.2. FORMULATION INTEGRALE FAIBLE

Soient les fonctions des formes respectives N1 et N2 nulles sur les frontières et qui minimisent sous contrainte (car il faut minimiser à la fois la première et la deuxième équation de Navier Stokes).

3.3.3. FORMULATION FAIBLE EN ELEMENTS FINIS

La formulation de l'interpolation en éléments finis de la en intégrale faible devient :

3.3.4. INTERPOLATION PAR LES FONCTIONS DE FORME

L'interpolation avec les fonctions de forme de la formulation en intégrale faible s'écrit

3.3.5. FORME MATRICIELLE

Les écritures sous forme matricielle sont les suivantes sur l'axes ox

9

Sur l'axe Oy

Avec

4. RESULTATS ET INTERPRETATION

4.1. RECUPERATION DE COORDONNEES EN TOUS POINTS AUX NOEUDS PRINCIPAUX D'UNE MAILLE

Voici le tableau qui récupère les coordonnées aux noeuds principaux de la maille. Pour le noeud 1 x1= 0 et y1 = 0.

La maille 18 correspond aux noeuds principaux successifs (3, 12, 9).

Tableau 4 : Coordonnées des tous les noeuds

Noeuds	X	Y
1	0	0
2	6	0
3	1	4
4	5	4
5	5	4
6	1.499	0
7	2.999	0
8	4.499	0
9	2	4

10

10	3	4
11	4	4
12	0.5	2
13	5.499	2
14	1.749	2
15	2.999	2
16	4.249	2

Tableau 5 : Nombre de maille

Mailles	X1et Y1	X2 et Y2	X3 etY3
18	3	12	9
19	9	12	14
20	9	14	15
21	15	10	9
22	10	15	11
23	11	15	16
24	11	16	13
25	14	4	11
26	12	1	6
27	6	14	12
28	14	6	15
29	15	6	7
30	15	7	8
31	8	16	15
32	16	8	13
33	0	13	8

4.2. ALGORITHME DE CALCUL DE Ke, Be, ET LES VITESSES

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Figure 2 : Algorithme de calcul des matrices des éléments finies

12

Figure 3 : Algorithme de calcul de vitesses

13

L'algorithme ci-dessus nous permet de calculer la matrice de rigidité, la matrice de divergence et la matrice des forces en vue de déduire la vitesse à chaque noeud pour une maille et enfin on va faire l'itération pour les mailles successives

4.3. TABLEAU RECAPITULATIF DES VITESSES POUR POROSITE e=0.5

On résume les valeurs des vitesses de chaque noeud dans le tableau ci après. Les résultats obtenus proviennent de la simulation numérique

Tableau 6 : Vitesse dans tous les noeuds e = 0,5

Maille	u1f	u2f	U3f	U4f	u5f	u6f	V1f	v2f	V3f	V4f	v5f	v6f
18	0.0057	1.2733 e-16	0	0	0.0057	0.0057	0.0096	-3.9973 e-16	0	0	0.0096	0.0096
19	0.0067	9.0012 e-17	0	0	0.0067	0.0067		9.0012 e-17			0.0097	0.0097
20	0.0061	8.1756 e-17			0.0061	0.0061	0.0097	-4.0659 e-16			0.0097	0.0097
21	0.0052	1.1619 e-16			0.0052	0.0052	0.0095	-4.0132 e-16			0.0095	0.0095
22	0.0048	1.0809 e-16			0.0048	0.0048	0.0095	-4.0193 e-16			0.0095	0.0095
23	0.0056	7.4545 e-17			0.0056	0.0056	0.0096	-4.0745 e-16			0.0096	0.0096
24	0.0051	6.8572 e-17			0.0051	0.0051	0.0096	6.8572 e-17			0.0096	0.0096
25	4.2716 e -04	9.4433 e-16			4.2716 e-04	4.2716 e-04	0.0090	2.1685 e-15			0.0090	0.0090
26	0.0089	1.7191 e-17			0.0089	0.0089	0.0099	-4.1284 e-16			0.0099	0.0099
27	0.0075	5.7338 e-17			0.0075	0.0075	0.0097	-4.0674 e-16			0.0097	0.0097
28	0.0069	5.2940 e-17			0.0069	0.0069	0.0097	-4.0723 e-16			0.0097	0.0097
31	0.0062	4.7414 e-17			0.0062	0.0062	0.0096	-4.0782 e-16			0.0096	0.0096
32	0.0057	4.3495 e-17			0.0057	0.0057	0.0096	-4.0811 e-16			0.0096	0.0096
33	0.0062	1.1987 e-17			0.0062	0.0062	0.0097	-4.1334 e-16			0.0097	0.0097

4.4. TABLEAU RECAPITULATIF DES VITESSES POUR POROSITE e=0.2 Le tableau suivant montre les vitesses en tout point pour la porosité 0.2

Tableau 7 : Vitesse dans tous les noeuds e = 0,2

Maille	u1f		u2f		U3f		U4f		u5f		u6f		v1f		v2f		V3f		V4f		v5f		v6f
18	7.1558		1.5187		0		0		7.1558		7.1558		0.0090		-2.1051		0		0		0.0090		0.0090
	e-04		e-15						e-04		e-04				e-15
19	0.0027		1.1170		0		0		0.0027		0.0027		0.009		9.0012		0		0		0.0094		0.0094
			e-15										4		e-17
20	0.0022		9.0940		0		0		0.0022		0.0022		0.0093		-4.0659		0		0		0.0093		0.0093
			e-16												e-16
21	5.6822		-2.1407		0		0		5.6822		5.6822		0.009		-2.1407		0		0		0.0090		0.0090
	e -04		e-15						e-04		e-04		0		e-15
22	4.9437		1.0929		0		0		4.9437		4.9437		0.009		-2.1516		0		0		0.0090		0.0090

