Memoire Online - Etude de l'influence des efferts d'echelle dans le modele de Dugdale

L'objet de la mécanique de la rupture est de déterminer l'évolution d'une ou plusieurs fissures dans une structure en fonction du chargement auquel elle est soumise. Le cadre de la mécanique de la rupture fragile se limite à l'étude de la fissuration des milieux continus supposés élastiques. Cette hypothèse, bien qu'idéaliste, reste le cadre d'étude de nombreux chercheurs et ingénieurs préoccupés de sûretés concernant la propagation de défauts dans les structures en service. C'est le cadre des travaux de LAVERNE [33].

Dans ce formalisme, les principaux résultats ont été obtenus à partir de la théorie de GRIFFITH. Ce dernier associe à toute fissure une énergie de surface proportionnelle à sa longueur. Il postule qu'il y aura propagation et donc augmentation de l'énergie de surface si cette dernière est parfaitement compensée par la restitution de l'énergie élastique causée par l'avancée de la fissure. Dans le cas de problèmes quasi-statiques, ce critère peut se formuler en terme de taux de restitution d'énergie élastique usuellement noté G. Ce dernier correspond à la variation d'énergie potentielle lors d'un accroissement infinitésimal de la fissure. Le critère de GRIFFITH stipule alors qu'il n'y aura pas propagation tant que :

Ou G_c désigne le taux de restitution d'énergie critique et correspond à la ténacité du matériau.

Bien qu'elle connaisse encore un vrai succès, cette théorie renferme des insuffisances notoires.

- La première concerne l'initiation de la fissuration, la théorie de GRIFFITH est incapable de rendre compte de l'amorçage de fissures, sauf dans des cas très particuliers ou la structure possède des singularités fortes. En effet, prenons l'exemple d'un milieu bidimensionnel contenant une fissure rectiligne Z, sollicitée en mode I, et supposons l'absence de singularités dans le problème d'élasticité initiale. Le critère de

GRIFFITH prévoit que la fissure se propage pour un chargement en 1 / . Si / tend

vers zéro, on en déduit que pour un milieu sain la fissure ne pourra pas s'amorcer sous un chargement fini.

- La seconde lacune porte sur son incapacité à prédire seule le trajet spatial des fissures. Pour un milieu bidimensionnel, le critère ne prend en compte que la longueur de fissure or l'évolution spatiale nécessite une seconde information qui correspond à un critère de branchement.

- Enfin, une troisième lacune concerne le trajet temporel de la fissure, seules les propagations progressives sont traitées de façon satisfaisante. En effet des situations ou l'inégalité du critère est violée peuvent survenir. Celles-ci correspondent au cas de figure ou l'excès de restitution d'énergie élastique conduit à l'apparition d'énergie critique. La propagation est alors considérée comme brutale.

On peut résumer ces trois points en disant que le problème majeur de la théorie de GRIFFITH est de ne pas laisser assez de souplesse à l'évolution spatio-temporelle des fissures. De nombreux aménagements tentent d'y remédier proposant des ingrédients spécifiques à chacun des problèmes [33].

Le modèle de rupture de DUGDALE- BARENBLATT ou de façon plus générale les modèles de forces cohésives présentent l'avantage [33], sur le modèle de GRIFFITH, de rendre compte de l'amorçage de fissure dans une structure saine en termes d'un critère en contraintes, cf. par exemple DEL PIERO (1999) [12], DEL PIERO et al. (2001) [13], CHARLOTTE et al. (2000) [7] ou LAVERNE et al (2004) [34]. De façon générale, les modèles de force cohésifs sont de plus en plus employés et il est donc nécessaire de connaitre de mieux en mieux leurs propriétés pour pouvoir les utiliser à bon escient. En particulier les effets d'échelle qui les accompagnent du fait de la présence d'une longueur caractéristique sont mal connus. Il ne s'agit évidement pas ici de valider le modèle de DUGDALE, ni de voir pour quel type de matériau il peut être utilisé, mais de voir s'il est assez robuste pour que, grâce aux effets d'échelle qu'il induit, la réponse des structures ne soit pas sensible à des défauts de petite taille. L'étude sera donc essentiellement théorique et numérique. De plus, nous envisagerons seulement des zones cohésives linéiques [19].

