Memoire Online - Choix des portefeuilles: une generalisation de l'approche MV

Ces dernières années, les séries financières sont caractérisées par des faits stylisés tels que la non normalité des rendements des actifs financiers et l'asymétrie négative à cause de l'accroissement de la volatilité. De ce fait, la complexité du marché financier et son comportement imprévisible amènent les investisseurs à quitter la bourse pour investir sur d'autres marchés plus stables. Afin de mettre des limites aux pertes catastrophiques, des modèles récents de choix de portefeuille ont été émis pour réintégrer ces agents dans le marché boursier.

Le modèle Moyenne-Variance de Markowitz (1952) est la base de théorie moderne de choix de portefeuille. L'idée fondamentale de Markowitz étant que les investisseurs choisissent de façon optimale les portefeuilles efficients en minimisant le risque, mesuré par la variance, pour un niveau de rendement espéré.

En pratique, ce modèle est intensivement utilisé pour contrôler le risque et évaluer les portefeuilles. Cependant, le champ d'application du critère Moyenne-Variance est limité parce qu'elle est basée sur la variance comme mesure de risque. En effet, cette dernière n'est pas constante au cours de temps puisqu'elle est fondée sur les taux de rendement qui sont plus élevé au moment des crises et faible lorsque le marché boursier est immobile. Aussi, elle ne donne pas importance aux valeurs négatives des taux rendement parce qu'elle analyse les pertes et les gains de la même manière et n'est valable que dans un univers gaussien. Or comme la loi normale est caractérisée par une queue fine, l'approche classique ne tient pas compte des valeurs extrêmes situées au niveau des queues.

Des études récentes ont montré que les pertes sévères ne sont pas rares puisque les distributions des taux de rendement d'actifs financiers sont asymétriques à queue épaisse (l'hypothèse de normalité est rejetée). De ce fait, des scénarios indésirables et des pertes catastrophiques ne peuvent pas être prise en compte seulement par la variance. Ainsi, des nouvelles mesures des risques sont prises en compte lors des choix des portefeuilles. Du point de vue statistique, une innovation importante apparue est l'attention prêtée à la partie du risque des queues.

Dès 1963, Mandelbrot a montré qu'il y a une nécessité d'employer une mesure de risque de chute du cours à la place de mesure classique pour le choix de portefeuille. Parmi ces mesures, la Value-at-Risk (VaR) et l'Expected Shortfall (ES). La propriété de ces concepts

étant de mesurer le comportement d'un processus pour des niveaux exceptionnellement grands ou petits.

C'est à la fin des années quatre-vingt, que la Value-at-Risk a marquée sa présence pour la première fois sur le marché financier aux Etat Unis par la banque «Bankers Trust», aussitôt, cette mesure devient de plus en plus populaire notamment grâce à la banque Américaine «J P. Morgan» en 1994 et son système « Riskmetrics ».

D'une manière générale, la VaR est une mesure de la perte potentielle maximale que peut subir un portefeuille dont les rendements suivent une loi spécifiée, pour une probabilité donnée sur une période de détention fixée en cas d'évolution défavorable des facteurs du marché.

Ainsi, Rockafellar et Uryasev (2000) ont proposé la mesure ES de perte comme solution pour l'insuffisance du VaR lors de choix du portefeuille. Comparée à la VaR, la CVaR est une mesure cohérente plus générale puisqu'elle mesure les risques au delà de la Value-at-Risk. A cet instar, on peut définir l'Expected Shortfall comme le quantile correspondant à la perte potentielle qui peut subir un titre ou un portefeuille suite à des mouvements défavorables des prix de marché avec un seuil de confiance á donné sachant que cette perte dépasse au moins la VaR.

Nous essayerons dans notre mémoire de présenter les critères de choix de portefeuille en ajoutant une contrainte de type VaR ou CVaR au modèle classique de Markowitz afin de tenir compte des asymétries des distributions des rendements. Le but de l'ajout de cette contrainte est de limiter la perte à un niveau fixé par l'investisseur lui-même. Contrairement aux études antérieures, le risque de portefeuille est contrôlé par deux mesures ; la variance et la VaR ou CVaR.

En conséquence l'objectif de ce travail est : d'examiner l'impact d'ajouter une contrainte VaR ou CVaR au modèle Moyenne-Variance de Markowitz, étudier l'effet d'augmenter le niveau de confiance á et/ou l'intervalle de variation de deuxième contraint (VaR ou CVaR) sur la réduction de perte ainsi analyser la capacité de cette approche à réduire le risque dans le choix des portefeuilles.

Pour atteindre ces objectifs, nous étudierons les hypothèses suivantes ; tout d'abord, les concepts des mesures de risque et de risque de perte, ainsi l'aversion au risque et l'aversion aux pertes. Ensuite, nous concéderons la généralisation de l'approche

Moyenne-Variance de Markowitz en incorporant une deuxième contrainte Value-at-Risk ou Expected Shortfall.

De ce fait, nous commencerons l'étude théorique par le premier chapitre où nous traiterons dans une première cellule, la notion de la fonction d'utilité et la différence entre l'aversion au risque et l'aversion aux pertes. La deuxième sera consacrée au concept de la diversification et la théorie de choix du portefeuille définie par Markowitz.

Dans Le deuxième chapitre, nous analyserons les mesures de risque simples telles que les mesures de Downside et les mesures de dispersion. Cependant, ces mesures restent une simple estimation de risque et ne peuvent pas être une vraie représentation de risque. Pour cela les investisseurs averses au risque ont recherché des nouvelles stratégies pour assurer leurs portefeuilles. Parmi ces approches, nous mentionnerons la théorie de Safety-First de Roy (1952). À la fin de ce chapitre, nous citerons les mesures de risque de perte telle que la Valueat-Risk et l'Expected Shortfall.

La partie empirique sert à étudier quatre approches de choix des portefeuilles. Après avoir présenter l'échantillon de l'étude, nous étudierons l'approche classique. Puis, nous calculerons la VaR paramétrique et la VaR historique. Ainsi, nous traiterons l'approche Moyenne-VaR. Dans la suite, nous étudierons le troisième modèle de sélection de portefeuille, l'approche Moyenne-Variance-VaR. A la fin de cette partie, nous analyserons les implications de choix de portefeuille résultant d'imposer une contrainte de type CVaR au modèle classique Moyenne-Variance.

Introduction

«La théorie moderne du portefeuille», introduite par Markowitz en (1952) présente les concepts de référence en matière du choix de portefeuille et constitue le point de départ d'autre méthodes dites plus complet.

L'objectif de tout investisseur rationnel est de trouver la combinaison optimale d'actifs financiers, composant son portefeuille, qui procure le meilleur rendement possible pour une certaine quantité de risque. Or la réalisation de cet objectif passe par un ensemble des objectifs secondaires classés suivant une méthodologie logique qu'on développera ci-après.

La théorie de l'utilité espérée a dominé l'analyse de la prise de décision sous le risque. Elle a été courante comme modèle normatif du choix raisonnable (Keeney et Raiffa 1976) et largement appliquée comme modèle descriptif du comportement économique (Friedman et Savage 1948). Ainsi, on le suppose que toutes les personnes raisonnables souhaiteraient obéir les axiomes de la théorie du Neumann et Morgenstern (1944) et que la plupart des personnes font réellement, le plus souvent, autrement dit tous les investisseurs sont averse au risque et agirent de tel sorte qu'ils maximiseront leurs utilités espérés.

Ce chapitre s'organise de la façon suivante : la première section nous amène à mieux comprendre certaines notions fondamentales sur la rentabilité et ces différentes classes. Une deuxième section sera consacrée sur le comportement d'investisseur face au risque au sein du quelle nous développerons la notion de la fonction d'utilité et l'aversion aux pertes. La troisième section de ce chapitre se concentre sur le concept de la diversification. Enfin dans la dernière section nous examinerons en profondeur la théorie de choix du portefeuille définie par Markowitz.

I.1 Notion du taux de rentabilité

De nombreux modèles financiers utilisent le taux de rentabilité historique pour estimer les cours futures des actifs financiers et par suite prendre la décision adéquate. On distingue deux types de taux de rentabilité : d'une part, le taux de rentabilité discret dont le flux monétaire procuré par le titre est versé une seule fois à la fin du période, et d'autre part, le taux de rentabilité continue où l'actif financier pourvoit des flux monétaires en continue.

Ce deux taux permettent d'estimer les propriétés stochastiques des rentabilités correspondantes telles que la rentabilité moyenne et la variance.

Pour la rentabilité moyenne on peut mentionner la moyenne arithmétique de taux de rentabilité où n'y a pas une capitalisation des revenus intermédiaires et la moyenne géométrique de taux de rentabilité dont lequel les revenus intermédiaires réinvestissent après chaque versement.

Di, t : les flux monétaires procuré l'actif sur la période t-1 et t (comme le dividende, des intérêts...).

Q : nombre de fois de distribution de flux monétaire pendant une période donnée. n : nombre des périodes.

I.1.1 Taux de rentabilité en temps discret

Le taux de rentabilité d'un actif financier i donné en temps discret, est l'accroissement relatif de cours de cet actif entre deux dates successives, toute en supposant qu'il n'y a pas de flux monétaire distribué au cours de cette période.

Dans ce cas, Ri, t est considéré comme la plus/moins value relative de cours du l'actif i à la date t.

En présence de dividende, le taux de rentabilité est égal à la somme du taux de rentabilité en absence de dividende et le taux de rendement de cet actif.

Également on peut définir le taux de rendement comme le pourcentage de dividende versé à la date t de cours passé de l'actif, c'est-à-dire le rapport entre le cours ancien de l'actif et la dividende versée.

I.1.2 Taux de rentabilité en temps continue

Pour déterminer le taux de rentabilité au temps discret, on suppose que les flux monétaires, procurant par l'actif, sont versés une seule fois à la fin de période, or il est possible d'avoir des titres pourvoyant des flux monétaire en continue, c'est-à-dire durant la période de leur détention. A cet instar, on définie le taux de rentabilité en temps continue comme le taux de capitalisation des flux versés par l'actif.

I.1.3 Moyenne de taux de rentabilité

Afin de mesurer le taux d'accroissement d'un actif financier sur une seule période, on calcule le taux de rentabilité, comme on a cité dans le paragraphe précédent, par contre si on souhaite d'évaluer cet actif sur plusieurs périodes successives, on détermine la rentabilité moyenne. Cette nouvelle notion sert à mesurer l'évaluation exacte du titre sur une maturation plus ou mois longue.

En effet, on distingue deux types de moyenne : la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. La première est utilisée lorsque les revenues intermédiaires ne sont pas réinvesties. Ainsi, son expression est :

Lorsque la rentabilité des actifs est incertaine, on opte le concept de rentabilité espéré qui consiste à estimer la probabilité Pi, d'avoir un tel taux de rentabilité c'est-à-dire la probabilité qu'une rentabilité soit certainement réalisée.

Le deuxième type de moyenne tient compte de capitalisation des flux intermédiaires supportant par l'actif. Cette moyenne est mise en place si les revenus intermédiaires réinvestissent à l'intérêt composé. Autrement dit, lorsque le capital initial augmente, chaque fois, des revenues intermédiaires. Ainsi, son expression est :

Cependant, la moyenne arithmétique de taux de rentabilité peut être égale à la moyenne géométrique uniquement lorsque tous les taux de rentabilité passé et actuel sont équivalents.

I.1.4 Rentabilité d'un portefeuille

La rentabilité d'un portefeuille constitué de n actifs financiers sur un horizon de temps t, noté _RPF, est la moyenne pondérée des rentabilités procurées par ces titres.

Il est possible de calculer la rentabilité de ce portefeuille à partir de ses valeurs historique.

Où vt-1 : valeur de portefeuille à la date t-1. vt : valeur de portefeuille à la date t.

Pour certains cas, un investisseur s'est dérangé par deux ou plusieurs choix, comment cet investisseur se comportera devant ces situations risquées ? et quelles sont les facteurs qui influenceraient la manière du son choix ?

I.2 Comportement de l'investisseur face au risque

Depuis longtemps, la finance comportementale évolue et connu une dilatation et un déploiement inévitable, toutefois ce domaine incorpore les concepts de la psychologie dans l'analyse et la gestion des portefeuilles. Pour cela, cette section se focalisera sur l'attitude des investisseurs en vers les résultats aléatoires.

Von Neumann et Morgenstern (1944) entrevoient que tous les investisseurs se comporte d'une manière rationnelle par le fait que chaque investisseur peut targuer d'avoir calculer avec précision la somme qu'il désirera recevoir étant donné un certain risque. Toutefois sur le plan pratique, il a été démontré que la rationalité reste un comportement idéal et que le comportement des investisseurs oscille entre l'appréhension d'une perte et l'espoir d'un gain.

En 1958, Tobin affirmait que le rendement espéré et la variance du portefeuille sont indispensables pour représenter l'utilité d'un investisseur, mais qu'est ce qu'une utilité ?

En fait, chaque investisseur possède une utilité qui est en fonction de sa richesse

Bref, la fonction d'utilité décrit le comportement des investisseurs et en particulier la qualité des décisions prises dont les résultats sont aléatoires.

I.2.1 Les critères du choix en condition d'incertitude

Il est intéressant de noter qu'en se basant sur la distribution de probabilité, le rendement d'un actif dans un milieu incertain (Camerer et Weber, 1992) peut prendre différentes valeurs, donc on doit recours à une liste des critères de choix.

- Maximisation du rendement espéré : pendant longtemps, utilisé comme le seul critère disponible nonobstant qu'il n'est valable pour tous les investisseurs.

On rappel qu'une distribution du probabilité est attribué à la relation entre une valeur possible et ses chance de survenir.

- Maximisation de l'utilité de gain : méthode cité par Von Neumann et Morgenstern en présentant cinq axiomes de comportement d'un individu pour analyser sa rationalité. C'est-àdire, un individu opte pour le titre qui présente l'utilité espérée la plus élevé.

En fait, l'utilité d'un investisseur est une fonction croissante de sa richesse si son comportement vérifie les axiomes suivants :

I.2.2 Propriété des fonctions d'utilité

Chaque investisseur possède sa propre fonction d'utilité qui fait correspondre à chaque panier de biens, ou chaque portefeuille, un nombre réel.

