Résumé
En mathématique, plus précisément en
calcul différentiel, une Equation aux dérivées partielles,
parfois appelée équation différentielle partielle, qui
sera abrégée dans la suite EDP, Il existe plusieurs types d'EDP
selon leur ordre. Quant aux EDP linéaires du second ordre qui font
l'objet de notre étude, il en existe généralement trois.
Malheureusement, il n'existe pas une méthode générale
pouvant permettre leur résolution. Suite à cela, dans la plupart
des cas, il est extrêmement difficile, voire impossible de montrer les
solutions d'une EDP. Dans d'autres cas, on aboutit à montrer que le
problème est bien posé, i.e. admet une solution unique et on peut
parfois calculer les approximations numériques des solutions.
Les séries trigonométriques et les séries
des Fourier constituent deux théories bien distinctes, même si
elles ont des liens profonds. Ces deux théories ont pour point de
départ les travaux de J.B.J. Fourier sur la propagation de la chaleur
dans les solides. Elles ont dû pour cela remonter, dès leur
naissance, des multiples objections et obstacles, car le moins qu'on puisse
dire est qu'elles ne sont pas faciles, mais les résultats ont des
retombés dans les domaines voisins, appliqués (EDP) ou
théoriques (topologie et théories des ensembles,
intégration, analyse fonctionnelle...).
Après avoir intégré certaines EDP
linéaires du second ordre par la méthode de séparation des
variables, nous avons trouvé effectivement que leurs solutions
s'écrivent comme une fonction   sous forme d'une série afin que les conditions aux limites soient
vérifiées par la donnée initiale. Par le prolongement de
la fonction   tout entier en fonction continue, paire ou impaire,   et   de classe  ], alors la fonction prolongée est  par morceaux sur tout Ret se développe en série de Fourier
avec les coefficients de Fourier inférieurs à  , ce qui assure la convergence en tout point   l'existence de la solution d'une EDP linéaire du second ordre. De
la nature de cette solution, une EDP linéaire du second ordre admet une
solution unique par le principe de superposition   sont deux solutions d'une EDP, leur somme est aussi solution.
La recherche qualitative axée sur la technique
documentaire et celle d'analyse des contenus des ouvrages ou des articles nous
a permis d'atteindre l'objectif poursuivi via cet article.
Mots clés : Application ;
Série de Fourier ; Intégration ; EDP ;
Linéaire ; Ordre.
Abstract
In mathematics, specifically in differential calculus, a
partial differential equation, sometimes referred to as a PDE, comes in various
forms depending on their order. Regarding second-order linear PDEs, which are
the focus of our study, there are generally three types. Unfortunately, there
is no universal method for solving them. Consequently, in most cases, it is
extremely difficult, if not impossible, to demonstrate solutions for a PDE. In
other situations, it becomes possible to show that the problem is well-posed
(i.e., it admits a unique solution), and numerical approximations of the
solutions can sometimes be calculated.
Trigonometric series and Fourier series are two distinct
theories, although they share deep connections. Both theories stem from the
work of J.B.J. Fourier on the propagation of heat in solids. From their
inception, they encountered numerous objections and challenges, as they are far
from simple. Nonetheless, their results have significant applications in
neighboring fields, whether applied (PDEs) or theoretical (topology, set
theory, integration, functional analysis...).
After solving certain second-order linear PDEs using the
method of separation of variables, it was found that their solutions take the
form of a function   , expressed as a series to satisfy the boundary conditions given by the
initial data. By extending the function   as a continuous, even or odd, 2L-periodic function, and ensuring   is of class   on   then the extended function is piecewise   across   and can be expanded as a Fourier series with Fourier coefficients
bounded by   , which guarantees convergence at every point   This establishes the existence of a solution for a second-order linear
PDE.
