Application de série de Fourier à l'intégration de l'équation de la chaleur

Application de série de Fourier à l'intégration de l'Equation de la Chaleur.

Pierre MUKINAYI MUKINAYI

Enseignant chercheur

Université pédagogique de Kananga

République Démocratique du Congo

Résumé

En mathématique, plus précisément en calcul différentiel, une Equation aux dérivées partielles, parfois appelée équation différentielle partielle, qui sera abrégée dans la suite EDP, Il existe plusieurs types d'EDP selon leur ordre. Quant aux EDP linéaires du second ordre qui font l'objet de notre étude, il en existe généralement trois. Malheureusement, il n'existe pas une méthode générale pouvant permettre leur résolution. Suite à cela, dans la plupart des cas, il est extrêmement difficile, voire impossible de montrer les solutions d'une EDP. Dans d'autres cas, on aboutit à montrer que le problème est bien posé, i.e. admet une solution unique et on peut parfois calculer les approximations numériques des solutions.

Les séries trigonométriques et les séries des Fourier constituent deux théories bien distinctes, même si elles ont des liens profonds. Ces deux théories ont pour point de départ les travaux de J.B.J. Fourier sur la propagation de la chaleur dans les solides. Elles ont dû pour cela remonter, dès leur naissance, des multiples objections et obstacles, car le moins qu'on puisse dire est qu'elles ne sont pas faciles, mais les résultats ont des retombés dans les domaines voisins, appliqués (EDP) ou théoriques (topologie et théories des ensembles, intégration, analyse fonctionnelle...).

Après avoir intégré certaines EDP linéaires du second ordre par la méthode de séparation des variables, nous avons trouvé effectivement que leurs solutions s'écrivent comme une fonction sous forme d'une série afin que les conditions aux limites soient vérifiées par la donnée initiale. Par le prolongement de la fonction tout entier en fonction continue, paire ou impaire, et de classe ], alors la fonction prolongée est par morceaux sur tout Ret se développe en série de Fourier avec les coefficients de Fourier inférieurs à , ce qui assure la convergence en tout point l'existence de la solution d'une EDP linéaire du second ordre. De la nature de cette solution, une EDP linéaire du second ordre admet une solution unique par le principe de superposition sont deux solutions d'une EDP, leur somme est aussi solution.

La recherche qualitative axée sur la technique documentaire et celle d'analyse des contenus des ouvrages ou des articles nous a permis d'atteindre l'objectif poursuivi via cet article.

Mots clés : Application ; Série de Fourier ; Intégration ; EDP ; Linéaire ; Ordre.

Abstract

In mathematics, specifically in differential calculus, a partial differential equation, sometimes referred to as a PDE, comes in various forms depending on their order. Regarding second-order linear PDEs, which are the focus of our study, there are generally three types. Unfortunately, there is no universal method for solving them. Consequently, in most cases, it is extremely difficult, if not impossible, to demonstrate solutions for a PDE. In other situations, it becomes possible to show that the problem is well-posed (i.e., it admits a unique solution), and numerical approximations of the solutions can sometimes be calculated.

Trigonometric series and Fourier series are two distinct theories, although they share deep connections. Both theories stem from the work of J.B.J. Fourier on the propagation of heat in solids. From their inception, they encountered numerous objections and challenges, as they are far from simple. Nonetheless, their results have significant applications in neighboring fields, whether applied (PDEs) or theoretical (topology, set theory, integration, functional analysis...).

After solving certain second-order linear PDEs using the method of separation of variables, it was found that their solutions take the form of a function , expressed as a series to satisfy the boundary conditions given by the initial data. By extending the function as a continuous, even or odd, 2L-periodic function, and ensuring is of class on then the extended function is piecewise across and can be expanded as a Fourier series with Fourier coefficients bounded by , which guarantees convergence at every point This establishes the existence of a solution for a second-order linear PDE.

Regarding the nature of this solution, a second-order linear PDE admits a unique solution due to the principle of superpositionThis establishes, if uu and vv are two solutions of a PDE, their sum is also a solution. A qualitative research approach, centered on documentary techniques and analysis of book or article contents, allowed us to achieve the goal pursued through this article.