Schématisé par une courbe d'indifférence sur un plan (rendement - risque), cette dernière représente l'ensemble des portefeuilles avec différentes combinaisons du risque et du rendement espéré pour les quelles tout investisseur conserve la même préférence et le même niveau de satisfaction. Par le biais de sa fonction d'utilité, on mesure la satisfaction d'un investisseur associée à un niveau donné de la richesse.

Donc, la fonction d'utilité reflet le niveau de préférence pour différents degrés de fortunes.

Un investisseur rationnel, qui opte à sélectionner un portefeuille optimal, dispose une fonction qui évolue dans le même sens avec la rentabilité et d'une manière inverse avec le risque.

Une fonction d'utilité croissante (U'(x) > 0) ayant également une utilité marginale croissante décrit l'attitude d'un individu averse au risque. Pour mesurer ce degré d'aversion au risque on introduit :

Dans ce contexte, il a été démontré qu'une aversion absolue au risque croissante (constante, décroissante) en R, amène à une valeur détenue de titres risqués décroissante (constante, croissante) avec la richesse.

De même, une aversion relative au risque est croissante (constante, décroissante) en R, amène à un pourcentage détenue de la valeur de titres risqués décroissante (constante, croissante) avec la richesse.

I.2.3 La fonction d'utilité quadratique

Dans le cadre d'un modèle de Markowitz, un investisseur choisit un certain panier désiré entre le risque et la rentabilité. Cette relation de préférence peut également être exprimée par la fonction d'utilité suivante :

Chamberlain (1983) a démontré que dans le cas des distributions elliptiques, la fonction d'utilité quadratique offre des approximations exactes pour plusieurs fonctions d'utilité standard. Cette approche suppose que tous les rendements des titres suivent une distribution normale, ce qui rend simple le choix du portefeuille optimal.

A ce propos, il est intéressant de s'interroger si les deux premiers moments ont l'aptitude de synthétiser de façon adéquate l'information quantitative sur le rendement. Pour cela, plusieurs fonctions d'utilité sont mises en place.

I.2.4 Autres fonctions d'utilité

I.3 Aversion aux pertes

On peut déduire de ces trois hypothèses qu'il y a souspondération pour les probabilités élevées et surpondérées pour les probabilités faibles.

En outre, l'effet de surpondération est plus important que l'effet de souspondération.

Tversky et Kahneman (1991) ont prolongé les notions des points de référence et l'asymétrie de perte de gain aux tâches bien choisies à plusieurs attributs ayant des solutions de rechange qui ne peuvent pas être assignées des probabilités explicites.

Tout changement significatif par rapport à la statue référentielle met l'investisseur face à un risque de perte. De ce fait, par rapport à un cours de référence, cet investisseur opte comme stratégie de ne pas vendre les titres perdants en se limitant à vendre les titres gagnants afin de ne pas le regretter si le cours baissera.

« l'aggravation que celle-là éprouve en perdant une somme de l'argent semble être plus grand que le plaisir lié à gagner le même montant... d'ailleurs, le degré d'aversion croit d'une manière symétrique avec la taille des enjeux » (Kahneman and Tversky, 1979, p: 279).

C'est que signifie que l'aversion de perte se rapporte au traitement asymétrique des profits et des pertes relativement à un point de référence : résultats qui sont perçus pendant que des pertes sont éprouvées plus profondément que des résultats perçus comme gagne.

Dans ce graphique, on montre que l'aversion aux pertes se rapporte au traitement asymétrique des profits et des pertes relativement à un point de référence fixé : autrement dit, un investisseur se comporte d'une asymétrie dans la prise de risque face à des perspectives de gains ou de pertes.

Bleichrodt et al. (2006) ont montré par une expérimentation que la fonction d'utilité pour les gains est concave et qu'elle est convexe pour les pertes. De plus, ils ont dévoilé que les hommes sont moins averses aux pertes que les femmes, de plus l'investisseur tend à prendre une quantité de risque plus élevé en fin de journée dans l'espoir de rééquilibrer son portefeuille.

Un investisseur averse aux pertes ne vendait jamais un titre perdant, mais il attend une situation plus performant. Cependant dans quelle ampleur serai le coût suite à la détention d'un titre perdant un certain laps ?

Pour corriger cet aversion aux pertes, il faut effectuer des modifications structurelles sur la manière d'appréhender le portefeuille tel que le fait de concrétiser les gains d'une part et à ne jamais concrétiser les pertes d'autre part, mais également il faut être prudent quant à la notion du référentielle, puisqu'un tel événement est disparu.

Si on opte l'hypothèse que les anticipations de rentabilité des investisseurs sont homogènes mais pas nécessairement qu'ils possèdent les mêmes degrés d'aversion pour le risque, dans ce contexte, tous les investisseurs choisissent le portefeuille de marché qui regroupe tous les actifs disponibles sur le marché, néanmoins cette pensée théorique reste quasi impossible de l'épier sur un plan concret.

Peut-on réduire le risque global, dans un portefeuille, pour un niveau optimal des titres ? La réponse est positive et c'est à travers la construction d'une combinaison optimale entre le rendement et le risque. Cette technique est connue sous le non de la diversification.

I.4 Le concept de la diversification

C'est une manière d'améliorer la rentabilité d'un portefeuille et à la fois réduire considérablement son risque.

L'adage populaire dit « on doit pas mettre tous ses oeufs dans le même panier »

Pour cette raison, un investisseur opte pour un investissement sur plusieurs actifs au lieu d'investir dans un seul actif, donc il doit repartir son capital sur plusieurs titres.

Le principe de la diversification se traduit par la sélection d'actifs qui ne soient pas, ou peu positivement corrélés, cela permet d'obtenir la même espérance de rendement en diminuant la volatilité d'un portefeuille.

Il faut avoir en tête que la qualité de la diversification dépend de deux paramètres qui sont: - le nombre de titre inclus dans le portefeuille.

Le graphique ci-dessous condense l'effet de l'augmentation du nombre d'action dans le portefeuille sur la volatilité de la rentabilité en fonction de la corrélation entre les actions.

Figure (3) : Impact du nombre d'action sur la volatilité en fonction de la corrélation.

Markowitz (1952) cite dans son fameux article « portfolio selection » la formulation suivante:

« Pour tout investisseur, le portefeuille d'utilité maximal, qu'il choisi s'il est rationnel, est un portefeuille optimalement diversifié dans le sens ou il présente le rendement attendu le plus élevé qu'il est possible d'obtenir pour le niveau de risque qui est celui de portefeuille ».

Dans le paragraphe suivant, on essaye d'introduire l'effet de la corrélation entre deux actifs financiers A et B sur le rendement d'un portefeuille ainsi que sur sa volatilité, pour un niveau de corrélation ?_AB ;

- Si ?_AB = 1 : Les rendements des titres sont parfaitement corrélés entre eux, donc varient dans le même sens. Pas d'effet de diversification autrement dit le niveau de risque reste invariant quelque soit la manière de répartition des placements voir que les pertes s'additionne.

- Si ?_AB = -1 : Les évolutions des rendements des titres sont parfaitement et négativement corrélés entre eux, donc les titres évoluent en sens opposé donc la diversification élimine tous les risques supportés par les investisseurs et les gains et les pertes se compensent et l'effet sera maximal.

- Si ?_AB = 0 : Les rendements des deux titres sont indépendants, donc la diversification réduit effectivement le risque.

Figure (4) : Influence du coefficient de corrélation sur les caractéristiques d'un portefeuille

Les recherches statistiques ont affirmé que la prise en considération des corrélations entre les
actifs financiers améliore sensiblement les résultats. En effet, plusieurs statisticiens ont conclu
une relation entre le nombre des titres et le gain provenant de la diversification; Plus le

nombre de titres est grand, plus les covariances sont importantes et donc plus faible sera le gain provenant de la diversification supplémentaire.

I.5 Risque systématique

On rappel que le risque globale dans un portefeuille composé d'actifs financiers, rejoint deux types de risques qui sont le risque spécifique et le risque systématique liés aux fluctuations des facteurs du marché.

En effet, le risque systématique en tant que la seule source d'incertitude dans un portefeuille efficient résulte de la corrélation entre la rentabilité des portefeuilles efficients avec celle du portefeuille de marché. L'expression du risque spécifique est donné par :

Il convient de noter qu'il existe une relation entre le risque et le nombre des titres dans un portefeuille, à ce cotexte on avance le schéma suivant :

On observe que la réduction du risque est d'abord très rapide, toutefois elle se freine assez vite. Ceci est due au faite que le risque systématique est non éliminable par diversification en raison d'effet de covariance des plus parts des titres.

Markowitz note que « le risque d'un portefeuille bien diversifié tend vers la moyenne des

covariances des titres inclus dans le portefeuille » C'est-à-dire ; si N ? 8 , ó²PF ? COV

Il faut mentionner que le risque systématique, mesuré par Bêta, ignore les risques diversifiables, les risques asymétries ainsi que les risques spécifiques à chaque institution financière.

I.6 Le modèle de Markowitz et détermination de frontière efficiente

Markowitz affirme dans sa théorie que la moyenne et la variance des taux de rentabilité sont les critères les plus pertinents en matière d'évaluation des actifs.

Pour analyser cette approche, cette section, souligne la technique du choix des portefeuilles.

Il est très connu que tous les investisseurs préfèrent une espérance de rentabilité élevée ainsi qu'une variance faible. Toute fois, pour un niveau de risque, on préfère une rentabilité élevée à une autre moins élevée. Pour se faire, il est judicieux de rappeler que les courbes d'indifférence représentent la mesure la plus efficace des préférences des investisseurs, c'està-dire déterminer le degré de risque qu'un individu est prêt a accepter afin d'obtenir un certain taux de rentabilité aléatoire.

Il est maintenant possible de choisir le meilleur portefeuille dit portefeuille optimal qui correspond à la meilleur combinaison entre le rendement et le risque en appliquant les concepts de probabilité.

A ce niveau là, Markowitz intervient, une fois encore, en introduisant la notion du portefeuille dominant, connu encore sous le non du portefeuille efficient, qui consiste à déterminer le taux de rentabilité espère le plus élevé pour un niveau de risque fixé.

A ce propos, Markowitz admet comme cible la détermination des portefeuilles efficients en les traçant sur un plan (rendement espéré, risque).

D'après le graphique, on observe que pour chaque niveau de risque, il existe un portefeuille qui maximise le rendement attendu ou encore, pour chaque niveau de rendement, il existe un portefeuille qui minimise le rendement. L'ensemble de ses portefeuilles construit la frontière efficiente de Markowitz.

On remarque que par construction, la frontière est convexe ce qui provoque que le risque n'augmente pas linéairement en fonction des poids d'actifs dans le portefeuille.

Il est à noter que la région située au dessus de la frontière implique qu'un tel portefeuille est impossible à construire, alors que région située au dessous de la frontière implique que ces portefeuilles sont sous-optimaux et n'intéresseront pas un investisseur rationnel.

Le problème ici se manifeste par la détermination du portefeuille optimal, en d'autre terme celui qui coïncide avec la courbe d'indifférence. Pour se faire, le problème se résoudre par une simple translation de la courbe d'indifférence jusqu'au atteindre une tangente entre cette dernière courbe et celle de la frontière efficiente, bien que cette tangence représente un portefeuille efficient.

D'une manière plus précise, le portefeuille optimal est celui qui correspond, pour un investisseur, le mieux aux caractéristiques de sa fonction d'utilité particulière c'est à dire en fonction de ces préférences en matière de rendement ainsi que du risque.

En fait, le but de cette partie c'est de trouver les proportions Xi à investir dans les différents titres à travers la résolution de ce système.

On fera appel à la méthode des multiplicateurs de Lagrange qui consiste à minimiser

?Z = 2 X1 ó_N₁ + 2X2 ó_N₂ + + 2 XNó _NN + ë ₁ EN + ë₂ = 0 (21)

On obtient un ensemble de (N+2) inconnus qui peuvent s'écrire sous la forme matricielle : C.X= K (24)

2 2

ó ó

121 1

. . 2 1

ó E N

X 1

avec C=

2 2 . . 2 1

ó ó ó

N N NN N

1 2

X= X_N

et K =

E₁

E E

2 N

ë 1

1 1

1 00

ë₂

Le vecteur X représente la structure du portefeuille efficient pour le niveau de rendement

par un niveau de rendement espéré donné. L'ensemble de ces portefeuilles efficients constitue la frontière efficiente.

Black (1972 P.448-449) a bien démontré que la combinaison de deux portefeuilles efficients est un portefeuille efficient, donc il légitime de conclure que toute combinaison linéaire de deux portefeuilles est un portefeuille efficient.

Jusqu'à présent, nous avons analysé des portefeuilles composés d'actifs de nature risqués. Toute fois, sur le marché réel il existe des actifs sans risque, et l'introduction d'un tel actif permet à l'investisseur de prêter et d'emprunter au même taux.

Puisqu'il ne soutient aucun risque, un actif sans risque est caractérisé par un taux de rémunération parfaitement certain, une variance nulle ainsi qu'une covariance nulle avec les autres actifs risqués. Il est généralement associé aux titres émis par l'Etat à court terme sous forme de Bon de Trésor, donc son rendement est connu à l'avance.

De ce faite, on note que l'introduction d'un actif sans risque n'a aucun effet sur l'expression de la variance des portefeuilles cependant, il apportera des modifications sur ces deux contraintes.

En effet, l'espérance de rentabilité est formée de l'actif sans risque augmenté d'une prime de risque et l'expression de Lagrangien devient :

De ce fait, on déduit que le rendement espéré de ce portefeuille est exprimé par une droite quelque soit la proportion investie dans l'actif sans risque.

On constate que l'introduction d'un actif sans risque transforme la frontière efficiente en une droite partant par le niveau de l'actif sans risque _RF, de façon de toucher la pente la plus élevé autrement dit la pente de la tangente avec la frontière définie par Markowitz et cette droite représente l'ensemble des combinaisons possibles entre l'actif sans risque et l'actif risqué, autrement, elle offre de nouvelles opportunité d'investissements donc augmenter son niveau de satisfaction. Cette droite est connue sous le nom CML⁽¹⁾ « Capital Market Line ».

Bref, un investisseur opte pour un portefeuille situé sur le point A, déplie tout ses richesses dans l'actif sans risque. Cependant, dans le point B l'investisseur place tout son argent dans l'actif risqué. Un point situé entre A et B implique qu'un tel investisseur reparti son capital entre l'actif sans risque et l'actif risqué.