Regarding the nature of this solution, a second-order linear
PDE admits a unique solution due to the principle of superpositionThis
establishes, if uu and vv are two solutions of a PDE, their sum is also a
solution. A qualitative research approach, centered on documentary techniques
and analysis of book or article contents, allowed us to achieve the goal
pursued through this article.
Keywords: application; Fourier series;
integration; PDE; linear; order.
Introduction
Une Equation Différentielle Partielle est
équation fonctionnelle qui met en relation des dérivées
partielles.
Beaucoup de phénomènes naturels sont
modalisés par des équations aux dérivées partielles
comme les prévisions météorologiques, les secousses
sismiques, les mouvements des océans, ...dans les disciplines
scientifiques telles que l'économie, la finance, les sciences
médicales, acoustique, aérodynamique, dynamique des fluides,
élasticité, géophysique, mécanique, optique,
électricité, etc.
Ceci étant, nous avons voulu aussi les appliquer
à l'intégration des quelques EDP linéaires. D'où le
choix de notre sujet : Application des séries de Fourier à
l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre.
Ainsi, la problématique de notre recherche se
présente de la manière suivante :
v Les séries de Fourier peuvent-elles être
applicables à l'intégration de quelques EDP linéaires du
second ordre ?
v Quelles en sont des solutions et leur nature ?
En utilisant les séries de Fourier, on peut obtenir les
solutions de quelques EDP linéaires du second ordre toutefois le domaine
fixe qui peut être le carré, le rectangle, le cercle, etc. Et, ces
solutions pourront avoir la forme d'une série de Fourier par l'existence
et l'unicité de la solution.
INTEGRATION DE L'EQUATION DE LA CHALEUR
Considérons le problème sur l'intervalle [O, L]
avec L  0 constitué de l'équation de la chaleur avec les
conditions aux limites de type Dirichlet et la condition initiale
Où f est une fonction donnée et K une constante
positive.
Pour ce problème, nous cherchons à
déterminer des solutions   non triviales de la forme   où   et   sont des fonctions de x et t respectivement ayant au moins des
dérivées premières et secondes continues.
Etape 1 : En remplaçant  dans l'équation   on obtient :
Puisque   et   sont des variables indépendantes, cette relation implique qu'il
existe une constante   appelée constante de séparabilité telle
que :
Comme nous cherchons des solutions ne s'annulant pas
identiquement, alors il existe
Conséquemment on obtient :
L'équation   conduit au système d'EDOs suivant :
Et
Où   est une constante (appelée valeur propres aux problèmes)
aux limites.
Etape 2 : Commençons d'abord
à résoudre le système  . Une solution non triviale de   est appelée fonction propre avec la valeur propre   (constante de séparation), en distingue 3 cas :
1er cas : si   alors
 
où  sont des constantes arbitraires.
Les conditions aux limites donnent :
De la première équation, on a   la seconde équation implique donc :
  Alors si   , nous obtenons   , ceci n'est pas possible car   sont différent de 0 et par conséquent  
Alors dans ce cas   pour tout   .
Nous devons donc exclure le cas de  
2èmecas : si   nous obtenons
Où   sont des constantes arbitraires.
Les conditions aux limites impliquent
Comme  , il est claire que  , alors dans ce cas   et   pour tout   Nous devons donc exclure ce cas   =0.
3èmecas :   alors
Où   sont sont des constantes arbitraires.
Les conditions aux limites impliquent
Pour éviter la solution triviale   on suppose que   Ceci implique que   Conséquemment
Il résulte que
Sont des valeurs propres de   et les fonctions caractéristiques du problème   est :
Comme   pour tous  il suffit donc de considérer
  ,  
Il reste maintenant à résoudre le
problème   La solution de ce dernier est donnée par
A la fin de cette étape, nous pouvons considérer
qu'on a bien construit une base hilbertienne.
Etape 3 : Utilisons maintenant le
principe superposition générale pour générer
à partir de   et   une solution plus générale du problème sous la
forme d'une série infinie de solutions séparées. Nous
avons ainsi obtenu la suite de solutions séparées :
Par principe de superposition impliquant que toute combinaison
linéaire
La fonction   est solution de l'équation de la chaleur.
