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Etude numérique par la méthode des éléments finis de l'écoulement d'un fluide a travers un milieu poreux homogène


par Lalao Richard Julien ANDRIAMALALA
Université d’Antananarivo - Diplôme d'études approfondies 2015
  

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ETUDE NUMERIQUE PAR LA METHODE DES ELEMENTS
FINIS DE L'ECOULEMENT D'UN FLUIDE A TRAVERS UN
MILIEU POREUX HOMOGENE

ANDRIAMALALA Lalao Richard Julien (1), RAMAHALEOHARINJATO Jeremia (2)

1) Université d'Antananarivo, Ecole Supérieure Polytechnique, Ecole Doctorale Ingénierie et Géosciences, Equipe d'Accueil Doctorale Hydraulique et Aménagement, Antananarivo 101, Madagascar

2) Université d'Antananarivo, Faculté des Sciences, EAD Géoressources - Géotechniques - Environnement, Antananarivo 101, Madagascar

RESUME

Cette étude nous permet de connaitre l'écoulement souterrain à travers une digue en terre ou barrage en terre. Le but de ce travail est de calculer les vitesses de l'eau dans le milieu poreux en tout point de la digue par la méthode des éléments finis.

D' après le résultat obtenu, on constate que la méthode des éléments finis est le meilleur parce que le débit à la sortie de la digue est très petit par rapport au débit à l'entrée et quand on applique le calcul de débit par la méthode de Darcy, on trouve que ces deux débits sont presque les mêmes.

Mots clés : digue - porosité - viscosité - NAVIER STOKES - interpolation - polynomiale - GMSH - GALERKIN.

ABSTRACT

This book allows us to know the groundwater flow through an earth dam or an earth barrage. The purpose of this study is calculate the speed of the water in the porous medium at any point of the dam by the finite element method.

According to the result obtained, we find that finite element method is the best because the outlet flow of the dam is very small compared to the flow at the inlet, and when applying the flow calculation by the method of Darcy, we find that these two flow rates are nearly the same.

Key words : dam - porosity - viscosity - NAVIER STOKES - polynomial - interpolation - GMSH - GALERKIN.

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SOMMAIRE

1. INTRODUCTION 3

2. METHODOLOGIE 4

3. METHODE DES ELEMENTS FINIS 5

3.1. MAILLAGE PAR GMSH 5

3.2. DISCRETISATION GEOMETRIQUE DES ELEMENTS DE CROUZEIX

RAVIART 5

3.3. FONCTION DE FORME 6

3.4. INTERPOLATION DE L'EQUATION DE NAVIER STOKES 7

4. RESULTATS ET INTERPRETATION 9

4.1. RECUPERATION DE COORDONNEES EN TOUS POINTS AUX NOEUDS

PRINCIPAUX D'UNE MAILLE 9

4.2. ALGORITHME DE CALCUL DE Ke, Be, ET LES VITESSES 11

4.3. TABLEAU RECAPITULATIF DES VITESSES POUR POROSITE e=0.5 13

4.4. TABLEAU RECAPITULATIF DES VITESSES POUR POROSITE e=0.2 13

4.5. DEBIT TRAVERSANT LE PAROI AMONT 14

5. CONCLUSION 16

BIBLIOGRAPHIE 17

LISTE DES FIGURES

Figure 1 : Maillage par GMSH 5

Figure 2 : Algorithme de calcul des matrices des éléments finies 11

Figure 3 : Algorithme de calcul de vitesses 12

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1 : Elements de Crouzeix Raviart 6

Tableau 2 : Equation de forme de type 9 noeuds 7

Tableau 3 : Elément de type 07 noeuds 7

Tableau 4 : Coordonnées des tous les noeuds 9

Tableau 5 : Nombre de maille 10

Tableau 6 : Vitesse dans tous les noeuds e = 0,5 13

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Tableau 7 : Vitesse dans tous les noeuds e = 0,2 13

1. INTRODUCTION

De nombreuses digues en terre à Madagascar ont subi de rupture ou de brèche sous l'effet des crues. Avant de chercher les solutions adéquates face à ce problème, il est nécessaire de mener des études approfondies sur le régime de l'écoulement à travers le milieu de cette digue.

Ces milieux, qui doivent être poreux, sont constitués d'une matrice solide et d'une phase complémentaire de liquide. L'écoulement en milieu poreux est la circulation de phase complémentaire à l'intérieur de pores de la matrice ou dans le VER (Volume Elémentaire Représentatif). Dans beaucoup des cas, on observe de circulation de l'eau à l'intérieur de la matrice solide.

On considère le fluide comme un ensemble de plusieurs particules, et on étudie leurs mouvements dans les pores. Puisque le fluide est soumis à des forces de répulsion et des forces d'attraction sous forme d'agitation intermoléculaire, ceux-ci engendrent des forces de viscosité (forces de frottement) entre le fluide. Causé par ces forces de frottement, l'écoulement à travers un milieu poreux devient très faible, ce qui implique une vitesse très faible. Ce phénomène apparaît sur le fluide à l'intérieur d'une digue en terre et d'un barrage en terre.

L'objectif de ce thème qui s'intitule "Etude par la méthode des éléments finis de l'écoulement d'un fluide dans un milieu poreux" est de déterminer la vitesse dans ce milieu poreux puis de calculer la pression à l'intérieur de la digue.

Ces grandeurs peuvent être obtenues en résolvant l'équation différentielle non linéaire de NAVIER STOKES. En effet, la détermination de solutions de l'équation de NAVIER STOKES donne l'équation de mouvement de fluide et du solide à l'intérieur de massif poreux. Avec la loi de comportement on peut estimer la contrainte de déformation et de trouver la pression et le tenseur de vitesse sur ce massif.

Mais, il n'y a pas de solution analytique concrète pour l'équation différentielle de NAVIER STOKES. Dans ce cas, ce travail propose de résoudre par la méthode des éléments finis cette équation afin de trouver numériquement les réseaux

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d'écoulement réel dans le VER. Notons que la méthode des éléments finis est issue de la méthode de GALERKIN. Ce calcul numérique s'effectue par l'introduction dans la formulation intégrale une solution approchée sous forme de polynôme et de les appliquer sur chaque maillage du milieu par interpolation nodale.

L'interpolation nodale consiste à déterminer chaque point de l'espace à partir d'un autre point connu avec l'équation de la ligne reliant les deux points. Dans un système de coordonnées, cette ligne représente la fonction appelée fonction d'interpolation (ou fonction de forme). Cette constatation peut s'appliquer aussi sur plusieurs points reliés les uns aux autres par des courbes dont on connaît leurs équations mathématiques.

Les fonctions de forme sont des fonctions polynomiales qui permettent de calculer par interpolation à partir de coordonnées de noeuds de maillage et en passant par l'élément de référence tous les points à l'intérieur du domaine.

De plus, en éléments finis, les grandeurs physiques sont approximativement liées entre eux par ces mêmes fonctions. Dans ce cas on parle des éléments iso paramétriques. Même chose pour le champ de vitesse et de pression.

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