On peut déduire finalement que selon cette approche, l'optimisation de portefeuille est faite en deux étapes ; la première était de trouver la combinaison optimale des actifs risqués en identifiant les poids optimaux pour chacun des titres composant un portefeuille et la deuxième c'est d'ajouter à ce portefeuille optimal une certaine proportion d'actif sans risque.

Dans ce contexte, il intervient à notre esprit une question fondamentale qui est la suivante : Existe-il une relation entre l'attitude de l'investisseur en face au risque d'une part, et d'autre part le choix des combinaisons d'actif risqué ?

(1) on rappel que la droite du marché CML exprime que le rendement espéré du portefeuille est égal au taux sans risque plus une prime du risque spécifique à ce portefeuille.

Markowitz a été principalement intéressé par la diversification des titres risqués. Tobin (1958) a ajouté le concept de combiner les actifs sans risque avec les titres risqués lors de choix du portefeuille. Dans la même logique de l'approche classique Moyenne-Variance on définie la théorème de séparation comme suite ; la sélection de portefeuille optimal pour un niveau donné de tolérance de risque peut être séparé en deux étapes: d'abord trouvant un mélange optimal des titres du marché invariant avec le risque, et ensuite le combinant avec une quantité appropriée d'actifs certains. C'est-à-dire, il y a une séparation entre les choix des actifs risqués qui sont le même pour tous les investisseurs et l'ajout des titres sans risques qui dépendent de degré d'aversion au risque.

En effet, cette théorie évoque que la sélection des proportions des actifs risqués des portefeuilles ne dépend pas de degré d'aversion au risque de l'investisseur. Par contre la répartition de sa richesse entre les actifs risqués et les titres certains est basée sur son aversion au risque. Par conséquent, le choix de portefeuille est fondé sur les capacités de l'agent d'investir dans le marché financier et ne plus de l'aversion au risque même dans le cas où il n'y a pas des actifs certains.

Comme pour tout modèle, les limites sont généralement focalisées autours de ces hypothèses ainsi que sur l'estimation de ces paramètres.

En effet, en cas de défaut, ou encore en cas des pertes exceptionnelles l'hypothèse de normalité n'est plus vigoureuse à cause d'une part, l'excès de probabilité des événements aérogares, et d'autre part l'asymétrie des rendements c'est à dire que cette approche ne différencie pas les variations positives (ampleur des variations au-dessous de la moyenne) à celle négative (ampleur des variations au dessous de la moyenne).

En outre, le modèle moyenne variance suppose que les premiers moments sont explicitement suffisants afin de condenser toute l'information englobée au tour des séries des rendements des actifs financiers.

De plus, les indicateurs traditionnels préjugent que les facteurs de marché reste sédentaire pendant la durée d'investissement ce qui est loin d'être réelle. Par analogie, l'approche traditionnelle suppose que la volatilité est durable dans le temps nonobstant, dans la pratique, plusieurs facteurs associés à la volatilité évoluent au cours de temps tel que le taux d'intérêt, le bénéfice, les facteurs macroéconomiques ainsi que l'importance du l'allocation des fonds.

La volatilité n'est plus valides en cas des portefeuilles complexes c'est-à-dire ceux qui contiennent les produits dérivés et souvent incapable d'estimer avec précision les risques et surtout extrêmes.

Tous ces limites nous font douter sur la pertinence des résultats quelles nos procurent.

Conclusion

Toutefois le taux de rentabilité est calculé comme étant la différence entre deux cours, l'une initial et l'autre finale rapporté au cours initial. La rentabilité d'un investissement incertain exige des estimations probabilistes des états de nature possibles ; c'est à dire que à chaque état de nature on effectue une probabilité de réalisation d'un futur incertain et par suite il faut choisir la distribution appropriée.

Ce chapitre décrit brièvement la théorie du choix des portefeuilles, On a vu que les préférences d'un investisseur peuvent être représentées par une fonction de rendement espéré et la variance d'un portefeuille et que les hypothèses de la théorie de l'utilité prévue peuvent être violés systématiquement.

À la lumière de ces observations nous arguons du fait que théorie de l'utilité, pendant qu'elle est généralement interprétée et appliquée, n'est pas à modèle descriptif proportionné.

Un investisseur averse au risque préfère un rendement certain à n'importe quelle perspective risquée avec la valeur prévue X. Dans la théorie de l'utilité prévue, l'aversion de risque est équivalente à la concavité de la fonction d'utilité, ce qui explique l'orientation vers les actifs qui possèdent le risque le plus faible.

Or plusieurs études ont donné la preuve que dans les choix risqué, les investisseurs tendent à surestimer la probabilité des événements extrêmes et à sous-estimer la probabilité des événements normaux.

On a cité que le concept d'aversion aux pertes se repose sur deux résultats centrales, la première étant que l'analyse des gains et des pertes est évalué relativement à un point de référence neutre, et la deuxième, porte sur les changements qui rendent une perte perçue de manière deux fois plus déplaisant qu'un gain.

Markowitz condense l'optimisation de portefeuille en deux stations ; dans un premier temps, on trouve la combinaison optimale d'actifs risqués puis, on ajoute, à ce portefeuille optimal risqué, une certaine proportion d'actif sans risque.

À travers une simple programmation quadratique (minimiser la variance pour une rentabilité donnée), on sélectionne les titres à mettre dans notre portefeuille sous deux hypothèses, la première c'est la normalité des rendements du portefeuille et la seconde c'est que la moyenne du rendement et sa volatilité résument toute l'information nécessaire sur la performance du portefeuille, mais aussi de son risque.

L'ensemble des solutions pour différents niveaux de rentabilité constitue une série des portefeuilles dite efficients et chaque investisseur, suivant son degré d'aversion au risque, détermine le portefeuille optimal.

Le choix de portefeuille est basé sur un arbitrage entre le rendement et le risque, à cet effet, plusieurs méthodes de mesure de risque sont apparues depuis le début du XX^éme siècle dans le but d'évaluer le risque simple et également le risque de perte: En effet, c'est Neumann et Morgenstern qu'ont développé la première mesure de risque fondamental qui est la volatilité. Mais, suite à des crashs boursiers catastrophiques, d'autres mesures ont été dévoilées. Toutefois, ces mesures ne donnent qu'une approximation du risque. Pour cela les investisseurs ont recherché des nouvelles stratégies pour assurer leurs portefeuilles. Parmi ces politiques, on mentionne, la théorie de Safety-First de Roy (1952).

Néanmoins, l'utilisation des mesures de risque simples est insuffisante dans certains cas, puisqu'elles ne tiennent pas compte des pertes extrêmes qui peuvent conduire les investisseurs à des pertes catastrophiques, voir même la banqueroute. A ce fait, et après la crise boursière de 1987 qui a un effet négatif sur l'accroissement de la volatilité, les gestionnaires de risque ont élaboré un nouveau indicateur du risque financier qui est à la fois globale et synthétique ; c'est la mesure de risque de perte présenté en terme de la Value at Risk et la Value at Risk conditionnelle.

De ce fait, nous déroulons ce chapitre en trois sections : la première propose la notion de risque ainsi que la définition d'une mesure cohérente. La seconde section est consacrée à la présentation des mesures de risque simples tel que les mesures de Downside et les mesures de dispersion. Dans la troisième section, nous exposons la VaR et la CVaR comme mesure de risque de perte dans la gestion de risque.

En Tunisie tous comme à l'échelle internationale, les institutions financières sont disciplinés par une variété des risques qui sont généralement classés sous quatre genres qui sont :

· Le risque de crédit : c'est incapacité à respecter les engagements de régler les

Se couvrir contre ces risques d'une part, et profiter d'une situation propice d'autre part, sont les intérêts d'un investisseur rationnel et l'accès à ces objectifs part par la mesure de risque.

Artzner et al (1997) ont définie une mesure cohérente de risque en 1997 comme suite : une mesure ? : V ?R de risque s'appelle une mesure cohérente de risque si elle satisfait les

L'addition d'un montant sureá au portefeuille initial réduit le risque globale d'un montantá.

Le risque est proportionnel à la taille de la position X pour tenir compte d'un éventuel risque de liquidation lorsque la taille de X est grand.

Cette propriété reflète le gain de la diversification en matière de réduction de risque par le fait de la corrélation entre les composantes de portefeuille.

Le risque a une fonction croissante avec la perte autrement dit la position caractérisé par une perte plus élevé, elle semble plus risqué.

Markowitz et Tobin (1959) ont montré qu'un investisseur rationnel choisie un tel actif financier à partir deux épreuves ; le rendement espéré et la variance de titre. Cependant, dans certain cas ces deux critères sont insuffisants, à titre d'exemple lorsque la variance et l'espérance rendent l'investisseur indifférent entre deux titre ou plus.

Toutefois, Si on veut apprécier la performance d'un actif financier et tenir compte de risque, l'investisseur doit calculer correctement le risque de chaque titre de portefeuille qui veut construire. À cet instar, il existe deux types des mesures de risque simples ; la mesure de dispersion et la mesure de Downside.

L'objectif de ces mesures est la maximisation de probabilité pour que le rendement de portefeuille soit au-dessus d'un certain niveau acceptable et minimal, souvent ce dernier est connu sous le nom de Benchmark⁽¹⁾ ou le niveau de faillite.

Markowitz a proposé l'utilisation du semi - variance dans le cas où l'investisseur est indifférent entre deux titres ou plus après avoir calculer la variance, c'est-à-dire, la variance est parfois insuffisante pour prendre la décision adéquate.

À cet instar, la semi- variance, noté SV, est défini comme l'espérance des carrés des écarts que les valeurs d'un taux de rentabilité d'une action inférieure à son espérance présentent par rapport à celle-ci :

Bien que cette mesure soit un remède dans le cas où la variance est insuffisante pour choisir le portefeuille optimal, elle néglige les rendements supérieurs à la moyenne E (Ri).

(1) Florin Aftalion « la nouvelle finance et la gestion des portefeuilles»: « il existe des fonds qui possèdent un Benchmark, c'est-à-dire un indice ou un portefeuille dont la gestionnaire doit reproduire plus ou moins exactement la performance en essayant de l'améliorer.... Les performances des fonds possèdent un Benchmark doivent donc se mesure par rapport à celles de leurs Benchmark et non dans l'absolu. «pp 165.

C'est une généralisation de Semi - Variance, elle consiste à calculer le pourcentage des taux de rentabilité négatif pour un horizon de temps T spécifique de chaque titre choisissant par l'actionnaire. Elle est définie comme suite :

L'inconvénient de cette mesure est qu'elle néglige totalement les taux de rentabilité positif, de plus elle ne tient pas compte des interrelations entre les taux de rendement des titres considérés.

Afin de minimiser le risque, un investisseur, fixe souvent un seuil minimal de taux de rentabilité qu'il ne faut pas dépasser lors de sélection des actifs financiers. Pour cette raison, chaque fois il doit calculer la probabilité d'avoir un taux inférieur à un niveau fixé. Cet probabilité est appelé Downside Risk, noté DN et donné par :

Où _p(Rs,i) est la probabilité d'avoir un taux de rendement inférieur à une seuil donnée. L'inconvénient de cette mesure est qu'elle néglige totalement les taux de rentabilité supérieur au seuil fixé par l'investisseur.

Les mesures de dispersion sont des mesures d'incertitude. Néanmoins, cette incertitude ne mesure pas nécessairement le risque contrairement aux mesures de Downsides. En effet, elles utilisent des déviations positives et négatives au même temps et imposent que ces déviations soient identiquement distribuées.

Le taux de rentabilité moyen est insuffisant pour évaluer et mesurer la performance d'un actif financier pour un horizon de temps donné. Il est plus favorable de tenir compte de la distribution de taux de rentabilité autours de son moyen. Généralement, on utilise la variance

des taux de rentabilité pour mesurer l'amplitude des variations de ce dernier autour de sa moyenne.

À cet effet, on définie la variance de taux de rentabilité d'un actif financier i et on la note

parói , la moyenne arithmétique des carrés de la différence entre le taux de rentabilité et le taux de rentabilité moyen pour une période T;

L'inconvénient de cette mesure est qu'elle s'infliance par les taux de rendement élevés et faibles.

La volatilité d'un actif financier, noté paró_i, est définie comme étant la dispersion de la valeur du titre autour de sa moyenne.

Afin d'avoir une bonne approximation de la volatilité, il est nécessaire de choisir un nombre d'observation très important et d'utiliser des observations très récent (par exemple données intraday...).

Bien qu'elle soit une mesure populaire du risque, la volatilité ne donne pas importance à la valeur négative de rendement, puisqu'elle traite les cours positifs et négatifs des actions de la même façon. Un autre problème d'estimation de la volatilité est qu'elle est instable au cours de temps : plus forte au moment de crise et faible lorsque le marché boursier est immobile.

Il consiste à calculer la différence entre le taux de rentabilité le plus élevé et le taux de rentabilité minimal de chaque titre i du portefeuille sur un horizon de temps T. L'actif le plus risqué est celle dont son étendu est plus élevé :

Cependant cette mesure néglige les taux de rentabilité intermédiaire, autrement, elle ne prend pas en considération les taux supérieurs au taux de rentabilité minimal et inférieurs au taux de rentabilité maximal.

L'écart absolu moyen est la moyenne arithmétique absolue des écarts qui existe entre le taux de rentabilité et le taux de rentabilité moyenne, on le note par EAM et on le calcule comme suite :

		1		T
EAM						RitR - i ,	(34)
	=	T			1
			t	=

Si les taux de rentabilité des actions, dans le portefeuille, sont exprimés en pourcentage, autrement dit en fonction de proportion de chaque titre, dans ce cas on utilise une autre formule pour calculer l'écart absolu moyen :

L'inconvénient primordial de cette mesure est qu'elle ne tient pas compte des taux de rentabilités négatifs, de plus elle n'exprime pas le lien qui existe entre les fluctuations respectives de taux de rentabilité entre les différents titres.

A la suite de crise octobre 1987, les Risks Managers ont recherché des nouvelles stratégies d'assurance des portefeuilles.

La première procédure d'assurance, apparue au début de vingtième siècle, est appelée assurance Hedgers de portefeuille⁽¹⁾. A priori, cette méthode a été rejetée par la plupart des investisseurs parce qu'elle a crée une déviation importante au prix des actions.

Plusieurs financiers ont tenté de construire des modèles permettant la protection des portefeuilles contre les variations brusques des cours d'actifs financiers, parmi ces financiers, on trouve Roy (1952) qui a évoqué l'approche « Safety-First » dans lequel un investisseur garantit qu'un certain montant du principal avant le choix de portefeuille.