Keywords: application; Fourier series; integration; PDE; linear; order.

Introduction

Une Equation Différentielle Partielle est équation fonctionnelle qui met en relation des dérivées partielles.

Beaucoup de phénomènes naturels sont modalisés par des équations aux dérivées partielles comme les prévisions météorologiques, les secousses sismiques, les mouvements des océans, ...dans les disciplines scientifiques telles que l'économie, la finance, les sciences médicales, acoustique, aérodynamique, dynamique des fluides, élasticité, géophysique, mécanique, optique, électricité, etc.

Ceci étant, nous avons voulu aussi les appliquer à l'intégration des quelques EDP linéaires. D'où le choix de notre sujet : Application des séries de Fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre.

Ainsi, la problématique de notre recherche se présente de la manière suivante :

v Les séries de Fourier peuvent-elles être applicables à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre ?

v Quelles en sont des solutions et leur nature ?

En utilisant les séries de Fourier, on peut obtenir les solutions de quelques EDP linéaires du second ordre toutefois le domaine fixe qui peut être le carré, le rectangle, le cercle, etc. Et, ces solutions pourront avoir la forme d'une série de Fourier par l'existence et l'unicité de la solution.

INTEGRATION DE L'EQUATION DE LA CHALEUR

Considérons le problème sur l'intervalle [O, L] avec L 0 constitué de l'équation de la chaleur avec les conditions aux limites de type Dirichlet et la condition initiale

Où f est une fonction donnée et K une constante positive.

Pour ce problème, nous cherchons à déterminer des solutions non triviales de la forme où et sont des fonctions de x et t respectivement ayant au moins des dérivées premières et secondes continues.

Etape 1 : En remplaçant dans l'équation on obtient :

Puisque et sont des variables indépendantes, cette relation implique qu'il existe une constante appelée constante de séparabilité telle que :

Comme nous cherchons des solutions ne s'annulant pas identiquement, alors il existe

Conséquemment on obtient :

L'équation conduit au système d'EDOs suivant :

Et

Où est une constante (appelée valeur propres aux problèmes) aux limites.

Etape 2 : Commençons d'abord à résoudre le système . Une solution non triviale de est appelée fonction propre avec la valeur propre (constante de séparation), en distingue 3 cas :

1^er cas : si alors

où sont des constantes arbitraires.

Les conditions aux limites donnent :

De la première équation, on a la seconde équation implique donc :

Alors si , nous obtenons , ceci n'est pas possible car sont différent de 0 et par conséquent

Alors dans ce cas pour tout .

Nous devons donc exclure le cas de

2^èmecas : si nous obtenons

Où sont des constantes arbitraires.

Les conditions aux limites impliquent

Comme , il est claire que , alors dans ce cas et pour tout Nous devons donc exclure ce cas =0.

3^èmecas : alors

Où sont sont des constantes arbitraires.

Les conditions aux limites impliquent

Pour éviter la solution triviale on suppose que Ceci implique que Conséquemment

Il résulte que

Sont des valeurs propres de et les fonctions caractéristiques du problème est :

Comme pour tous il suffit donc de considérer

,

Il reste maintenant à résoudre le problème La solution de ce dernier est donnée par

A la fin de cette étape, nous pouvons considérer qu'on a bien construit une base hilbertienne.

Etape 3 : Utilisons maintenant le principe superposition générale pour générer à partir de et une solution plus générale du problème sous la forme d'une série infinie de solutions séparées. Nous avons ainsi obtenu la suite de solutions séparées :

Par principe de superposition impliquant que toute combinaison linéaire

La fonction est solution de l'équation de la chaleur.

Ceci conduit immédiatement à la question : peut-on écrire une fonction quelconque nulle pour sous la forme d'une série

?

