III.1. Stratégies :
Stratégie d'un market maker :
Un market maker ne peut pas identifier le type d'agent
informé ou non informé.
Dans ce cas c'est la taille de l'ordre qui constitue un signal
pour le market maker : lorsqu'il reçoit un ordre d'achat Q ?
Ql , il peut savoir que l'agent est informé
c'est-à-dire que cet agent donne le signal sur la valeur future du titre
par la façon suivante :
- il achète quand il reçoit l'information V= u
(par conséquent le teneur de marché fixe un prix de vente
A=u).
- il vend quand il reçoit l'information V=d (par
conséquent le teneur de marché fixe un prix d'achat B=d).
En tenant compte de l'information continue dans les ordres
reçus le market maker détermine ses prix. Il choisit ses prix de
façon à maximiser l'espérance de son surplus par rapport
à la taille de l'ordre reçu : max E(surplus / taille de
l'ordre) :
Dans le cas d'un ordre d'achat (Q>0) :
E((Ai-V) . Q \ Q) = (Ai-E(V\Q)) . Q
Dans le cas d'un ordre de vente (Q<0) :
E((Bi-V) . Q \ Q) = (Bi-E(V\Q)) . Q
E(V\Q) constitue le coût de production de la
liquidité pour tous les market maker qui ont la même information
sur la quantité à échanger et les mêmes
anticipations initiales sur V.
La concurrence par les prix oblige les market maker
à pratiquer un prix identique qui annule leur espérance de
surplus.
En cas d'un ordre d'achat : A(Q) = E(V\Q)
En cas d'un ordre de vente : B(Q) = E(V\Q)
Soit P(Q) le prix affiché par les market maker pour un
ordre de taille Q. P(Q) = E(V\Q).
Stratégie d'un agent
informé :
Chaque agent informé neutre au risque se comporte dans
le sens qui maximise son espérance de surplus. Il tient compte de son
information privée et de la réaction du market maker au signal
auquel il l'envoie. Son programme est :
MaxQ E((V-P(Q)) . Q \ V) = (V-P(Q)) . Q
III.2. L'équilibre :
Les stratégies optimales des agents informés et
des market maker sont interdépendantes : les market maker
infèrent l'information à partir de la taille et de la direction
des ordres qu'ils reçoivent. En contre partie l'agent informé
sait qu'il peut influencer la stratégie du market maker à partir
des caractéristiques de l'ordre qu'il va transmettre.
L'équilibre de Nash Bayésien parfait est
établit quand les agents prennent leurs décisions
séquentiellement puisque les agents informés placent leurs ordres
en premier et les teneurs de marché réagissent ensuite.
L'équilibre de Nash Bayésien parfait constitue un couple (P*( . )
, Q*( . )) :
P*(Q) = E(V\Q*)
Q*( . )  Arg
maxQ E((V-P*(Q)) . Q \ V) = (V-P*(Q)) . Q
- La stratégie P*( . ) des market maker est optimale
s'ils considèrent que les agents informés adoptent la
stratégie Q*( . ).
- La stratégie Q*( . ) de l'agent informé est
optimale s'il anticipe que la stratégie des teneurs de marché est
P*( . ).
Ces stratégies constituent un équilibre de Nash
Bayésien parfait :
Q*(u) = Ql et Q*(d) = -
Ql
P*(Q) = u si Q>0 et Q ? Ql
P*(Q) = d si Q<0 et Q ? Ql
P*( . ) peut s'écrire :
P*(Ql) = Ð (+Ql) . u + (1- Ð
(+Ql)) . d
P*(-Ql) = Ð (-Ql) . u + (1- Ð
(-Ql)) . d
Avec : 
et 
Quand : á = 0 , on obtient :
P*(Ql) = P*(-Ql) = Ð . u + (1- Ð) .
d = E(V)
Ce qui implique une fourchette de prix nulle en présence
d'agents non informés.
Quand : á > 0 :
P*(Q) > E(V) > P*(-Q)
Ce qui implique une fourchette non nulle en présence
d'agents non informés.
On remarque que même si les teneurs de marché
adoptent un comportement parfaitement concurrentiel (pour couvrir les
coûts supportés par l'existence des agents non informés)
ils doivent coter une fourchette de prix non nulle.
Les teneurs de marché utilisent le signal contenu dans le
flux d'ordre des agents informés pour déterminer leurs prix.
La hausse de V constitue un signal pour le market maker
lorsqu'il reçoit un ordre d'achat. Donc ils affectent une
probabilité plus élevée (Ð (+Ql)) à
cet événement (V = u) que la probabilité Ð : Ð
(+Ql) > Ð .
Ce qui entraîne un prix de vente supérieur
à E(V) : la valeur fondamentale.
(Par symétrie un prix d'achat inférieur).
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