(1) L'assurance Hedgers de portefeuille est une méthode d'assurance basé sur les prix historiques des titres et le graphique d'évaluation des cours, elle consiste à vendre les titres suite à une baisse de cours ou à acheter les actifs en réaction à une hausse

Deux approches importantes de choix de portefeuille ont été éditées en 1952. La première, est celle de Markowitz qui est la théorie classique de choix de portefeuille et la seconde, de Roy « Safety-First ». Cette dernière est la théorie fondamentale pour le développement des mesures de risque de chute du cours.

En effet, Roy a montré qu'un investisseur au lieu de constituer son portefeuille en terme de fonctions d'utilité comme l'a proposé Markowitz, il doit tout d'abord, s'assurer qu'un certain montant du principal est préservé. Ensuite, il choisit le rendement acceptable et minimal réalisant cette garantie obligatoire.

De même, Roy a précisé qu'un investisseur préfère l'investissement intéressant avec la plus petite probabilité d'investir au portefeuille plus rentable mais plus risqué aussi.

Généralement, cet investisseur choisit ce portefeuille en résolvant le système d'optimisation suivant ;

Nonobstant, l'investisseur ne connaît pas, souvent, la véritable fonction de probabilité. Pour cela, on fait recours à l'inégalité des Tchebycheff (1) :

Avec u p et ó p sont respectivement l'espérance et l'écart type de portefeuille.

(1) Pour une série de variable aléatoire x où son espérance égale à u et sa variance égale à 2

p R - Connaissant la fonction de probabilité, l'investisseur résout l'approximation comme suite :

Si l'investisseur fixe un niveau de rendement R0 identique à l'actif sans risque, ce problème d'optimisation est équivalent à maximiser un portefeuille de ratio de Sharpe.

Divers facteurs contribuent à l'apparition d'une nouvelle mesure globale de risque, plus efficace, plus pertinent et surtout une mesure dont tout investisseur a besoin d'en mettre confiance. Parmi ces facteurs, on cite :

Ainsi qu'un portefeuille diversifié reste dépoitraillé en matière d'analyse du son risque ou encore de le calibrer, surtout lorsqu'il renferme certains produits spécifiques tels que les options, les devises, les obligations.

La succession de ces différentes crises a renforcé les institutions financières à réviser leur système de l'analyse du risque d'une part, et d'autre part de moderniser leurs tactiques de faire face aux risques dans le but d'avoir qu'une mesure de risque ne soit ni surestimé le risque ni le sous-estimé.

Or puisque les mesures de risque simples sont insuffisantes à estimer les risques des événements extrêmes, des récentes mesures de perte sont mises en place tels que La Value-atRisk (VaR) et l'Expected Shortfall (ES).

La Value at Risk est une méthode d'évaluation des risques fines, elle permet de quantifier les différentes nature du risques en un seul chiffre appelé montant à risque.

D'une manière éclatante, la VaR peut être définie comme étend la perte potentielle maximale d'un investisseur sur la valeur d'un ou d'actifs financiers dont le rendement suit une loi spécifiée en tenant compte d'un horizon de détention et d'un intervalle de confiance bien spécifié.

A partir du chiffre monétaire donné par la VaR, on peut certifier sur le niveau du risque en fonction de la valeur du portefeuille et de l'aversion au risque.

Selon Esch, Kieffer « la VaR d'un portefeuille ou d'un actif pour une durée T et un niveau de probabilité á, se définit comme le montant de perte attendu de façon que ce montant, pendant la période [0, T], ne devrait pas être plus important que la VaR et ceci avec une probabilité (1- á) ».

On rappel que la VaR se focalise sur des observations centrales, mais également elle reflète toute l'information contenue dans la queue gauche adjoint aux pertes de la distribution des taux de rendements d'un portefeuille d'actifs financiers. Mathématiquement on définie la Value at Risk comme suit :

avec F (.) désigne la fonction de répartition associé a la distribution des gains et des pertes. VaR_á (x) = inf {r \ P(x = r) =á } (40)

Esch, Kieffer, , "Value at Risk - Vers un Risk Management moderne", De Boeck université 1997.

Si on admet une VaR d'un portefeuille de 10 millions sur un niveau de confiance de 95%. Ceci implique sous les conditions normales du marché on a seulement 5% de chance pour que la perte soit supérieure à 10 millions.

Cependant la VaR était qualifié comme un standard en mesure du risque, pourtant il faut l'interpréter comme étend un instrument de contrôle et de gestion ainsi qu'un signe d'une bonne maîtrise des risques. En effet, la VaR est un outil adhérent dans l'identification des sources du risque dans un portefeuille globale.

Comme pour toute mesure de risque, avant d'accéder aux méthodes de calcul, il faut bien définir quelques éléments fondamentaux dans l'interprétation d'un chiffre VaR.

Horizon: C'est la période de détention du l'actif ou du portefeuille, il doit être le plus proche possible de la réalité.

La littérature a montré un horizon bref est préférable qu'un horizon long pour deux raisons, la première c'est que la combinaison dans un portefeuille reste stable durant cette période, et la second est que la rareté des donnés disponible ne pose aucune difficulté sur la détermination de la VaR donc pour un long horizon les pertes peuvent être graves.

Seuil de confiance: Il indique le degré de couverture contre le risque, ainsi qu'il reflète le degré d'aversion des investisseurs face au risque de perte. C'est la probabilité pour que les pertes éventuelles d'un portefeuille ne dépassent pas la VaR donc elle doive être située entre 0 et 1 pour être significative.

Distribution des profits et des pertes du portefeuille visés en fin du période: Valeur en fin du période du portefeuille déduite à partir des cours historiques des titres dans un portefeuille, c'est donc une identification du niveau d'exposition du portefeuille en actif risqué.

Bien qu'on arrive à concevoir les caractéristiques du VaR, pourtant que son calcul nécessite certaines simplifications.

Afin d'estimer la VaR, il existe une liste de modèles. Chaque modèle a ses propres prétentions. Mais la prétention la plus commune qui rassemble ces modèles c'est l'exploitation des données historiques du marché pour estimer les changements futurs.

Il est intéressant de signaler que la mise en place d'une telle méthode dépend essentiellement des titres étudiés, pourtant dans un univers gaussien les différentes méthodes convergent vers des résultats très proches.

« Le future est le prolongement du passé » C'est sur cette hypothèse sous-jacente qu'on part l'identification de cette méthode. En effet, elle est fondée sur un Record des distributions passées des rendements des actifs, et a partir des quels on reproduit une nouvelle distribution sous l'hypothèse que ces rendements soient iid.

Le calcule de la VaR par une telle méthode se déroule comme suit : Il faut tout d'abord déterminer la valeur actuelle du portefeuille. Puis, identifier les N variations potentielles toute en classant ces valeurs historiques par ordre croissant. Finalement, en déterminant le quantile correspond au niveau de couverture, on déduit la VaR.

Bien que cette méthode soit la plus simple puisqu'elle n'impose aucune hypothèse sur la nature de distribution des rendements ou des facteurs de risque donc elle puisse être utilisée pour des portefeuilles contenant des options.

La rareté des donnés et des nombreux calculs peuvent apporter des problèmes quant à l'application de cette méthode, donc on déduit que la longueur de la série affect la qualité des résultats. Ainsi la méthode historique suppose que le marché est stationnaire

Afin d'estimer la matrice du _òVariance-Covariance des rendements du portefeuille pour le calcul de la VaR, cette méthode convoque deux hypothèses, la première est que les taux de rentabilité suivent une distribution gaussienne et la seconde est qu'il existe une relation linéaire entre la valeur du portefeuille et les facteurs de risque,

Pourtant, le recours à cette approche impose certes une faible probabilité pour les événements extrêmes. L'application de cette méthode se déploie en trois étapes : dans un premier temps, il faut estimer la matrice du Variance-Covariance. Ensuite, on détermine la variance de perte du portefeuille. Enfin, on calcule la VaR en multipliant la volatilité du ce portefeuille par le nombre d'Êcart-type associé à un niveau de confiance donné.

C'est une méthode rapides et simple car elle suppose la linéarité des facteurs, ce qui écarte les difficultés pratiques et rend l'agrégation possible mais aussi assure une perfection quant à la précision de la VaR.

Cependant, cette méthode suppose que la matrice du Variance-Covariance est stable c'est à dire la composition de portefeuille et les corrélations entre ces titres sont invariables durant la période considérée, or dans la pratique la volatilité influent positivement les corrélations entre les actifs financiers.

C'est une méthode sophistiquée qui consiste à effectuer une séquence de simulation dite aussi réévaluation sur les comportements futurs possibles des facteurs de risque. La méthode de Monte Carlo combine deux types d'estimation, l'une des paramètres comme pour la méthode paramétrique et l'autre d'estimer le quantile comme pour la méthode historique.

Tant que cette procédée peut être appliqué quelque soit la distribution des facteurs de risque sur le plan théorique, alors que sur le plan pragmatique cette approche appelle l'hypothèse que les prix de marché sont distribués selon une loi gaussienne.

Cette méthode se déroule comme suit : tout d'abord, on effectue une simulation des trajectoires d'estimation des sources de risque. Á partir de ces facteurs simulés, on détermine la valeur du portefeuille. On calcule, finalement, la VaR correspondante.

Cette méthode accepte tous distribution des rendements ce qui offre une flexibilité attirante dans la mesure ou elle autorise la modification des modèles. De plus, cette méthode tient en considération des portefeuilles contenant des produits dérivés.

Nonobstant, puisque la méthode de Monte-Carlo est basée sur des processus stochastiques, son application est assez complexe et également coûteux en matière de temps de calcul. Autant cette approche suppose une évolution nulle du risque dans le temps.

Malheureusement, la VaR n'est pas la panacée des méthodologies de mesure de risque. Cependant, le choix du Valeur-à-Risque comme mesure de risque a été critiqué par plusieurs théoriciens tels que Szergö (1999), Danielsson et al. (2001) pour plusieurs raisons : dans un premier temps la VaR n'est pas une mesure cohérente au sens d'Artzner et al. (1997). Cette insuffisance mène à plusieurs problèmes théoriques et pratiques. En effet, pour des distributions non normales, la VaR n'est pas sous-additive (Embrechts et al. 2002), et peut

mener aux politiques inefficaces de diversification de risque et aux problèmes graves dans l'exécution pratique des algorithmes d'optimisation de portefeuille (M. Chabaane et al 2002), autrement dit si on introduit une action additionnelle dans la composition du portefeuille, le risque augmente donc la diversification ne permet pas de réduire le risque total, ce qui ne reflète pas la réalité.

Tandis que son calcul pour un portefeuille donné indique que son rendement sera au- dessous de la VaR avec la probabilité (1- á) × 100%, elle ne fournit aucune information sur

l'ampleur de la queue de la distribution ce qui peut être tout à fait long; dans ces cas, le rendement du portefeuille peut prendre sensiblement des valeurs inférieures que la VaR et avoir comme conséquences des pertes graves.

De plus, la base des donnés historiques disponibles sur le marché, le nombre des facteurs de risque pris en considération lors de calcul ainsi que la taille de portefeuille posent des contraintes sur l'application et la précision de la VaR .

Pour remédier ces défauts, On a proposé l'alternative en termes de VaR Conditionnelle ou Expected Shortfall (Artzner et al 1997, Acerbi et Tasche 2002, par exemple), qui apprécie la propriété de la sous-additivité.

Néanmoins que la VaR représente une mesure plus générale et utilisée par les plus parts des investisseurs, des banquiers et des teneurs de marché financier, elle a été critiqué en tant qu'étant théoriquement délicat, puisqu'elle ne vérifie pas la sous-additivité de théorie d'Artezner et al, et numériquement sophistiqué, à cause de la non convexité. De ce fait une autre mesure de risque de perte a été introduite à la fin de vingtième siècle qui est l'Expected Shortfall.

Dans la littérature, cette mesure de risque notée également sous le nom du Conditional Value-at-Risk et Expected tail loss (ETL).

En effet, l'Expected Shortfall est une mesure de risque plus pertinente et aussi puissante que la Value-at-Risk puisqu'elle tient compte des catastrophes des événements de grands dommages encourus. Autrement dit, la CVaR, de plus qu'elle est une mesure de perte comme la VaR, elle est aussi une mesure des événements rare.

A cet instar, on peut définir la CVaR comme le quantile correspondant à la perte potentielle qui peut subir un titre ou un portefeuille suite à des mouvements défavorables des prix de marché avec un seuil de confiance á donné sachant que cette perte dépasse au moins

la VaR. Donc elle permet de répondre à la question suivante : combien un investisseur peut il perdre sur un portefeuille sélectionné avec une probabilité á et pour un horizon de temps donnée sachant que cette perte dépasse au moins la VaR ?

Par conséquence, la CVaR est une mesure relative de risque, elle est définie comme étant l'espérance conditionnelle des pertes dépassant la VaR pour un niveau de confiance donné. Pour un portefeuille, elle est équivalente à l'espérance conditionnelle des rendements des titres au-dessous du rendement de la VaR.

Comme présenté par Rockafellar et Uryasev (2000), pour des distributions continues, CVaR_á d'un titre p et de taux de rendement égale à Rp est donnée par :

En outre la VaR est le minimum de l'équation (16) pour cela elle peut être une solution optimale de cette fonction et dans ce cas la CVaR est égale à la VaR.

Une autre définition peut être élaborée à l'Expected Shortfall est l'addition d'une Mean Exess (moyenne de perte) à la VaR. En effet, la figure (9) montre que la CVaR _á d'un

portefeuille est plus élevée que la VaR _á. De ce fait, la VaR-conditionnelle est donnée par l'équation suivante :

(1) On extrait cette figure de l'article « VaR, CVaR and mean-downside Risk portfolio selection » des auteurs Paolo Vanini et Luigi Vignola page 5.

Rockafellar et Uryasev (2002) ont montré que la CVaR est une mesure cohérente de risque au sens d'Artezner et al et ils ont exposé la justification dans leur article «Conditional value-at-risk for general loss distributions«. De plus ils ont dévoilé que cette mesure peut être estimée même dans le cas où l'estimation de la VaR est échouée.

D'autre part, pour des répartitions discrètes, la formule (42) conduit à une fonction non convexe en position de portefeuille, et aussi à une mesure non sous-additive de risque. Une définition de CVaR pour des distributions générales (répartitions discrètes y comprîmes) a été présenté par Rockafellar et Uryasev:

Avec P_s : la probabilité positive associée au titre s tel que p_s = 1 et Z = VaR á

Pflug (2000) a montré que l'Expected Shortfall est plus significatif que la Value-at-Risk, particulièrement, quand les données du marché suivent une distribution discrète et/ou non normale.

