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ETUDE NUMERIQUE PAR LA METHODE DES ELEMENTS
FINIS DE
L'ECOULEMENT D'UN FLUIDE A TRAVERS UN
MILIEU POREUX HOMOGENE
ANDRIAMALALA Lalao Richard Julien (1),
RAMAHALEOHARINJATO Jeremia (2)
1) Université d'Antananarivo, Ecole Supérieure
Polytechnique, Ecole Doctorale Ingénierie et Géosciences, Equipe
d'Accueil Doctorale Hydraulique et Aménagement, Antananarivo 101,
Madagascar
2) Université d'Antananarivo, Faculté des
Sciences, EAD Géoressources - Géotechniques - Environnement,
Antananarivo 101, Madagascar
RESUME
Cette étude nous permet de connaitre l'écoulement
souterrain à travers une digue en terre ou barrage en terre. Le but de
ce travail est de calculer les vitesses de l'eau dans le milieu poreux en tout
point de la digue par la méthode des éléments finis.
D' après le résultat obtenu, on constate que la
méthode des éléments finis est le meilleur parce que le
débit à la sortie de la digue est très petit par rapport
au débit à l'entrée et quand on applique le calcul de
débit par la méthode de Darcy, on trouve que ces deux
débits sont presque les mêmes.
Mots clés : digue - porosité - viscosité -
NAVIER STOKES - interpolation - polynomiale - GMSH - GALERKIN.
ABSTRACT
This book allows us to know the groundwater flow through an earth
dam or an earth barrage. The purpose of this study is calculate the speed of
the water in the porous medium at any point of the dam by the finite element
method.
According to the result obtained, we find that finite element
method is the best because the outlet flow of the dam is very small compared to
the flow at the inlet, and when applying the flow calculation by the method of
Darcy, we find that these two flow rates are nearly the same.
Key words : dam - porosity - viscosity - NAVIER STOKES -
polynomial - interpolation - GMSH - GALERKIN.
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SOMMAIRE
1. INTRODUCTION 3
2. METHODOLOGIE 4
3. METHODE DES ELEMENTS FINIS 5
3.1. MAILLAGE PAR GMSH 5
3.2. DISCRETISATION GEOMETRIQUE DES ELEMENTS DE CROUZEIX
RAVIART 5
3.3. FONCTION DE FORME 6
3.4. INTERPOLATION DE L'EQUATION DE NAVIER STOKES 7
4. RESULTATS ET INTERPRETATION 9
4.1. RECUPERATION DE COORDONNEES EN TOUS POINTS AUX NOEUDS
PRINCIPAUX D'UNE MAILLE 9
4.2. ALGORITHME DE CALCUL DE Ke, Be, ET LES VITESSES 11
4.3. TABLEAU RECAPITULATIF DES VITESSES POUR POROSITE e=0.5
13
4.4. TABLEAU RECAPITULATIF DES VITESSES POUR POROSITE e=0.2
13
4.5. DEBIT TRAVERSANT LE PAROI AMONT 14
5. CONCLUSION 16
BIBLIOGRAPHIE 17
LISTE DES FIGURES
Figure 1 : Maillage par GMSH 5
Figure 2 : Algorithme de calcul des matrices des
éléments finies 11
Figure 3 : Algorithme de calcul de vitesses 12
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1 : Elements de Crouzeix Raviart 6
Tableau 2 : Equation de forme de type 9 noeuds 7
Tableau 3 : Elément de type 07 noeuds 7
Tableau 4 : Coordonnées des tous les noeuds 9
Tableau 5 : Nombre de maille 10
Tableau 6 : Vitesse dans tous les noeuds e = 0,5 13
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Tableau 7 : Vitesse dans tous les noeuds e = 0,2 13
1. INTRODUCTION
De nombreuses digues en terre à Madagascar ont subi de
rupture ou de brèche sous l'effet des crues. Avant de chercher les
solutions adéquates face à ce problème, il est
nécessaire de mener des études approfondies sur le régime
de l'écoulement à travers le milieu de cette digue.
Ces milieux, qui doivent être poreux, sont
constitués d'une matrice solide et d'une phase complémentaire de
liquide. L'écoulement en milieu poreux est la circulation de phase
complémentaire à l'intérieur de pores de la matrice ou
dans le VER (Volume Elémentaire Représentatif). Dans beaucoup des
cas, on observe de circulation de l'eau à l'intérieur de la
matrice solide.
On considère le fluide comme un ensemble de plusieurs
particules, et on étudie leurs mouvements dans les pores. Puisque le
fluide est soumis à des forces de répulsion et des forces
d'attraction sous forme d'agitation intermoléculaire, ceux-ci engendrent
des forces de viscosité (forces de frottement) entre le fluide.
Causé par ces forces de frottement, l'écoulement à travers
un milieu poreux devient très faible, ce qui implique une vitesse
très faible. Ce phénomène apparaît sur le fluide
à l'intérieur d'une digue en terre et d'un barrage en terre.
L'objectif de ce thème qui s'intitule "Etude par
la méthode des éléments finis de l'écoulement d'un
fluide dans un milieu poreux" est de déterminer la vitesse dans
ce milieu poreux puis de calculer la pression à l'intérieur de la
digue.
Ces grandeurs peuvent être obtenues en résolvant
l'équation différentielle non linéaire de NAVIER STOKES.
En effet, la détermination de solutions de l'équation de NAVIER
STOKES donne l'équation de mouvement de fluide et du solide à
l'intérieur de massif poreux. Avec la loi de comportement on peut
estimer la contrainte de déformation et de trouver la pression et le
tenseur de vitesse sur ce massif.
Mais, il n'y a pas de solution analytique concrète pour
l'équation différentielle de NAVIER STOKES. Dans ce cas, ce
travail propose de résoudre par la méthode des
éléments finis cette équation afin de trouver
numériquement les réseaux
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d'écoulement réel dans le VER. Notons que la
méthode des éléments finis est issue de la méthode
de GALERKIN. Ce calcul numérique s'effectue par l'introduction dans la
formulation intégrale une solution approchée sous forme de
polynôme et de les appliquer sur chaque maillage du milieu par
interpolation nodale.
L'interpolation nodale consiste à déterminer chaque
point de l'espace à partir d'un autre point connu avec l'équation
de la ligne reliant les deux points. Dans un système de
coordonnées, cette ligne représente la fonction appelée
fonction d'interpolation (ou fonction de forme). Cette constatation peut
s'appliquer aussi sur plusieurs points reliés les uns aux autres par des
courbes dont on connaît leurs équations mathématiques.
Les fonctions de forme sont des fonctions polynomiales qui
permettent de calculer par interpolation à partir de coordonnées
de noeuds de maillage et en passant par l'élément de
référence tous les points à l'intérieur du
domaine.
De plus, en éléments finis, les grandeurs physiques
sont approximativement liées entre eux par ces mêmes fonctions.
Dans ce cas on parle des éléments iso paramétriques.
Même chose pour le champ de vitesse et de pression.
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