Ceci conduit immédiatement à la question :
peut-on écrire une fonction quelconque   nulle pour   sous la forme d'une série
  ?
La réponse est positive, comme on va le voir. Pour
étudier la possibilité de   en série de   , on se ramène au cas bien connu des fonctions
périodiques. On suppose que   est continue sur   , avec   afin que les conditions aux limites soient vérifiées par
la donnée initiale. On commence par prolonger   sur   en posant   pour   . Puisque   , on peut encore prolonger   à tout R en fonction continue, impaire et   -périodique. De plus, si   est de classe   sur   la fonction prolongée est   par morceaux sur tout R. Avec ces hypothèses sur   , le prolongement de   , que l'on notera encore   , se développe en séries de Fourier selon
Ce qui assure la convergence en tout point   Les   sont des coefficients de Fourier trigonométriques impaires de
  , le coefficient paire  étant nul car   est impaire.
Existence et unicité de la solution de
l'équation de la chaleur:
L'analyse menée dans la section
précédente permet d'obtenir un candidat solution de
l'équation  , et donc d'énoncer la proposition suivante :
Proposition 1 : soit
  avec   . On peut prolonger   en fonction impaire et   périodique, que l'on note encore   .
Notons
Son développement en série de Fourier, alors
la fonction
est solution du problème   avec régularité
Démonstration : posons pour tout
 
Les fonctions   sont de classe   sur   . comme   est continue et   par morceaux, la série des coefficients de Fourier converge
absolument,
La majoration
Valable pour tout   démontre alors la convergence normale de la série de
fonction   sur cet ensemble. Ainsi,   est continue sur  
Soient   Pour tout   on a la majoration
Avec   bornée car la série   converge, donc,   converge vers   Nous avons donc la convergence uniforme de toutes les
dérivées   sur   Ainsi   est de classe   sur   pour tout   et donc sur   On peut alors dériver la série de terme à terme
sur cet ensemble, ce qui donne
Pour tout  
On peut maintenant se poser la question de l'unicité de
la solution. Pour commencer, on annonce un principe de maximum pour
l'équation de la chaleur.
Lemme 1 : soit   Soit   telle que
soient   alors
Autrement dit   atteint son maximum pour   ou   et  
Démonstration: soit   qui vérifie donc   Soit   un point de   où   atteint son maximum sur   Supposons par absurde que   Alors :
 ·  donc,   et  
 ·  donc,
Ainsi ,   ce qui contredit   Donc,   et
En prenant la limite quand   on obtient  
Théorème 1
(d'unicité) le problème   admet une solution unique  
Démonstration : soit   deux solutions de  . Posons   alors   est aussi solution de   et
Fixons   puisque   entraînent   En faisant de même avec   on obtient  , d'où  , pour tout   Puis que T est arbitraire, on a bien  
Comment calculer les coefficients  .
Remarquons:
Par conséquent, les coefficients de Fourier sont
donnés par :
Puisque   est orthogonale, nous obtenons la formule explicite de la solution
formelle, qui est donnée par :
Où
Conclusion
Cette recherche qualitative axée sur la technique
documentaire et celle d'analyse des contenus des ouvrages ou des articles
scientifiques a été menée afin d'obtenir une solution
à l'équation de la chaleur tout en appliquant la série de
Fourier.
Toutefois, parl'existence de la solution d'une EDP
linéaire du second ordre, une EDP linéaire du second ordre admet,
par la nature de sa solution, une solution unique en utilisant le principe de
superposition   sont deux solutions d'une EDP, leur somme est aussi solution.
Le contenu de cet article pourrait servir la notion d'analyse
mathématique sur le calcul des équations aux
dérivées partielles qui, par interdisciplinarité,
dépend de la série de Fourier.
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