				11
		Griffith Dugdale

Ces modèles, formulés en termes énergétiques, consistent à supposer que la densité d'énergie de surface 0 dépend de façon non triviale du saut de déplacement [[u_n ]],

contrairement au modèle de GRIFFITH ou elle est constante. Ainsi dans le modèle de DUGDALE, en supposant que l'ouverture se fait en mode I pur, elle s'écrit :

[[u_n ]]désigne le saut du déplacement normal, G _c représente le taux de restitution d'énergie critique de la théorie de GRIFFITH, alors que S_c est une longueur interne caractéristique des modèles de forces cohésives. Le rapport G _c S_c a la dimension d'une contrainte et représente la contrainte critique du matériau :

En termes de forces cohésives, la contrainte normale a_n d'interaction entre les lèvres de la
fissure vaut donc a_c tant que [[u_n ]] < S_c et s'annule dés que [[u_n ]] > S_c . En pratique, les lèvres
des fissures sont donc divisées en deux zones : une zones dite cohésive dans laquelle les

forces cohésives ne sont pas nulles et une zone dite non cohésive dans laquelle il n'y a plus de force cohésive. La zone cohésive se situe près de la pointe, là ou l'ouverture ne dépasse pas le seuil critique ä_c [19].

Le fait que a_cjoue le rôle de contrainte critique se vérifie dans l'étude d'une barre en

traction simple. En raisonnant comme DEL PIERO (1999) [12] ou CHARLOTTE et al.
(2000) [7] à partir d'un principe de minimisation d'énergie, on montre que la réponse
élastique (le champ de déplacement est de la forme u(x) = axlE,E étant le module d'Young)

cesse d'être un minimum relatif de l'énergie (totale) de la barre lorsque la contrainte
appliquée a dépasse la contrainte critique a_c . La conséquence directe de cette présence d'une

contrainte critique dans le modèle est qu'une structure donnée ne pourra pas supporter n'importe quel niveau de chargement conformément aux résultats classiques des théories de calcul à la rupture ou d'analyse limite, cf. SALENCON (1983) [40]. Cependant il y a lieu de distinguer les charges limites élastiques, i.e. les charges à partir desquelles doit développer une fissuration, des charges limites proprement dites, i.e. des charges maximales que peut supporter la structure même en se fissurant. Dans la suite nous désignons les premières comme charges d'amorçage et les secondes comme charges de rupture [19].

Rappelons tout d'abord ce qu'il en est de la charge d'amorçage dans le cas du modèle de GRIFFITH. Notons que seuls les défauts du type fissure, i.e. les défauts présentant une

singularité « forte » en r pour le champ des déplacements, sont susceptibles de se propager.
Les cavités, les entailles et autres défauts non assez « pointus » induisent une singularité trop
faible pour donner un taux de restitution d'énergie non nul. Pour une fissure de petite taille 1

et de normale n, placée en un point x où les contraintes normales en l'absence du défaut

seraient d'amplitude a, le taux de restitution d'énergie est de l'ordre de a²1. Il tend donc vers
0 lorsque 1tend vers 0. Donc, dans la théorie de GRIFFITH ou les fissures ne se propagent que
si le taux de restitution d'énergie atteint la valeur critique G_c, les défauts de petite taille sont

inoffensifs. C'est évidement un atout pour ce modèle. Mais en contrepartie, le modèle de GRIFFITH est trop conservatif puisqu'il ne sait pas rendre compte de l'amorçage de fissures en dehors de points de fortes singularités, cf. FRANCFORT et al. (1998) [25].

Si l'on abandonne le modèle de GRIFFITH au profit du modèle de DUGDALE, le critère de propagation d'un défaut ou d'amorçage de fissure ne se formule plus en termes du taux de restitution d'énergie critique G_c, mais en termes de la contrainte critique a_c, cf.

