2.3.2 Rapetissement par la courbure de Menger-Melnikov
Considérons le cas où nous connaissons seulement
quelques points discrets x(pj), i = 1,... , n d'une courbe lisse x(p) (voir la
figure 2-6). En connectant ces points, nous obtenons un n - gons. Quand n - oc
le n - gons n'est rien d'autre que la courbe même.
Il existe un unique cercle circonscrit qui passe par n'importe
quels trois points, non colinéaires, x(pj_1), x(pj),
x(pj+1) où pj_1 < pi <pj+1 sur la
courbe x(p) comme sur la figure 2-7.
R(pi) est le rayon de ce cercle, et Ci(pi) le centre circonscrit.
La quantité 1
R(pi) est appelé la
courbure de Menger-Melnikov et a la propriété
suivante :
lim
pi-1 ,pi+1!pi
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1 R(pi)
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= Ik(pi)I
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FIG. 2-7 - Le cercle circonscrit de 3 points de la courbe
Quand les deux points x(pi_1) et
x(pi_1) sont proches de x(pi) :
C(pi) -- x(pi) R(pi) --*
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8
<>>>
>>>:
|
N(pi) si k(pi) > 0 ou --N(pi) si k(pi) <0
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9
>>>=
;>> >
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et donc : lim
pi1 ,pi+1!pi
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C(pi)_x(pi)
R(pi)2 = k(pi)N(pi).
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Utilisant cette méthode, un schéma discret
analogue au rapetissement de courbe euclidien peut être mis en oeuvre.
Considérons "n" agents z1, z2,.. . z, situés dans un plan
complexe, et formant un n -- gons. pour chaque 3 sommets consécutifs :
zi_1, zi,zi+1, la fonction suivante est définie:
(zi_1--zi-- zi+1 -- zi ~
1
ci = c(zi_1, zi, zi+1) = (2.21)
zi_1 -- zi zi+1 -- zi zi_1 -- zi+1
où zi est le conjugué complexe. zi = xi + jyi = xi
-- jyi.
Dans [1], il a été démontré que lcil
est la courbure de Menger-Melnikov pour les 3 points zi_ 1, zi,
zi+1. Le centre circonscrit est donné par: zi+Ci
jCij2 . Le vecteur normal pour zi est approximé
à
jCij. Et donc, la dynamique de la courbure de Menger-Melnikov
décrit précédemment peut être écrit
Ci
comme suit :
_zi = c(zi_1,zi,zi+1)
Le nombre de liens de communication nécessaires pour
réaliser ce schéma est de 2n, puisque chaque agent zi doit
percevoir les deux agents zi_1 et zi+1:
L'évolution du polygone décrite par ce
système a été étudié dans [11]. Mais vu la
complexité de ce système et du calcul de ci, les résultats
sont limitées. Il a été montré que :
- Un n - gons simple s'écroule en un point dans un temps
fini, et pour n = 4, la plupart des quadrilatérales tendent à des
polygones réguliers en se rétrécissant.
- Quand n est petit, pour un n - gons convexe, il peut exister un
_zi qui ne se dirige pas vers l'intérieur.
- Quand le polygone s'écroule, la vitesse des sommets
_zi devient infiniment grande, car le dénominateur dans ci devient
très petit quand les points se rapprochent. Ceci n'est pas compatible
avec les SMA, où la vitesse doit rester raisonnable.
Vu que les résultats obtenus avec cette méthode
n'étaient pas très satisfaisants (ce qui va être
confirmé avec les résultats de notre simulation au dernier
chapitre), Smith a introduit un nouveau schéma linéaire pour le
rapetissement de polygone.
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