En discutant quelques propriétés mathématiques de la CVaR, elle est toujours plus petite ou bien égale à la VaR. mais comme nous avons mentionné ci-dessus, CVaR est une mesure cohérente tandis que le VaR ne l'est pas. On peut également montrer que ES est une fonction concave⁽¹⁾ et a, en conséquence, un minimum unique.

Pendant longtemps, la volatilité était la mesure des risques financiers la plus dominante, grâce à sa simplicité. D'autre part, la VaR est imposée par les régulateurs comme mesure plus pertinente, alors que la CVaR est recommandé par plusieurs statisticiens comme mesure alternative au VaR. A cet instar, le tableau (1) résume les caractéristiques particulières de chaque mesure.

(1) La démonstration de convexité de CVaR _á a été élaborer par Paolo Vanini et Luigi Vignola dans l'article «VaR, CVaR and mean-downside Risk portfolio selection«

Volatilité
La VaR
La CVaR
-Représentation commode et simple des risques (un seul nombre) - Mesure standard de risque et utilisé par les plus part des investisseurs. - Cohérente au sens d'Artzner et al. - S'infliance par les rendements élevés et faibles. - Inapplicable aux distributions non linéaires, tels que des options, avec des distributions non normales. -On peut appliquer une procédure de validation de la volatilité telle que test d'homoscédasticité et d'autocorrélation.
-Représentation commode et simple des risques de perte (un seul nombre) - Mesure standard de risque de perte et utilisé par les plus part des investisseurs - Non cohérente au sens d'Artzner et al car elle ne vérifie pas l'axiome de sousadditivité. -Une mesure de risque de chute du cours. - Applicable aux distributions non linéaires. -On peut appliquer une procédure de validation de la VaR tel que Backtesting -Ne mesure pas des pertes dépassant la VaR.
- Représentation commode et simple des risques de perte (un seul nombre) -Mesure recommandé pour des pertes excédant la VaR. - Cohérente au sens d'Artzner et al. -La meuilleure mesure de risque de chute du cours -Applicable aux distributions non linéaires. -Pas facilement d'appliquer les méthodes Backtesting pour tester la validation de CVaR -Plus conservatrice que la VaR: elle mesure les risques au delà de la VaR.

Conclusion

Tout au long de ce chapitre, nous avons donc expliqué les principales mesures de risque et celle de perte.

La rentabilité anticipée peut être biaisé par le risque, c'est-à-dire, différente de la rentabilité effectivement observé. Pour cette raison les gérants de portefeuille doivent tenir copte de l'incertitude. Ce principe va de soit depuis plusieurs années dés que Markowitz et Tobin (1958) ont proposé la volatilité comme mesure du niveau de risque mais seulement dans un univers gaussien.

Mais à cause de l'instabilité des facteurs de marché et l'asymétrie de l'information d'une part, et de l'existence des événements rares d'autre part, les investisseurs sont appelé à moderniser leurs stratégies des mesures dans un premier temps et de couverture contre ces risque dans un deuxième, et donc s'orienter vers des nouvelles mesures de risque permettant l'identification et la modélisation des risque d'une manière plus élégante, on parle de la VaR et la CVaR qui permettent d'éviter les pertes inacceptable; en effet la VaR est une mesure de quantile d'une distribution donnée pour un degré de confiance spécifié. Elle nous permet d'assimiler les événements de faible probabilité mais possible et d'impact dramatique sur la richesse et de quantifier cette perte potentielle en unité monétaire. Donc rend l'influence des décisions plus flexible. Toutefois, la VaR peut sous-estime le risque puisqu'elle n'est pas une mesure cohérente au sens d'Artzner (1997) de fait qu'un portefeuille diversifié peut s'avérer plus risqué. Une autre limite de la VaR c'est qu'elle néglige toute l'information sur les pertes excédant le seuil de confiance.

Pour ces raisons Rockafellar et Uryasev (2000), ont introduit la CVaR au champ d'optimisation de portefeuille, comme mesure alternative au VaR. Bref, la CVaR représente la moyenne de toutes les valeurs dans la queue gauche dépassant la VaR. De plus, elle est une mesure cohérente, en particulier elle encourage la diversification.

Pourtant, un portefeuille composé de plusieurs produits exotiques rend l'application de la CVaR très compliqué

Introduction

Les gestionnaires des actifs financiers visent à créer un portefeuille optimal qui rapporte en même temps, un taux de rendement espéré plus élevé et un niveau de risque acceptable. Pour cela, on va comparer dans ce chapitre, quatre approches de choix de portefeuille.

En effet, après avoir présenté l'échantillon de l'étude, nous rappelons dans la deuxième sous-section, l'approche Moyenne-Variance de Markowitz, ainsi la Courbe d'indifférence et l'effet d'introduire un actif sans risque sur la frontière efficiente.

Ensuite, dans une troisième partie, nous commençons par une comparaison entre deux méthodes d'estimation du VaR. Ainsi, nous étudions, une deuxième approche d'optimisation du portefeuille et qui est l'approche Moyenne-VaR.

Cependant, parce qu'un investisseur rationnel cherche toujours à limiter sa perte maximale pour des niveaux de risque fixés par lui-même, nous traitons dans une cinquième sous section l'impacte d'ajouter une contrainte de type VaR au modèle classique Moyenne-Variance, ainsi nous comparons cette approches aux autres vus pré-avant.

Or, puisque la Value-at-Risk n'est pas une mesure cohérente dans le sens d'Artzner, dans la dernière partie, nous allons traiter l'impacte d'ajouter une contrainte de type CVaR au modèle de Markowitz sur le choix de portefeuille optimal.

III.1 Présentation de l'échantillon du l'étude

Les donnés de notre étude sont constituées de vingt actions de CAC40 cotées à la bourse française sur dix ans. Ces actions sont : Air France, Air Liquide, Alcatel-Lucent, Axa, BNP, Bouygues, Carrefour, Danone, Essilor-Intl, Lafarge, LVMH, Michelin, L'orial, Peugeot, Renault, Schneider Electrique, Société Générale, Total, Vallourec et Vinci.

Les cotations journaliers de ces actions sont comptés à partir des cours correspondant à une période qui s'étale de 01 janvier 1997 jusqu'au 17 décembre 2007, la taille de l'échantillon et donc de 2859 observations.

A partir de ces cotations, on a calculé les taux de rentabilité journaliers de chaque action pour déterminer les caractéristiques de chaque titre ; parmi ces caractéristiques on citera dans

le tableau suivant, la moyenne de chaque actif financier, la variance, l'étendu, ainsi les taux de rendement maximal et minimal sur l'horizon de temps considéré :

Actions	Moyenne 10^- 3	Variance _10^- 3	Ecart type	Rmin	Rmax	Etendu
Air France	0.7	1.07584	0.0328	-0,12022	0,8215	0,94172
Air Liquide	0.5	0,31329	0.0177	-0,1099	0,0836	0,1935
Alcatel-Lucent	0.3	1.14244	0.0338	-0,3839	0,4054	0,7893
Axa	0.5	0,53824	0.0232	-0,1707	0,1332	0,3039
BNP	0.8	0,46656	0.0216	-0,1178	0,1437	0,2615
Bouygues	1	0,56644	0.0238	-0,1504	0,1584	0,3088
Carrefour	0.2	0,37249	0.0193	-0,1037	0,1172	0,2209
Danone	0.6	0,256	0.0160	-0,1019	0,1019	0,2038
Essilor Intl	0.6	0,35721	0.0189	-0,1311	0,1251	0,2562
Lafarge	0.6	0,41209	0.0203	-0,169	0,1308	0,2998
LVMH	0.5	0,44944	0.0212	-0,1074	0,1226	0,23
Michelin	0.4	0,43264	0.0208	-0,097 1	0,1283	0,2254
L'orial	0.6	0,38416	0.0196	-0,1507	0,1112	0,2619
Peugeot	0.6	0,38809	0.0197	-0,1297	0,1102	0,2399
Renault	0.9	0,56644	0.0238	-0,1297	0,1294	0,2591
Schneider.Elec	0.6	0,47524	0.0218	-0,204	0,1126	0,3 166
Sté générale	0.8	0,49284	0.0222	-0,1334	0,1185	0,2519
Total	0.6	0,32761	0.0181	-0,1233	0,0921	0,2154
Vallourec	1.4	0,58564	0.0242	-0,2578	0,1012	0,359
Vinci	1.1	0,33856	0.0184	-0,096	0,0809	0,1769

Ce tableau, devanture que l'action Alcatel-Lucent est plus risqué que les autres actifs : D'une part, il dispose, à peu près, la plus petite moyenne et la variance aussi élevée. D'autre part, il possède un étendu le plus grand par rapport aux autres titres à cause de la faible valeur de Rmin.

Pareillement, à partir de la moyenne, on conclue que l'action Vallourec est plus rentable, soit un taux de rendement moyen égal à 1,4. Contrairement au titre Carrefour qui est le plus risqué dans notre échantillon d'un taux équivalent à 0,2.

Également, pour les investisseurs averses au risque, l'actif Danone est préférable que les autres titres, car sa variance est la moins élevée d`une valeur 0,256.

Cependant, Nicolas Bernoulli a montré dans la première moitié du ^18émme siècle que la maximisation du rendement espéré est un critère de choix très anciens. De plus, il a mentionné certains inconvénients de cette approche telle que la négligence du risque lors de sélection de portefeuille.

A cet effet, l'approche Moyenne-Variance de Markowitz, qu'on va l'évoquer dans le paragraphe suivant, est plus généralisé que le critère de maximisation du rendement espéré, puisqu'elle regroupe la moyenne et le risque lors de choix des titres optimaux.

Selon Markowitz, l'analyse de la sélection de portefeuille peut être formalisée comme un système d'optimisation composé par une fonction de minimisation de variance sous une contrainte d'un taux de rendement fixé.

Pour résoudre ce système, Markowitz suppose que les taux de rendements sont normalement distribués (1).

La figure (10), représente l'histogramme des taux de rendement de portefeuille des actions triés. En effet, cet histogramme semble être symétrique par rapport à un axe parallèle à l'axe des coordonnés passant par le point d'abscisse 0. Cela est un indicateur d'une distribution normale et centrée. De ce fait, on peut utiliser l'approche classique pour la sélection de portefeuille optimal.

L'objectif d'investisseur rationnel, d'après la théorie Moyenne-Variance, est la construction d'un portefeuille qui offre le risque le plus faible possible pour un niveau de rendement désiré. Dans ce cas, le risque est contrôlé par un seul instrument, qu'est la variance

(1) : Une loi normale est caractérisée par deux propriétés ; la première est le coefficient de Kurtosis (d`aplatissement) qui est égale à 3 et la deuxième le coefficient de Skewnes (d'asymétrie) qui est équivalent à 0.

En choisissant les proportions de chaque titre dans le portefeuille, un investisseur choisit parmi les paires disponibles de Moyenne-Variance, les actions intéressées. Afin de calculer

les allocations pour une paire possible, nous fixons un taux de rendement espéré R.

Pour se faire, le portefeuille optimal pour tous les investisseurs averses au risque est celui qui résoudre ce système :

À travers une programmation sur le logiciel de Matlab, on détermine les proportions Xi à investir dans les différentes actions. Or pour tracer la frontière d'efficience, on fixe chaque fois un taux de rendement espéré et on détermine la variance minimale de portefeuille. Ainsi, dans le tableau (3), nous comptons les vecteurs d'allocation d'actifs ainsi la variance de portefeuille pour des espérances équivaut à ; 0.02% ; 0.04%; 0.06%; 0.08% ; 0.09% et 0.1%.

Xi R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
X1	0.0352	0.0434	0.0782	0.0385	0.0555	0.0567
X2	0.0000	-0.0000	0.0391	0.0186	0.0619	0.0393
X3	0.3637	0.3465	0.3163	0.0559	0.1471	0.1590
X4	0.0281	0.0002	0.0487	0.0361	0.0557	0.0316
X5	0.0486	0.0818	0.0131	0.0406	0.0427	0.0272
X6	-0.0000	0	0	0.0308	0.1007	0.0523
X7	0.1154	0.0944	0.1340	0.1071	0.0928	0.0555
X8	0	0.0193	0.0560	0.0726	0.0900	0.0637
X9	0	0.0186	-0.0000	0.0766	0	0.0276
X10	0.0014	0.0000	0.0031	0.0594	0.0017	0.0351
X11	0.1012	0.0540	0.0633	0.0739	0.1060	0.1054
X12	0.0000	-0.0000	0.0078	0.0694	0.0458	0
X13	0.0876	0.0638	0.0607	0.0225	0.0364	0.0820
X14	0.0948	0.0934	0.0732	0.0689	0.0183	0.0703
X15	0.0228	0.0186	0.0378	0.0885	0.0836	0.0105
X16	0	0.0259	0.0264	0.0174	0.0396	0.0568
X17	0.0940	0.0783	0.0338	0.0903	0.0054	0.0658
X18	0.0070	0.0618	0.0085	0.0118	0.0167	0.0612
X19	0	0	0	0.0101	0	0
X20	-0.0000	-0.0000	0	0.0110	0	0
Variance	0. 987	1.026	1.0607	1.3001	2.2677	2.335
10^-4
VaR99%	0.0237	0.0243	0.0251	0.0358	0.0360	0.0365

En conséquence, on remarque que plus le niveau du rendement espéré est élevé plus le risque, qui est mesuré par la variance, est grande. Par exemple, pour une espérance égale à 0,02%, on a une variance équivalente à 0,987.10^-4. Par contre, en augmentant le taux de rendement espéré à une valeur 0, 1%, le risque accroît également pour atteindre une valeur de 2,335.1 0^-4. Pareillement, on peut mesurer le risque de portefeuille à partir du VaR. A ce fait, nous avons calculé la VaR de portefeuille pour un niveau de confiance égale à 99%. Comme la variance, chaque fois l'espérance est augmentée, la _VaR99% amplifie.

Pour bien marquer la relation entre le taux de rendement espéré et la variance d'un portefeuille, nous traçons dans le graphique suivant, la frontière efficiente dont ainsi définie :

Cette frontière contient les portefeuilles optimaux pour chaque niveau de rentabilité espéré où le risque est minimum. Ces portefeuilles forment une courbe concave et elliptique dont les coordonnées sont le risque et la rentabilité espérée.