CHARLOTTE et al. (2000) [7] et LAVERNE et al. (2004) [34]. Ce faisant, on pourrait a

priori s'attendre à ce que la forme des défauts joue un rôle essentiel et que ceux favorisant les concentrations de contraintes s'avèrent plus nocifs. En particulier les fissures, défauts qui induisent des singularités, devraient être sensiblement plus défavorables que les cavités circulaires, défauts qui par leur forme «parfaite» sont ceux qui engendrent le moins de concentration. Ceci se révèle vrai pour la charge d'amorçage, mais faux pour la charge limite. En effet, il est clair que la charge d'amorçage est très sensible à la forme du défaut puisqu'elle est directement liée aux concentrations des contraintes induites par le défaut sur la réponse élastique. Ainsi, dans le cas d'une fissure préexistante, du fait de la présence d'une singularité de contraintes en pointe de fissure, la charge d'amorçage est nulle, de nouvelles discontinuités apparaissent dès la mise en charge. Par contre, dans le cas d'un trou circulaire dans une plaque, la concentration de contraintes est finie et donc la charge d'amorçage n'est pas nulle.

Nous verrons par contre que la charge de rupture, elle, est beaucoup moins sensible à la forme du défaut qu'à sa taille. En particulier, du fait de la présence de la longueur caractéristique ê_c dans le modèle de DUGDALE-BARENBLATT, les effets d'échelle sont

importants. La charge de rupture dépend de façon essentielle du rapport entre la taille du
défaut et la longueur caractéristique ê_c . Un résultat majeur serait de montrer que, quelle que

soit la forme du défaut, la charge de rupture tend vers la contrainte critique a_c lorsque la taille

du défaut tend vers 0, à longueur caractéristique fixée (ou de façon équivalente, lorsque la
longueur caractéristique ê_c tend vers l'infini, a taille du défaut fixée). Ceci signifierait qu'avec

le modèle de DUGDALE-BARENBLATT, les structures sont insensibles aux petits défauts et se comportent comme des structures saines, et ce bien qu'elles développent des zones d'amorçage avant rupture [19].

Ce résultat a été obtenue par FERDJANI et al [19], [20] pour une plaque contenant une fissure droite ou une cavité circulaire soumise a une traction simple est pour les modèles de DUGDALE et DUGDALE régularisés, et pour un milieu semi-infini contenant une fissure droite [21] soumise à un cisaillement anti-plan, pour le modèle de DUGDALE.

Dans le but de généraliser le résultat obtenu, on propose d'étudier le problème antiplan d'une bande infinie isotrope contenant une fissure cohésive parallèle à la face supérieure de la bande et localisée au milieu. Le modèles de DUGDALE-BARENBLATT (DUGDALE, 1960 [15]) est utilisé pour modéliser l'interaction entre les lèvres de la fissure. En utilisant les transformations de fourrier, les équations d'élasticité sont converties analytiquement en une équation intégrale singulière. A cause de la présence de saut des discontinuités dans la distribution du chargement le long des lèvres de la fissure, les méthodes standard de

résolution de l'équation intégrale singulière obtenu, ne sont pas appropriées. On utilise la méthode proposée par (IOAKIMIDIS, 1980 [32]) pour traiter ce type de chargement.

Ce mémoire est organisée comme suit, le premier chapitre est consacré a la recherche bibliographique et contient une présentation générale des modèles de forces cohésives, suivi d'une présentation des travaux de FERDJANI et al. Le chapitre 2 contient la présentation du problème traité. Le chapitre 3 est consacré à l'établissement de l'équation intégrale puis à la résolution. Le chapitre 5 est consacré à l'exposé des résultats des calculs. Enfin, une conclusion générale.

1.1 Introduction :

Nous commençons par présenter une synthèse des différents modèles de forces cohésives présentes dans la littérature.

Etude de l'influence des efferts d'echelle dans le modele de Dugdale

INTRODUCTION

1.1 Introduction :