La réponse est positive, comme on va le voir. Pour étudier la possibilité de en série de , on se ramène au cas bien connu des fonctions périodiques. On suppose que est continue sur , avec afin que les conditions aux limites soient vérifiées par la donnée initiale. On commence par prolonger sur en posant pour . Puisque , on peut encore prolonger à tout R en fonction continue, impaire et -périodique. De plus, si est de classe sur la fonction prolongée est par morceaux sur tout R. Avec ces hypothèses sur , le prolongement de , que l'on notera encore , se développe en séries de Fourier selon

Ce qui assure la convergence en tout point Les sont des coefficients de Fourier trigonométriques impaires de , le coefficient paire étant nul car est impaire.

Existence et unicité de la solution de l'équation de la chaleur:

L'analyse menée dans la section précédente permet d'obtenir un candidat solution de l'équation , et donc d'énoncer la proposition suivante :

Proposition 1 : soit avec . On peut prolonger en fonction impaire et périodique, que l'on note encore .

Notons

Son développement en série de Fourier, alors la fonction

est solution du problème avec régularité

Démonstration : posons pour tout

Les fonctions sont de classe sur . comme est continue et par morceaux, la série des coefficients de Fourier converge absolument,

La majoration

Valable pour tout démontre alors la convergence normale de la série de fonction sur cet ensemble. Ainsi, est continue sur

Soient Pour tout on a la majoration

Avec bornée car la série converge, donc, converge vers Nous avons donc la convergence uniforme de toutes les dérivées sur Ainsi est de classe sur pour tout et donc sur On peut alors dériver la série de terme à terme sur cet ensemble, ce qui donne

Pour tout

On peut maintenant se poser la question de l'unicité de la solution. Pour commencer, on annonce un principe de maximum pour l'équation de la chaleur.

Lemme 1 : soit Soit telle que

soient alors

Autrement dit atteint son maximum pour ou et

Démonstration: soit qui vérifie donc Soit un point de où atteint son maximum sur Supposons par absurde que Alors :

· donc, et

· donc,

Ainsi , ce qui contredit Donc, et

En prenant la limite quand on obtient

Théorème 1 (d'unicité) le problème admet une solution unique

Démonstration : soit deux solutions de . Posons alors est aussi solution de et

Fixons puisque entraînent En faisant de même avec on obtient , d'où , pour tout Puis que T est arbitraire, on a bien

Comment calculer les coefficients .

Remarquons:

Par conséquent, les coefficients de Fourier sont donnés par :

Puisque est orthogonale, nous obtenons la formule explicite de la solution formelle, qui est donnée par :

Où

Conclusion

Cette recherche qualitative axée sur la technique documentaire et celle d'analyse des contenus des ouvrages ou des articles scientifiques a été menée afin d'obtenir une solution à l'équation de la chaleur tout en appliquant la série de Fourier.

Toutefois, parl'existence de la solution d'une EDP linéaire du second ordre, une EDP linéaire du second ordre admet, par la nature de sa solution, une solution unique en utilisant le principe de superposition sont deux solutions d'une EDP, leur somme est aussi solution.

Le contenu de cet article pourrait servir la notion d'analyse mathématique sur le calcul des équations aux dérivées partielles qui, par interdisciplinarité, dépend de la série de Fourier.

BIBLIOGRAPHIE

[1] BALAC S. et CHUPIN L., Analyse et Algèbre : cours et exercices corrigés, collections INSA de Lyon, Presses polytechniques et universitaires romandes, 2008.

[2] DIXMIER J., Cours de mathématiques 1èr cycle, Gauthier, 2ème Edition, revu et augmenté, Villars, Paris, 1997

[3] KELLECHE A., Equations de la physique mathématique, MIR, Moscou, 1973

[4] LUBIN Thierry, Equations aux dérivées partielles (EDP) ; méthodes de résolution des EDP par séparation de variables ; Applications, Master, Université de Lorraine, France, 2017.

[5] QUINET J., calcul intégral et séries, Tome 3, 6^ème Ed., Dunod, Paris, 1976

[6] QUINET J., Equations différentielles, Tome4, 6^ème Ed., Dunod, Paris, 1977

[7] REINARD H., EDP : Introduction, Dunod, Paris, 2001

[8] SABIT Souhila, Notions sur les équations aux dérivées partielles, Université IBN KHALDOUN-TIARET, 2017