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Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration d'une table de mortalité

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par ALLADE Emile - DALI Yves Gérarard Yassi
ENSEA Abidjan - Ingénieur Statisticien Economiste 2009
  

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VIII. Annexe 1 : La fonction de vraisemblance du modèle avec sauts à effets permanents

Nous avions écrit dans la partie B2 du chapitre 3 :

· Si , la variable suit une loi normale de moyenne et de variance .

· Si , la variable suit une loi normale de moyenne et de variance .

La fonction de densité de s'écrit :

Soit

Avec K observations et h=1, la logvraisemblnce du modèle s'écrit :

)

IX. Annexe 2 : Estimation du modèle de Lee Carter (codes matlab)

matrixD=input ('entrer matrice des décès D (x,t)' );

matrixE=input ('entrer matrice des vivants E (x,t)' );

%convergence est l'erreur dans la reestimation des kt

convergence= input('entrer convergence' );

%logtauxbrut est la matrice log des taux brut de mortalité(x=age,t=année)

% taille est une matrice 1x2 (nombre de groupe d'age,nombr d'année)

logtauxbrut=log(matrixD./matrixE);

taille=size(logtauxbrut);

%construction de la matrice alpha (estimation des alpha)

for i=1:taille(1,1)

alpha(i)=(1/(taille(1,2))*sum(logtauxbrut(i,:)));

end;

%Z est le centrage des logtauxbrut par rapport a leur moyenne temporelle

%construction de la matrice Z

for i=1:taille(1,1)

for j=1:taille(1,2)

Z(i,j)=logtauxbrut(i,j)-alpha(i);

end

end

%decomposition en valeure singulière de Z

[U,S,V] = svd(Z);

% le taux d'inertie mesure la qualite de l'approximation

%c'est le pourcentage de variance expliqué

tauxinertie=S(1,1)/trace(S);

%construction des vecteurs beta et k (estimation des beta et kt)

beta=(1/sum(U(:,1))).*U(:,1);

k=S(1,1)*sum(U(:,1)).*V(:,1);

%reestimation des k(t)

for t=1:51

x=k(t);

while abs(sum((matrixE(:,t).*(exp(alpha').*exp((x*beta))))-matrixD(:,t)))>convergence

x=x-(sum((matrixE(:,t).*(exp(alpha').*exp((x*beta))))-matrixD(:,t))/sum(matrixE(:,t).*(exp(alpha').*(beta.*exp((x*beta))))));

end

nkt(t)=x;

end

disp('le pourcentage de variance expliqué est:')

tauxinertie

disp('les matrices alpha, beta et k sont:')

alpha

beta

nkt

X. Bibliographie

Hua Chen. Contingent claim pricing with applications to financial risk management. A Dissertation Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy in the Robinson College of Business of Georgia State University, 47-81, 2008.

Arnaud At et al. Création de tables de mortalité prospective en France. Mémoire de statistique appliquée, ENSAE 2004.

El Horr Rawan et al. Modèle de mortalité prospectif avec dérive contrainte. Groupe de travail, ISFA 2007.

F. Montes et R. Sala. A comparison of parametric models for mortality graduation. Application to mortality data for the Valencia Region (Spain). SORT 29 (2), 269-288, July-December 2005.

Siu Hang Li. Stochastic Mortality Models with Applications in Financial Risk Management. Thesis, University of waterloo, Canada 2007.

Xiaoming Liu. Stochastic Mortality Modeling. Ph.D. Thesis, Department of Statistics, University of Toronto, 2008.

Arnold L. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. New York: John Wiley, 1974.

Edviges Coelho. The Lee - Carter Method for Forecasting Mortality-The Portuguese experience. Instituto Nacional de Estatística ,Portuga, 2000.

LEE R.D., CARTER L. Modelling and forecasting the time series of US mortality. Journal of the American Statistical Association, vol. 87,659-671, 1992.

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"Je ne pense pas qu'un écrivain puisse avoir de profondes assises s'il n'a pas ressenti avec amertume les injustices de la société ou il vit"   Thomas Lanier dit Tennessie Williams