Une question fondamentale s'interroge dans cette partie qu'est ; comment un investisseur averse au risque choisit son portefeuille parmi ces derniers ?

Chaque investisseur sélectionne une fonction d'utilité qui est spécifique à son niveau d'aversion au risque. Or pour un investisseur averse au risque, construit son portefeuille en maximisant l'espérance de rendement et en réduisant le risque. La fonction qui satisfait ces deux conditions est la fonction quadratique. Or, pour déterminer la courbe d'indifférence, on doit maximiser la fonction d'utilité espérée :

Pour illustrer la courbe d'indifférence, on fixe, au départ, ë à une valeur équivalente à 1.3 et on augmente chaque fois l'espérance pour déterminer la variance. Ainsi on trouve les différentes valeurs dans le tableau 4.

Tableau 4 : Variances des portefeuilles optimums pour un degré d'aversion ë= 1.3

À partir des valeurs trouvées, on trace la courbe d'indifférence dans un plan des coordonnés variance et espérance :

Sur la figure (12), sont représentées deux courbes ; la première, tracé en bleue, est la frontière efficiente et la deuxième en verte, est la courbe d'indifférence. On remarque que la courbe d'indifférence est convexe ce qui provoque que le risque n'augmente pas linéairement en fonction du poids des actifs dans le portefeuille. De plus elle coupe la frontière de Markowitz en deux points A et B ; ces deux points représente deux portefeuilles optimums.

Ainsi, selon sa tolérance au risque, l'investisseur choisit son portefeuille parmi ces deux points. à titre d'exemple, s'il est moins averse au risque, il sélectionne le portefeuille A, sinon, le portefeuille B sera plus efficace.

Cependant, chaque investisseur dispose un degré d'aversion au risque spécifique à sa position selon sa préférence du risque. De ce fait, on va étudier par suite, l'effet d'augmenter ë à une valeur 5, sur le choix de portefeuille efficient.

Tableau 5 : Variances des portefeuilles optimums pour un degré d'aversion ë= 5

A partir des valeurs trouvées dans les tableaux 4 et 5, on trace les courbes d'indifférence dans le plan des coordonnés variance et espérance :

Sur la figure 13, sont représentées deux courbes d'indifférence C et C' pour deux niveaux d'aversion successifs 1,3 et 5. La courbe C' représente un niveau de risque plus élevé que C, pour cela son intersection avec la frontière d'efficience se réalise à deux points ; la première, à un niveau d'espérance plus haut que le point A (Figure 12), par contre la deuxième à un niveau plus faible que le point B (Figure 12). En conséquence, la courbe C' offre un niveau de satisfaction plus faible que la courbe C. Mais ces deux courbes ne produisent pas le niveau d'utilité le plus élevé puisqu'elles ne sont pas tangentes à la frontière efficiente.

Supposons maintenant qu'il existe un actif sans risque dont le taux de rentabilité Rf est fixé à une valeur égale à 6.10^-4 sur l'horizon de temps considéré. Dans ce cas, le risque de l'actif est nul (c'est-à-dire variance = 0) et son espérance égale à 0.06%.

Où Xf désigne la proportion prise par l'investisseur dans l'actif sans risque.

A cet effet, dans le tableau 6, nous déterminons les vecteurs d'allocation des actions ainsi la variance de portefeuille lorsqu'on introduit un actif sans risque.

Tableau 6: Les proportions des actions dans les portefeuilles optimaux suite à
l'introduction d'un actif sans risque

Xi	R =0.6 10^-3
X1	0	0
X2	0	0
X3	0	0
X4	0	0
X5	0	0
X6	0	0
X7	0	0
X8	0.1481	0.1020
X9	0	0
X10	0	0
X11	0	0
X12	0	0
X13	0.8199	0.8227
X14	0	0
X15	0	0
X16	0	0
X17	0	0
X18	0	0
X19	0	0
X20	0	0
Xf	0.0321	0.0752
Variance 10^-4	1,0506	1,0432

Pour R égal à 0.06%, on remarque que l'ajout d'un actif sans risque fait diminuer le risque, mesuré par la variance, de 1,0607.10^-4 à 1,0506.10^-4. De plus lorsqu'on augmente la proportion de l'actif sans risque dans le portefeuille de 3.21% à 7.52% la variance diminue de 1,0506.10^-4 à 1,04320.10^-4.

Suite à l'introduction d'un actif sans risque, la frontière efficiente n'est plus elliptique, elle se transforme en une droite linéaire passant par le taux de rentabilité Rf et tangente à l'ancienne frontière. Donc on peut schématiser cette frontière comme suite :

Ainsi, l'investisseur place une fraction Xf dans l'action sans risque et les restes dans le portefeuille risqué. La frontière d'efficience prend alors la forme d'une demi droite qui est [Rf , M[. Le point M qui correspond au point de tangence entre l'ancienne frontière et la récente. On remarque aussi, que l'introduction d'un actif sans risque fait augmenter le rendement espéré de p' à p, pour un même niveau de risque égale à 0,012.10^-2.

Le portefeuille optimal est celui qui correspond au point de tangence entre la demie droite [Rf , M[ et la courbe d'indifférence la plus élevée qu'il peut l'atteindre.

Bien que l'approche Moyenne-Variance est la plus utilisé en pratique par la plupart des investisseurs, elle souffre de certaines limites, telle qu'elle se base sur la variance comme mesure de risque, qui analyse les pertes et le les gains de même façon et n'est valable que dans un univers gaussien. Or puisque la loi normale possède une queue fine, l'approche classique ne tient pas compte des valeurs extrêmes situant au niveau des queues. Ainsi, dans la figure 15, nous avons illustré les cours du portefeuille examiné sur l'horizon de temps considéré. On enregistre, pendant les dix ans, des valeurs qui dépassent les variances maximum et minimum #177; 0.2.

De ce fait, on va introduire dans la partie suivante une autre mesure de perte dont elle tient compte des valeurs extrêmes, la Value-at-Risk, et on étudiera son effet sur le choix de portefeuille efficient.

Nous étudierons dans cette section deux méthodes d'estimation du VaR : la méthode paramétrique et la méthode empirique.

Afin de calculer la VaR paramétrique, nous supposons que les rendements des actions ainsi de portefeuille suivent une loi normale. A partir, d'une programmation sur Matlab, on calcule la VaR pour trois niveau de confiance 99%, 95% et 90%. Les résultats trouvés sont enregistrés dans le tableau 7 :

VaR(á) Actions	VaR (0.99) %	VaR (0.95) %	VaR (0.90) %
Air France	-7,56	-5,32	-4,13
Air Liquide	-4,07	-2,86	-2,22
Alcatel-Lucent	-7,84	-5,54	-4,31
Axa	-5,33	-3,75	-2,91
BNP	-4,94	-3,47	-2,68
Bouygues	-5,43	-3,81	-2,95
Carrefour	-4,46	-3,15	-2,45
Danone	-3,65	-2,56	-1,98
Essilor Intl	-4,34	-3,05	-2,36
Lafarge	-4,67	-3,28	-2,55
LVMH	-4,89	-3,45	-2,68
Michelin	-4,81	-3,39	-2,63
L'orial	-4,49	-3,16	-2,45
Peugeot	-4,51	-3,17	-2,46
Renault	-5,44	-3,82	-2,96
Schneider.E	-5,02	-3,53	-2,74
Sté générale	-5,08	-3,57	-2,76
Total	-4,14	-2,91	-2,26
Vallourec	-5,49	-3,84	-2,96
Vinci (EXSGE)	-4,19	-2,93	-2,26

Le Tableau 7, nous permet de constater que chaque fois le niveau de confiance diminue, la VaR baisse. Par exemple la VaR (99%) de l'action Air France équivalente à 7.56% en valeur absolu, cependant, elle diminue lorsque le niveau de confiance devient 90% à une valeur 4.13%. On peut expliquer cette résultat de la façon suivante : la VaR (99%)=7.56% cela signifie qu'il y a 1% d'avoir une perte maximale sur l'action Air France dépasse 7.56%. Mais

pour la VaR (90%) on a 10% de chance d'enregistrer une perte maximale dépasse 4.13% ; C'est -à- dire qu'on est moins douteux d'avoir un résultat parfait lorsque on estime la VaR à un niveau de confiance de 99% que d'un niveau de confiance équivaut à 90%.

De plus, pour différent niveau de confiance, on voit que l'action Alcatel-Lucent est plus risquée que les autres actifs. Par contre l'action Danone est la plus efficace en terme de perte, puisqu'elle possède la plus petite valeur de VaR.

Cette méthode présume que le futur est le prolongement de passé. Autrement-dit, à partir des cours passés, on estime les cours futurs. Selon une programmation sur Matlab, on calcule la VaR pour trois niveaux de confiance 99%, 95% et 90%. Les résultats trouvés sont enregistrés dans le tableau 8 :

VaR(á) Actions	VaR (0.99) %	VaR (0.95) %	VaR (0.90) %
Air France	-7,79	-3,63	-2,72
Air Liquide	-4,43	-2,80	-2,06
Alcatel-Lucent	-8,69	-5,07	-3,46
Axa	-6,50	-5,07	-2,42
BNP	-6,05	-3,24	-2,27
Bouygues	-6,50	-3,58	-2,51
Carrefour	-5,20	-3,05	-2,14
Danone	-3,87	-2,36	-1,63
Essilor Intl	-4,93	-2,81	-1,97
Lafarge	-5,54	-3,21	-2,30
LVMH	-5,27	-3,29	-2,30
Michelin	-5,54	-3,35	-2,29
L'orial	-4,96	-3,11	-2,18
Peugeot	-4,88	-3,09	-2,13
Renault	-5,92	-3,74	-2,61
Schneider.E	-5,58	-3,36	-2,40
Sté générale	-6,39	-3,47	-2,33
Total	-4,71	-2,90	-2,10
Vallourec	-6,12	-3,63	-2,52
Vinci (EXSGE)	-4,59	-2,77	-1,94

De même que la VaR paramétrique, on constate que, plus le niveau de confiance est élevé, plus la perte subie par l'investisseur est grande. Toutefois, pour toutes les actions on remarque

que la VaR(99%) empirique est inférieur à celle paramétrique ; à titre d'exemple, pour l'action Air France, on a une VaR paramétrique équivalente à 7.56% en valeur absolue, par contre lorsque on l'estime par la méthode empirique, elle augmente pour atteindre une valeur 7,79%. Nonobstant, pour des niveaux de confiance inférieure à 99%, la VaR empirique devient supérieure à celle paramétrique.

Une question fondamentale se pose ici; qu'elle est la meilleure méthode d'estimation du VaR?

L'estimation de VaR par la méthode historique est plus efficace, dans certain cas, que par la méthode paramétrique. En effet, elle n'impose aucune hypothèse sur la nature de distribution des rendements, contrairement à la méthode paramétrique que suppose que les taux de rendement soient normalement distribués. Mais La rareté des donnés peut apporter des problèmes quant à l'application de cette méthode.

Puisque l`approche de Markowitz est imparfaite pour le choix de portefeuille à cause de la non considération des valeurs extrêmes, dans cette partie, nous nous intéressons à l'optimisation de portefeuille avec la VaR. Pour cette raison, et comme l'approche Moyenne- Variance, nous examinons l'effet d'introduire la VaR au lieu de la variance comme mesure de risque sur la sélection de portefeuille. Pour ce faire on a procédé à une programmation sur Matlab ; il s'agit de minimiser la fonction objective, la VaR, sous contrainte un niveau désiré de taux de rendement espéré. Le portefeuille optimal pour cette approche est celui qui résoudre la programme suivante ;

Pour faciliter les calcules, on utilise la méthode paramétrique afin d'estimer la VaR des actions ainsi de portefeuille, pour cela on peut récrit le système de manière suivante ;

Par ailleurs, notre objectif est de déterminer les proportions Xi représentant les poids des actions dans le portefeuille optimum. A cet effet, dans le tableau (9) nous calculons les vecteurs d'allocation des actifs ainsi la VaR de portefeuille pour un niveau de confiance 99%.

Tableau 9 : Les proportions des actions dans les portefeuilles optimaux (á =99%)

Xi R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
X1	0.0431	0.0032	0	0.0574	0.0158	0.1115
X2	0.0092	0.0622	0.0697	0.0636	0.1103	0.0418
X3	0	0	0	0.05 13	0.0205	0
X4	0.0091	0.0163	0	0.0698	0.0916	0.0786
X5	0.057 1	0	0	0.0899	0.0449	0.0962
X6	0.0263	0.1045	0.1501	0.0058	0.0637	0.0245
X7	0.0531	0.1079	0.1294	0.0278	0.0169	0
X8	0.0746	0.0724	0.0089	0.0809	0.0052	0.0523
X9	0.0871	0.0687	0.0589	0.0310	0.0303	0.0079
X10	0.0889	0.0602	0.0365	0.0968	0.0230	0.0719
X11	0.0101	0.0131	0.0098	0.0672	0.0919	0.1005
X12	0.0560	0.0652	0.0412	0.0073	0.0205	0.0491
X13	0.0730	0.0791	0.1745	0.0057	0	0.0568
X14	0.0467	0.0259	0.0665	0.0000	0.0300	0
X15	0.0224	0.0606	0.0654	0.0226	0.0795	0.0501
X16	0.0865	0.0882	0.0392	0.0536	0.0997	0.0459
X17	0.0567	0.0059	0	0.0455	0.0559	0.0272
X18	0.0840	0.0850	0.0341	0.0698	0.01 14	0.0248
X19	0.0423	0.0552	0	0.0943	0.1381	0.1401
X20	0.0738	0.0263	0.1157	0.0596	0.0508	0.0208
VaR(á)	-0.0264	-0.0267	-0.0269	-0.027 1	-0.0273	-0.0274
ó²(10)^-4	1.4478	1.4838	1.5639	1.7390	1.8584	1.8743

De même que l'approche de Markowitz, on constate que le niveau de risque, mesuré par la VaR, augmente chaque fois que le rendement espéré accroît. En effet, pour une espérance

égale à 0.02%, la VaR (99%) équivalente à 2.64% en valeur absolu, par contre, lorsqu'on augmente le taux de rendement espéré à une valeur 0.1%, le risque accroît, également, pour atteindre une valeur égale à 2.74%.