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	e -04	e-15			e-04	e-04	0	e-15
23	0.0018	6.5577	0	0	0.0018	0.0018	0.0093	-2.2262	0	0	0.0093	0.0093
		e-16						e-15
24	0.0016	6.5577	0	0	0.0016	0.0016	0.0093	-2.2262	0	0	0.0093	0.0093
		e-16						e-15
25	4.2716	9.4433e-	0	0	4.2716	4.2716	0.0090	-2.1685	0	0	0.0090	0.0090
	e-04	16			e-04	e-04		e-15
26	0.0072	2.2813	0	0	0.0072	0.0072	0.0098	-2.2676	0	0	0.0098	0.0098
		e-16						e-15
27	0.0045	7.3294	0	0	0.0045	0.0045	0.0094	-2.1898	0	0	0.0094	0.0094
		e-16						e-15
28	0.0036	5.8842	0	0	0.0036	0.0036	0.0093	-2.2003	0	0	0.0093	0.0093
		e-16						e-15
29	0.0054	1.7112	0	0	0.0054	0.0054	0.0096	-2.2746	0	0	0.0096	0.0096
		e-16						e-15
30	0.0051	0	0	0	0.0051	0.0051	0.0095	-2.2737	0	0	0.0095	0.0095
								e-15
31	0.0029	4.7526	0	0	0.0029	0.0029	0.0092	-2.2129	0	0	0.0092	0.0092
		e-16						e-15
32	0.0025	4.0974	0	0	0.0025	0.0025	0.0092	-2.2170	0	0	0.0092	0.0092
		e-16						e-15
33	0.0036	1.1471	0	0	0.0036	0.0036	0.0094	-2.2800	0	0	0.0094	0.0094
		e-16						e-15

D'après ces valeurs de vitesses aux noeuds obtenues sur le parement aval, on constate qu'il y a de vitesses à la sortie de la digue ou parement aval mais la hauteur de l'eau qu'on accepte sur ce côté (ces valeurs des vitesses d'infiltration) est jusqu' au niveau de 1 m. Le reste est négligeable par rapport à la vitesse qui entre au parement amont.

4.5. DEBIT TRAVERSANT LE PAROI AMONT

4.5.1. DEBIT ENTRANT

C'est le produit de vitesse moyenne et la section de paroi amont de la digue avec le cosinus de la normale et la vitesse moyenne

Dans ce cas, on a pris les valeurs de U=V =0.01 m/s comme vitesse d'infiltration

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4.5.2. DEBIT SORTANT

Le débit sortant Qs, c'est le produit de vitesse moyenne et la section de paroi aval de la digue avec le cosinus de la normale et le vitesse moyenne

V=0.0115

Qs= Vmoy x S2 cos 71

Qs=0.0115 x 0.52 x 0.325 Qs=0.002 m3/s

Cette méthode a des valeurs de vitesse à la sortie de parement aval mais le débit sortant devient très faible par rapport au débit entrant.

Le résultat obtenu par cette théorie est plus ou moins fiable car on constate que le débit à la sortie de la digue est égale 0.4 % du débit entrant.

Pour conclure, on trouve que la digue absorbe bien de l'eau c'est à dire la digue est plus imperméable.

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5. CONCLUSION

L'étude de l'écoulement à travers une digue ou barrage en terre est nécessaire puisque l'écoulement souterrain détermine le gabarit de la digue à construire.

Pour la simulation numérique, la présence de l'équation de NAVIER STOKES appliquée dans un milieu poreux nous aide à calculer les vitesses en tous points de la digue par l'intermédiaire du maillage arrangé.

Cette équation n'a pas de résolution analytique concrète mais exige une résolution numérique. Grace à la méthode des éléments finis, on connait les vitesses aux noeuds de chaque maille Dans ce cas, on choisit la maille à sept noeuds pour résoudre ce problème.

Le GMSH est un logiciel simple et opérationnel pour faire le maillage puisqu' il peut récupérer les coordonnées aux noeuds principaux et aux noeuds secondaires. On fait la moyenne de deux noeuds aux sommets voisins pour trouver le noeud intermédiaire. Le problème de cette méthode, on ne peut pas tracer la courbe de saturation tandis que son avantage est la faculté de comparer le débit entrant et le débit sortant de la digue.

Ce résultat peut être amélioré au fur et à mesure par d'autres méthodes Donc, on propose aussi d'utiliser d'autres méthodes pour résoudre ce problème de NAVIER STOKES tels que la méthode de volume fini ou d'autre logiciel comme ANSYS à la suite de cette étude et ou bien on augmente le nombre de maille pour avoir un résultat plus performant.

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BIBLIOGRAPHIE

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[2] FEKHART KARIMA, "Simulation Numérique du phénomène d'Infiltration dans un milieu poreux", 2012, page 8-9-10-11

[3] Gérard DEGOUTTE, Paul ROYET, "Aide mémoire de mécanique de sols", page 33 et 34

[4] Josselin DELMAS, " Fonctions de forme et points d'intégration" ,12/09/2013, Page 1-27

[5] Jacques LERAU, " GÉOTECHNIQUE Cours Chapitre 2" 2005 -2006, page 1516

[6] Khaled MEFTAH, "Cours Mécanique des sols " Septembre 2008, page 33, 34

[7] Maxime NICOLAS IUSTI, "ECOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX. Groupe d' écoulements de Particules", Mars 2003, page 25

[8] Ould Amy MAHFOUD, "Modélisation numérique des écoulements et des déformations dans les barrages en terre construits sur des sols mous" 2010, page 22-50-61-62-73-81-82