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Stratégie de rendez-vous dans les systèmes multi-agents

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par Imane Méziane Tani
Université Abou bekr Belkaid - Ingénieur en informatique 2007
  

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2.3.2 Rapetissement par la courbure de Menger-Melnikov

Considérons le cas où nous connaissons seulement quelques points discrets x(pj), i = 1,... , n d'une courbe lisse x(p) (voir la figure 2-6). En connectant ces points, nous obtenons un n - gons. Quand n - oc le n - gons n'est rien d'autre que la courbe même.

Il existe un unique cercle circonscrit qui passe par n'importe quels trois points, non colinéaires, x(pj_1), x(pj), x(pj+1) pj_1 < pi <pj+1 sur la courbe x(p) comme sur la figure 2-7.

R(pi) est le rayon de ce cercle, et Ci(pi) le centre circonscrit. La quantité 1

R(pi) est appelé la

courbure de Menger-Melnikov et a la propriété suivante :

lim

pi-1 ,pi+1!pi

1
R(pi)

= Ik(pi)I

FIG. 2-7 - Le cercle circonscrit de 3 points de la courbe

Quand les deux points x(pi_1) et x(pi_1) sont proches de x(pi) :

C(pi) -- x(pi) R(pi) --*

8

<>>>

>>>:

N(pi) si k(pi) > 0
ou
--N(pi) si k(pi) <0

9

>>>=

;>> >

et donc : lim

pi1 ,pi+1!pi

C(pi)_x(pi)

R(pi)2 = k(pi)N(pi).

Utilisant cette méthode, un schéma discret analogue au rapetissement de courbe euclidien peut être mis en oeuvre. Considérons "n" agents z1, z2,.. . z, situés dans un plan complexe, et formant un n -- gons. pour chaque 3 sommets consécutifs : zi_1, zi,zi+1, la fonction suivante est définie:

(zi_1--zi-- zi+1 -- zi ~ 1

ci = c(zi_1, zi, zi+1) = (2.21)

zi_1 -- zi zi+1 -- zi zi_1 -- zi+1

où zi est le conjugué complexe. zi = xi + jyi = xi -- jyi.

Dans [1], il a été démontré que lcil est la courbure de Menger-Melnikov pour les 3 points zi_ 1, zi, zi+1. Le centre circonscrit est donné par: zi+Ci

jCij2 . Le vecteur normal pour zi est approximé à

jCij. Et donc, la dynamique de la courbure de Menger-Melnikov décrit précédemment peut être écrit

Ci

comme suit :

_zi = c(zi_1,zi,zi+1)

Le nombre de liens de communication nécessaires pour réaliser ce schéma est de 2n, puisque chaque agent zi doit percevoir les deux agents zi_1 et zi+1:

L'évolution du polygone décrite par ce système a été étudié dans [11]. Mais vu la complexité de ce système et du calcul de ci, les résultats sont limitées. Il a été montré que :

- Un n - gons simple s'écroule en un point dans un temps fini, et pour n = 4, la plupart des quadrilatérales tendent à des polygones réguliers en se rétrécissant.

- Quand n est petit, pour un n - gons convexe, il peut exister un _zi qui ne se dirige pas vers l'intérieur.

- Quand le polygone s'écroule, la vitesse des sommets _zi devient infiniment grande, car le dénominateur dans ci devient très petit quand les points se rapprochent. Ceci n'est pas compatible avec les SMA, où la vitesse doit rester raisonnable.

Vu que les résultats obtenus avec cette méthode n'étaient pas très satisfaisants (ce qui va être confirmé avec les résultats de notre simulation au dernier chapitre), Smith a introduit un nouveau schéma linéaire pour le rapetissement de polygone.

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