Le calcul de la variance de portefeuille nous amène à déduire que, chaque fois l'espérance est augmentée, la variance de portefeuille est amplifie. De plus, pour différent niveau de taux de rendement espéré, on voit que le poids de l'action Alcatel-Lucent (x3) dans la plupart des portefeuilles, est nul. Cela est expliqué de faite que ce titre est plus risqué (on a déjà montré ça dans le paragraphe « estimation de VaR »).

III.4.1 Comparaison des approches Moyenne-Variance et Moyenne-VaR

Pour faire cette comparaison, on illustre dans le tableau (10) les caractéristiques des différents portefeuilles optimaux sélectionnés par les deux approches :

En comparant, les deux approches antérieures, on constate que les portefeuilles sélectionnés par l'approche Moyenne-Variance pour les espérances qui s'étalent de 0.02% à 0.08% sont les plus optimaux en terme de risque ; par exemple, pour un même taux de rendement espéré 0.08%, on enregistre une variance de 1,3001.1 0^-4 pour l'approche classique, mais pour l'approche Moyenne-VaR, la variance est de 1,739.10^-4.

Cependant, lorsque le taux de rendement espéré dépasse la valeur 0.08%, les portefeuilles choisis par l'approche Moyenne-VaR, sont plus efficients en terme de risque. En effet, si l'espérance est équivalente à 0,1%, on enregistre une variance de 2,335.10^-4 pour l'approche classique, mais pour l'approche Moyenne-VaR, la variance est plus faible de valeur 1,8743.10^-4.

Donc on peut schématiser dans un plan (variance, espérance) les frontières efficientes de deux approches, comme suite :

On constate que la frontière de l'approche Moyenne-VaR est sous forme d'un arc, Cette frontière contient les portefeuilles optimaux pour chaque niveau d'espérance choisie et un minimum VaR. Par ailleurs, pour un niveau de taux de rendement inférieur à 0.0825% on observe que la courbe de l'approche Moyenne-VaR (99%) est situé au dessous de la frontière efficiente de l'approche classique. Par contre, lorsque l'espérance dépasse 0.0825%, la courbe de l'approche classique devient au dessous de la courbe qui est en rouge. Les deux courbes ont un point d'intersection de valeur 0.0825%. Mais comment choisir la meilleure approche ?

Selon sa préférence au risque et le niveau d'espérance désiré, l'investisseur choisit les portefeuilles adéquats en utilisant l'un de deux approches antérieures. Le tableau suivant classe ces deux approches en fonction de niveau de taux de rendement espéré :

Cependant, quelle est l'approche adaptée lorsque le niveau de confiance diminue à 90% ? Pour répondre à cette question, nous calculons, dans le tableau 12, la variance des portefeuilles optimaux pour deux niveaux de confiances á=99% ainsi á=90%. En effet, les

portefeuilles optimaux sont construits en résolvant le problème de l'optimisation MoyenneVaR ci-dessus, pour différents niveaux de confiance. Ainsi, les résultats trouvés sont enregistrés dans le tableau ci-dessous :

En comparant, les deux approches Moyenne-VaR(99%) et Moyenne-VaR(90%), on constate que les portefeuilles sélectionnés par la première approche sont plus optimaux en terme de risque ; par exemple, pour un même taux de rendement espéré 0.1%, on enregistre une variance1.8743.10^-4 pour l'approche dont á = 99%. Mais, pour la deuxième approche, la variance est de 2.1695.10^-4.

On peut conclure donc, que plus le niveau de confiance á est élevé, plus qu'on a une chance d'avoir un portefeuille plus efficace dont le risque est minimum.

En d'autres termes, on peut certifier ce résultat à partir la figure (17) où on trace les deux frontières efficientes pour á=99% ainsi á=90%.

Sur cette figure, nous distinguons deux frontières d'efficiences différentes correspondant à á = 99% et á = 90%. Ainsi, On constate que la courbe de l'approche Moyenne-VaR (99%) se situe au dessus de la frontière efficiente de l'approche Moyenne-VaR (90%).

Afin de limiter les pertes potentielles, nous explorons maintenant une moderne approche édité par Rockafellar et Uryasev (2002) connue sous le nom approche Moyenne-VarianceVaR. Cette approche est plus générale que les deux approches vues précédemment puisqu'elle combine deux mesures de risque au même temps : la Variance et la VaR.

Il intervient à notre esprit une question fondamentale : comment un investisseur sélectionne le portefeuille le plus optimal ?

Dans ce sens, un portefeuille efficient, d'après Rockafellar et Uryasev, est le portefeuille qui minimise la variance et se borne le VaR à une valeur absolue maximale égale à V. D'où, on peut définir ce modèle sous la forme suivante :

Afin de résoudre ce système et trouver les justes proportions de chaque action dans le portefeuille optimal, et pourá =99%, on fixe deux valeurs pour V et on compare chaque fois les résultats trouvés avec les résultats vus auparavant.

À cet instar, on choisit pou la première valeur V = 0.756%. Ainsi, dans le tableau 13, nous comptons les poids des actions dans les portefeuilles efficaces et ces variances :

Tableau 13 : Les proportions des actions dans les portefeuilles optimaux á =99%
et V= 0.756%.

Xi R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
X1	0.0065	0.0623	0.0697	0.0244	0.0786	0.1079
X2	0.0470	0.0583	0.0703	0.0218	0.0565	0.0512
X3	0.0044	0.0084	0.0039	0	0	0
X4	0.0891	0.0163	0.0348	0.0009	0.0615	0
X5	0.0183	0.0269	0	0.0281	0.0698	0.0067
X6	0.0371	0.0284	0.0810	0.0794	0.0173	0.1091
X7	0.0755	0	0.0023	0.0655	0.0419	0.0578
X8	0.0232	0.0051	0.0384	0	0.0223	0.0353
X9	0.0887	0.0784	0.0021	0.0654	0.0551	0.0018
X10	0.1018	0.0333	0.0298	0.0777	0.0406	0.0440
X11	0.0108	0.0282	0.0669	0.0555	0.0663	0.0748
X12	0.0341	0.0913	0.0812	0.0913	0.0260	0.0426
X13	0	0.0088	0.0204	0.0504	0.0454	0.0080
X14	0	0.0645	0.0674	0.0567	0.0150	0.0344
X15	0.0707	0.0605	0.0436	0.0301	0.0402	0.1052
X16	0.0198	0.0804	0.0496	0.0787	0.0382	0.0737
X17	0.0784	0.0309	0.0443	0.0207	0.0480	0
X18	0.0111	0.0830	0.0532	0	0.0126	0.0397
X19	0.1447	0.1572	0.1556	0.1474	0.1662	0.1612
X20	0.1388	0.0778	0.0854	0.1061	0.0986	0.0467
ó²(10)^-4	1.0056	1.0397	1.0566	1.0904	1.0931	1.1031

Comme pour l'approche classique, on remarque que plus le niveau du rendement espéré est élevé, plus le risque est grand. Mais l'évolution de l'espérance et de variance n'est pas de même proportion, puisque cette dernière évalue avec proportion très faible. En outre, pour une espérance de 0.02%, on a un portefeuille optimal où la variance est minimum de valeur 1.0056.10^-4. Cependant, lorsque on augmente le taux de rendement espéré à 0.1%, la variance de portefeuille efficace augmente aussi et prendre une valeur de 1.1031.1 0^-4.

De plus, on constate que, pour différents niveaux des taux de rendement espérés, le poids de l'action Alcatel-Lucent (X3) dans les plus part des portefeuilles, est presque nul. Cela est expliqué, de faite que ce titre est plus risqué (on a déjà montré ça dans le paragraphe « estimation de VaR »).

Figure 18 : Frontière efficiente de l'approche Moyenne-Variance-VaR pour V= 0.756%

La figure 18 illustre la frontière efficiente de l'approche Moyenne-Variance-VaR (99%) quand V = 0.756%. On constate que cette frontière n'est plus sous forme elliptique, puisque la variance évalue avec une proportion très faible. En effet, Cette frontière contient

les portefeuilles optimaux pour chaque niveau d'espérance choisie et un minimum de variance dont la valeur de VaR est limitée à 0.756%.

III.5.1 Comparaison des approches Moyenne-Variance, Moyenne-VaR(99%) et Moyenne-Variance-VaR(99%)

Pour faire cette comparaison, on illustre dans le Tableau 14 les caractéristiques des différents portefeuilles optimaux sélectionnés par les trois approches :

Approche	ó2	_R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
M-Variance	ó²(10)^-4		0. 987	1.026	1.0607	1.3001	2.2677	2.335
M-VaR(99%)	ó²(10)^-4		1.4478	1.4838	1.563	1.7390	1.858	1.8743
M-V-V (99%)	ó²(10)^-4		1.0056	1.0397	1.0566	1.0904	1.0931	1.1031

Il est donc visible, d'après ce tableau, que l'approche de Markowitz reste encore plus performante que les deux autres approches, pour les espérances qui s'étalent de 0.02% à

0.04% puisqu'elle permet de sélectionner les portefeuilles les moins risqués. En effet, on constate que pour ces deux taux de rendement espérés, les portefeuilles trouvés par l'approche classique sont caractérisés par la variance la plus faible.

Mais, lorsque l'espérance dépasse 0.05%, l'approche Moyenne-Variance-VaR (99%) dévient l'approche la plus adaptée par l'investisseur. En outre, elle permet d'avoir des portefeuilles optimaux dont leurs variances sont les plus minimums.

En d'autres termes, on peut certifier ce résultat à partir la figure 19 où on trace les trois frontières efficientes dans un même plan :

Par ailleurs, pour un niveau de taux de rendement inférieur à 0.05%, on observe que la courbe de l'approche Moyenne-VaR (99%) se situe au dessous de deux autres frontières, ce que implique que pour un même espérance, cette approche donne des portefeuilles très risqués contrairement à la courbe de l'approche classique qui est plus rentable. Par contre, lorsque l'espérance dépasse 0.05%, la courbe de l'approche Moyenne-Variance-VaR(99%) est au dessus des autres courbes, de plus cette courbe s'intersecte avec la frontière de Markotitz pour un espérance de 0.05% .

Pour récapituler, on illustre un tableau où on classe les trois approches selon la variance ainsi l'approche adaptée en fonction de portefeuille sélectionné :

Néanmoins, comment varie la variance des portefeuilles optimaux sélectionnés par cette dernière approche, lorsque on augmente la borne de VaR (99%) de 0.756% à 7,5% ?

Pour répondre à cette question, nous calculons dans le tableau 16, la variance des portefeuilles optimaux pour deux niveaux de V (0.756% et 7,5). Ainsi, le résultat trouvé est enregistré dans le tableau ci-dessous ;

En conséquence, on constate que plus V est élevé, c'est-à-dire plus on augmente l'intervalle de variation de VaR, plus les portefeuilles efficients choisis par cette approche sont risqués. Par exemple, pour un taux de rendement espéré de 0.1%, le portefeuille optimal trouvé a une variance de 1.103 1.10^-4 lorsque V=0.756%. Par contre, en augmentant V à une valeur 7.5%, la variance de portefeuille optimal accroît à 1.444.10^-4.

Ainsi, on peut certifier ce résultat à partir la figure (20) où on trace les deux frontières des portefeuilles efficients pour V=0.756% et V=7.5%.

La figure 20, montre que chaque fois on diminue V, on trouve des portefeuilles plus optimaux, puisque la frontière d'efficience pour V=0.756% est situé au dessus de courbe de V=7.5%.

III.6 Estimation paramétrique de la CVaR

Afin de calculer la CVaR paramétrique, nous supposons que les rendements des actions ainsi de portefeuille suivent une loi normale. De ce fait, la formule de CVaR est donnée par :

A partir, d'une programmation sur Matlab on calcule la CVaR pour trois niveaux de confiance 99%, 95% et 90%. Les résultats trouvés sont enregistrés dans le tableau suivant :

Action CVaR(á)	CVaR(0.99)%	CVaR(0.95)%	CVaR(0.90)%
Air France	-15.31	-1094	-866
Air Liquide	-8.26	-5.96	-4.8 1
Alcatel-Lucent	-15.87	-11.44	-9.15
Axa	-10.86	-7.81	-6.24
BNP	-10.07	-7.23	-5.77
Bouygues	-11.07	-7.96	-6.38
Carrefour	-9.04	-6.54	-5.24
Danone	-7.43	-5.35	-4.26
Essilor-Intl	-8.82	-6.35	-5.05
Lafarge	-9.5	-6.85	-5.51
LVMH	-9.92	-7.17	-5.74
Michelin	-9.76	-7.06	-5.65
L'orial	-9.13	-6.6	-5.27
Peugeot	-9.17	-6.63	-5.31
Renault	-11.08	-7.99	-6.41
Schneider.Elec	-10.2	-7.34	-5.9
Sté générale	-10.37	-7.48	-5.96
Total	-8.42	-6.09	-5.48
Vallourec	-11.22	-8.06	-6.43
Vinci (EXSGE)	-8.56	-6.15	-8.66

Le Tableau (17) nous permet de constater que chaque fois le niveau de confiance diminue, la CVaR baisse. De plus, on remarque que la CVaR est plus grande que la VaR pour toutes les actions, ceci est dû au fait que l'Expected Shortfall est une mesure de risque plus générale que la Value-at-Risk. En outre, pour différent niveau de confiance on voit que l'action AlcatelLucent est plus risquée que les autres actifs. Par contre l'action Danone est la plus efficace en terme de perte, puisqu'elle possède la plus petite valeur de CVaR.

III.7 L'approche Moyenne-Variance-CVaR

Un investisseur rationnel cherche toujours à minimiser le risque du portefeuille et par suite limité sa perte maximale pour des niveaux de risque fixés par lui même. Or, puisque la Valueat-Risk n'est pas une mesure cohérente dans le sens d'Artzner, dans cette partie nous allons traiter l'impacte d'ajouter une contrainte de type CVaR au modèle classique Moyenne- Variance. En outre, dans ce cas le risque de portefeuille sélectionné est contrôlé par deux mesures ; la variance et la CVaR.

Le portefeuille optimal pour cette approche est celui qui minimise la variance et se borne le CVaR à une valeur absolu maximale égale à C.

Afin de résoudre ce système et trouver les justes proportions de chaque action dans le portefeuille optimal, et pourá =99%, on fixe deux valeurs pour C et on compare chaque fois les résultats trouvés avec les résultats vues auparavant.

À cet instar, on choisit pou la première valeur C=0.756%. Ainsi, dans le tableau (18) nous déterminons les poids des actions dans les portefeuilles efficaces et ces variances :

Tableau 18 : Les proportions des actions dans les portefeuilles optimaux
pour á =99% et C= 0.756%.

Xi R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
X1	0.0150	0.0850	0.0172	0.0352	0.0796	0.0869
X2	0.0000	0.0295	0.0403	0.0395	0	0.0709
X3	0.2596	0.1049	0.0367	0.0423	0	0.0136
X4	0.0188	0.0863	0.0459	0.0789	0.0008	0.0540
X5	0.0224	0.0568	0.0869	0.0595	0.1090	0.0151
X6	0.0598	0.0701	0.0336	0.0358	0.0166	0.0308
X7	0.0637	0.0760	0.0311	0.0668	0.0963	0.0226
X8	0	0.0338	0.0344	0.0917	0.0188	0.0538
X9	0.0726	0.0619	0.0703	0.0295	0.095 1	0.0398
X10	0.0397	0.0123	0.0609	0.0974	0.0739	0.0738
X11	0.0610	0.0910	0.0948	0.0328	0.0673	0
X12	0	0.0118	0.0761	0.0063	0.0583	0.0718
X13	0.0 168	0.0740	0.0492	0.0202	0.0026	0.0595
X14	0.1454	0.0614	0.0653	0.0568	0.0276	0.0761
X15	0.0912	0.0133	0.0051	0.0479	0.0810	0.0367
X16	0.0124	0.0030	0.0518	0.0077	0.0196	0.0043
X17	0.0992	0.0329	0.0484	0.0098	0.0069	0.0227
X18	0.0223	0.0883	0.0850	0.0886	0.0711	0.0544
X19	0	0.0061	0.0336	0.1195	0.1371	0.1780
X20	- 0.0000	0.00 13	0.0334	0.0338	0.0383	0.0352
ó²(10)^-4	0.87538	0.88911	0.90762	0.96580	0.98852	0.99122

De même que les autres approches, on constate que le niveau de risque augmente chaque fois que le rendement espéré accroît. En outre, pour une espérance 0.02%, on a un portefeuille optimal où la variance est minimum de valeur 0.87538.10^-4. Cependant, lorsqu'on augmente le taux de rendement espéré à 0.1%, la variance de portefeuille optimal aussi augmente pour prendre une valeur de 0.99122.10^-4.

Pour bien marquer la relation entre le taux de rendement espéré et la variance d'un portefeuille, nous traçons dans le graphique suivant la frontière efficiente dont ainsi définie :

Cette figure illustre la frontière efficiente de l'approche Moyenne-Variance-CVaR (99%) quand C = 0.756%. On constate que cette frontière n'est plus sous forme elliptique, puisque la variance évalue avec une proportion très faible par rapport à l'espérance.

III.7.1 Comparaison des quatre approches

Pour faire une comparaison entre les quatre approches vues auparavant, on illustre dans le tableau 19 les caractéristiques des différents portefeuilles optimaux sélectionnés par ces quatre approches :

Approche	ó2	R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
M-Variance	ó²(10)^-4		0. 987	1.026	1.0607	1.3001	2.2677	2.335
M-VaR (99%)	ó²(10)^-4		1.4478	1.4838	1.563	1.7390	1.858	1.8743
M-V-V (99%)	ó²(10)^-4		1.0056	1.0397	1.0566	1.0904	1.0931	1.1031
M-V-C (99%)	ó²(10)^-4		0.87538	0.88911	0.90762	0.96580	0.98852	0.9912

On constate, d'après ce tableau, que l'approche Moyenne-Variance-CVaR est la plus performante, puisqu'elle permet de sélectionner les portefeuilles les moins risqués pour un même taux de rendement espéré.

À l'aide des valeurs trouvées dans le tableau précédant, on peut tracer les frontières efficientes des quatre approches, dans un plan des coordonnés variance et espérance :

La figure 22 nous exprime que les portefeuilles sélectionnés par l'approche MoyenneVariance-C VaR sont les plus optimaux, puisque sa frontière efficiente est située au dessus des autres courbes.

Mais, comment varie la variance des portefeuilles optimaux sélectionnés par l'approche Moyenne-Variance-CVaR lorsque la borne de CVaR (99%) passe de 0.756% à 7,5% ?

Pour répondre à cette question, nous calculons, dans le tableau 19, les variances des portefeuilles optimaux pour deux niveaux de C (0.756% et 7.5%). En effet, les portefeuilles optimaux sont construits en résolvant le problème de l'optimisation Moyenne-Variance-CVaR ci-dessus, pour différent niveau de C. Ainsi, les résultats trouvés sont enregistrés dans le tableau ci-dessous :

En augmentant C à une valeur de 7.5%, on constate que les portefeuilles sélectionnés sont les plus risqués, puisque ils ont des variances plus élevées. À partir les chiffres calculés dans le tableau ci-dessus, on trace les frontières d'efficience pour différentes valeurs de C, dans un plan des coordonnés variance et espérance :

Comme pour l'approche Moyenne-Mariance-VaR et d'après la figure 23, on constate que chaque fois on diminue C, on trouve des portefeuilles plus optimaux, puisque la frontière efficiente pour C=0.756% est située au dessus de courbe de C=7.5%. Aussi on voit que les deux frontières se convergent lorsque l'espérance augmente. On peut expliquer cela par le fait que ; lorsque les risques des portefeuilles efficients augmentent, les taux de rendements aussi augmentent mais de manière très faible, parce que on ne peut pas avoir des rentabilités qui tend vers l'infini contrairement aux variances.

Conclusion :

Un des objectifs principaux de la gestion de risque, est d'évaluer et d'améliorer les modèles de sélection des portefeuilles à la lumière des risques pris pour réaliser des bénéfices. Ainsi, des nouvelles mesures des risques sont prises en compte lors des choix des portefeuilles. Parmi ces mesures on trouve, la Value-at-Risk et l'Expected Shortfall.

Dans ce chapitre, nous avons présenté quatre approches de choix des portefeuilles. Après avoir spécifier l'échantillon de l'étude et calculer les caractéristiques des actions sélectionnées telle que les moments d'ordre un et deux, nous avons exposé la première approche Moyenne- Variance de Markowitz. En effet, nous avons démontré que, plus le niveau du rendement espéré est élevé plus le risque, mesuré par la variance, est grand. De ce fait, un investisseur averse au risque construit son portefeuille en se basant sur la tangence entre la courbe d'indifférence est la frontière efficiente. Or, nous avons prouvé que, plus les niveaux d'aversions sont grands, plus les portefeuilles sélectionnés sont risqués mais aussi plus rentables. A la fin de cette partie, nous avons expliqué que l'ajout d'un actif sans risque a un effet positif sur la réduction de risque de portefeuille.

Il existe des nombreuses méthodes d'estimation de la Value-at-Risk, nous avons calculé, dans la deuxième section la VaR paramétrique ainsi la VaR historique. Dans la suite, nous avons traité les choix des portefeuilles pour un taux de rendement espéré fixé et une VaR minimale ; nous avons constaté que plus le niveau de confiance á est élevé, plus le portefeuille obtenu est optimum. En comparant cette approche à l'approche classique nous avons remarqué que lorsque l'investisseur accepte d'investir dans un portefeuille risqué mais aussi plus rentable, la deuxième approche est admis.

Cependant, comme mesure de risque, la VaR a identifié des limites telle que les manques de la sous-additivité et de convexité (Artezner et al 1997), pour cela la CVaR, qui est une mesure cohérente de risque, est fréquemment employée dans les dernières années dans la gestion de risque.

A la fin de ce chapitre, nous avons analysé les implications de choix de portefeuille résultant d'imposer une contrainte de type VaR au modèle classique Moyenne-Variance et la comparée à celle qui résulte de l'implication d'une contrainte CVaR. En outre, nous avons démontré que l'approche Moyenne-Variance-CVaR est plus performante que les autres approches, puisqu'elle permet de sélectionner des portefeuilles moins risqués pour des

niveaux des espérances fixées. De plus nous avons prouvé, pour les deux approches Moyenne-Variance-VaR et Moyenne-Variance-C VaR, que chaque fois l'intervalle de variation de deuxième contrainte (VaR ou CVaR) augmente, les niveaux de risque des portefeuilles optimaux augmentent.

En récapitulant, pour avoir un portefeuille optimal, l'investisseur doit baser sa sélection sur l'approche Moyenne-Variance-CVaR où le niveau de confiance á est plus élevé et l'intervalle de variation de deuxième contrainte CVaR est minimum. Cependant ce type de modèle à un effet défavorable parce qu'elle force les agents averses aux risques à choisir des portefeuilles avec des plus grands écart type lorsqu'il n'existe pas d'actifs sans risque.

Les gestionnaires des actifs financiers visent à choisir les portefeuilles qui rapportent le rendement espéré le plus élevé, tout en même temps, assurer un niveau acceptable d'exposition au risque. Ainsi, ils peuvent utiliser ses expériences pour combiner des techniques de modélisation quantitatives dans le processus de sélection de portefeuille. Parmi ces techniques, La théorie des valeurs extrêmes définie comme étant la discipline statistique la plus utilisée dans le champ des finances au cours des dernières années.

Plus de cinquante ans après, le critère de sélection de portefeuille Moyenne-Variance, reste aujourd'hui l'un des critères de base dans le champ pratique. Cependant, à cause de la successivité des crashs boursiers dans les dernières années, cette approche ne permet pas de couvrir tous les risques du portefeuille lorsque les distributions des rendements sont asymétriques et caractérisées par des queues épaisses. Pour ces raisons, nous nous sommes intéressés à étudier d'autres modèles de choix du portefeuille permettant de limiter les risques et par conséquence les pertes catastrophiques.

C'est dans le cadre de détermination des proportions des actions dans le portefeuille optimal et dans la minimisation des risques de perte que se situent les objectifs de notre travail.

Nous avons examiné, tout d'abord, les concepts des mesures de risque et de risque de perte, ainsi l'aversion au risque et l'aversion aux pertes. Ensuite, nous avons étudié la généralisation de l'approche Moyenne-Variance de Markowitz en incorporant une deuxième contrainte Value-at-Risk ou Expected Shortfall.

Pour mieux appréhender l'impact d'ajouter une contrainte sur la minimisation de risque, nous avons procédé dans la partie empirique par quatre approches de choix de portefeuille ; après avoir exposer l'approche classique de Markowitz, nous avons constaté que chaque fois qu'on augmente le degré d'aversion au risque, le portefeuille sélectionné est plus rentable mais également plus risqué. En second lieu, nous avons traité l'approche Moyenne-VaR qui nous a amené à prouver que plus le niveau de confiance á est élevé, plus on a une chance d'avoir un portefeuille efficient.

Pour réduire le risque de portefeuille à un niveau plus faible et afin de limiter aux pertes catastrophiques, nous avons présenté une troisième approche d'optimisation plus générale, Moyenne-Variance-VaR, qui combine deux mesure de risque, la variance et la VaR Cependant, cette approche n'est valable que pour des niveaux des variances assez élevés et

pour une limite de deuxième contrainte VaR très petite. En dernier lieu, et dans la même logique que la troisième approche, nous nous sommes intéressés à choisir un portefeuille optimal selon l'approche Moyenne-Variance-C VaR. En outre, cette approche est plus pertinente que les autres modèles dans le choix de portefeuille et la minimisation de risque.

D'après notre étude, nous avons constaté que la généralisation de l'approche Moyenne- Variance a un impact favorable sur le choix de portefeuille optimal. En effet, l'analyse des implications de choix de portefeuille résultant d'imposer une contrainte (VaR) au modèle de Moyenne-Variance et la comparaison à ceux qui résultent de l'imposition d'une contrainte conditionnelle (CVaR), nous permet de constater que pour un niveau de confiance donné, la contrainte CVaR est plus efficace comme outil de gestion qu'une contrainte VaR.

De plus cette approche est plus adéquate lorsque l'investisseur fixe un niveau de confiance á assez élevé et un intervalle de variation de deuxième contrainte CVaR minimum. En outre, ce modèle nous permet de mieux appréhender la forme de la distribution et offre l'avantage à l'investisseur de tenir compte de l'asymétrie des distributions et des valeurs extrêmes dans les séries boursières, ainsi de limiter les pertes extrêmes.

En conclusion, notre étude aident les investisseurs averses aux risques, intervenant sur les marchés boursiers, à améliorer ses critères de choix de portefeuille en leur offrant une meilleure prise en compte des nouvelles caractéristiques des marchés financiers telles que l'asymétrie des distributions des rendements et les risques des événements extrêmes.

Cependant, en pratique, l'application de l'approche Moyenne-Variance-CVaR est compliquée à cause de la difficulté de l'estimation de la CVaR. En fait, l'approximation de l'Expected Shortfall est fondée sur une équation contenant les paramètres de loi de Paréto généralisée qui n'inclut pas une variable affectant les proportions des actions.

De plus, ce type de modèle à un effet défavorable puisqu'il force les agents averses aux risques à choisir des portefeuilles avec des écarts-types élevés lorsqu'il n'existe pas d'actif sans risque. En outre, cette approche encourage l'investisseur à accepter trop de risque lorsqu'il existe des actions des rendements intéressants.

ME	Me(0.99)	Me (0.95)	Me (90)
Air France	-0.0775	-0.0562	-0.0453
Air Liquide	-0.0419	-0.0310	-0.0259
Alcatel-lucent	-0.0803	-0.0590	-0.0484
Axa	-0.0553	-0.0406	-0.0333
BNP	-0.05 13	-0.0376	-0.0309
Bouygues	-0.0564	-0.0415	-0.0343
Carrefour	-0.0458	-0.0339	-0.0279
Danone	-0.0378	-0.0279	-0.0228
Essilor Intl	-0.0448	-0.0330	-0.0269
Lafarge	-0.0483	-0.0357	-0.0296
LVMH	-0.0503	-0.0372	-0.0306
Michelin	-0 .0495	-0.0367	-0.0302
L'orial	-0.0464	-0.0344	-0.0282
Peugeot	-0 .0466	-0.0346	-0.0285
Renault	-0 .0564	-0.0417	-0.0345
Schneider	-0.0518	-0.0381	-0.0316
Sté générale	-0 .0529	-0.0391	-0.0320
Total	-0.0428	-0.03 18	-0.0322
Vallourec	-0.0573	-0.0422	-0.0347
Vinci	-0.0437	-0.0322	-0 .0265