Analyse globale d'une classe de modèles épidémiologiques avec différentes infectivités

CHAPITRE TROIS

ANALysE GLoBALE DE LA cLAssE DE

MoDELEs EpiDEMioLoGiQuEs

Introduction

Dans ce chapitre, nous présentons les résultats de l'analyse globale de la classe de modèles épidémiologiques exposé au chapitre précédent. Nous démontrons que les solutions du système épidémiologique décrit dans le chapitre précédent sont contenus dans un compact positivement invariant. L'existence et l'unicité du point d'équilibre endémique est également démontrées. La globale asymptotique stabilité du points d'équilibre endémique et non endémique est étudiée en utilisant les fonctions de Lyapunov dont les coefficient sont préalabrement déterminés. Nous présentons les résultats des simulations numériques pour valider les résultats analytiques obtenus.

3.1 Invariance positive de l'orthant positif

On a le résultat suivant :

Proposition 3.1. : Sous le flot décrit par le système (2.1), l'orthant positif est positivement invariant. En plus, toutes les solutions avec conditions initiales dans l'orthant positif satisfait lim _supt,+. x_n (t) < ^Ë_u. Le domaine Ù = { X E 118ⁿ₌₀, x_n < Ëu} est positivement invariant.

Preuve. : En considérant le système (2.1), on constate que lorsque xi = 0 alors on a ÿxi > 0. Ceci permet de conclure que l'orthant positif est positivement invariant. De manière similaire, si X(t0) E Ù et x_n(t0) = ^Ë_u, alors, ÿx_n < 0; ceci établie l'invariance positive de Ù. Pour une solution avec X(t0) E 118ⁿ₌₀, nous avons ÿx_n < A -- ux_n pour t > t0. Donc asymptotiquement, x_n < Ëu d'ou la fin de la preuve.

3.2 Existence et unicité des points d'équilibre

Nous allons trouver dans cette partie, des formules unique pour les points d'équilibre du système (2.1).

Il existe un équilibre évident pour ce système de la forme (0,
·
·
· , 0, A/u)^T que nous notons
P0 et que nous appelons l'équilibre sans maladie ou non endémique ou encore disease free
equilibrium (DFE). On l'obtient lorsque l'on pose dans le système (2.1), ÿxi = 0, i = 1,
·
·
· , n

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

et xn-p = 0, p = 1, · · · , k. Dans le cas oil xn-p =6 0 pour p = 1, · · · ,k ; alors, posons P^* = (x^* ₁, · · ·,x^*_n) le point d'équilibre endémique ou endemic equilibrium(EE), alors le système (2.1) donne

{ N X = - Q Pk p=1 âpxn-pxn,

(3.1)

Ë - ux_n - Ep=^k 1 âpxn-pxn = 0.

On voit tout de suite que l'on a toujours x_n =6 0. D'après la deuxième équation de (3.1), on a

Xk p=1

* âpxn-pxn = Ë - ux^*n. (3.2)

En introduisant l'équation (3.2) dans l'équation (3.1), on obtient :

N P * = - Q(Ë - ux^*_n). (3.3)

Dans ce cas, il vient que

P * = - N^-1 Q(Ë - ux^*_n). (3.4)

Puisque N est une matrice de Metzler, alors, - N^-1 a toutes ses composantes positives. Comme Q ? Rn-1

+ ; il vient que - N-1 Q = 0. Le signe de P dépend uniquement de celui de Ë - Soit 1/4 = [N1 |· · · | Nn-p-1 | -Q |

Nn-p+1 |· · · | Nn-1 , p = 1,·· · ,k. En

appliquant la Règle de Cramer à l'équation (3.3), on a

x^*n-p = (Ë - ux^*_n)

det

p = 1, · · · ,k. (3.5)

,

N

det M_p

En remplaçant ces résultats obtenus dans (3.2), il vient que

(Ë - ux^*n)			Xk p=1	det âp det		! Mp n x* = Ë - ux^*n. (3.6) N
Xk p=1	det âp det	M p) x^*n =1. N

det N

En simplifiant cet expression, on la met sous la forme

De là, on a

_x*

n

(3.7)

Ep=k ₁â_pdet M_p

Ainsi, en introduisant (3.7) dans l'équation (3.4), il suit que

det

1^3* = - Ë - u k N-1 e^-2. (3.8)

Ep=1 âdet M_p

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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Le point P^* = ( P *, x* _n) ? Rⁿ₊ où x^*_n et P * sont respectivement données par les équations (3.7) et (3.8).

Si A - ux^*_n = 0, alors, P^* coincide avec le point d'équilibre non endémique. Pour obtenir un point d'équilibre endémique dans l'orthant positif, qui est distinct de P0, il est nécessaire et suffisant que A - ux^*_n soit positif. Ceci a lieu si et seulement si

A u	Ekp=1 âp det Mp	> 1. (3.9)
	det N

Nous avons évidement la proposition suivante :

k /1

Proposition 3.2. : La quantité définie par q = E p=i ¹³det vN det 4^- p est positive.

En effet,cette proposition vient du fait que chaque ddet Np , p = 1, · · · , k est une compo-

sante de la matrice - _N-1 Q, qui a toutes ses entrées de signes positives et puisque â_p = 0, on

et

a ddet N = 0 d'où le résultat. Nous utiliserons cette proposition pour montrer que les points d'équilibres P0 et P^* sont GAS dans l'orthant positif.

3.3 Taux de reproduction de base

Le taux de reproduction de base R0 est le nombre de cas secondaires qu'un malade actif engendre pendant sa période de maladie lorsqu'il est introduit dans une population de susceptibles [28, 49, 10, 11]. Il peut être trouvé en utilisant la méthode des opérations présentés dans les références [19, 48, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 32, 27, 26, 1]. Nous allons utiliser la méthode de [10, 11] qui est facilement applicable aux systèmes d'équation différentielles ordinaires. Nous utiliserons la même approche et les mêmes notations pour notre résoudre notre travail. Le système (2.1) peut se réécrire sous la forme

X⁰= F(X) - V(X) (3.10)

où

F(X) = Q p=1 xn-pxn et V(X) = - N X. (3.11)

Soient

?F ?V

F = (P0) et V = (P0)

?X ?X

les matrices jacobiennes de F(X) et de V(X) aux points d'équilibre du système. Le taux de reproduction de base est donné par le rayon spectral de FV ^-1 noté

R0 = ñ(FV ^-1). (3.12)

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En utilisant l'équation (3.12), on obtient

F = A [0 |···| 0 | âk (2|·· ·| â1 (2] et V = - N. u

En notant par rp , p = 1, · · · ,k de la respectivement la n - p ème ligne de -			N^-^1, on a
A FV -1 = u	? ? ?	Q1(â1r1 + · · · + âkrk) ... Qn(â1r1 + · · · + âkrk)

Comme le rang de FV ^-1 est 1, FV ^-1 a une unique valeur propre non nulle qui est égale à sa trace. La trace de FV ^-1 est égale à _Ëu(â1r1 + · · · + âkrk)Q. Puisque - N est une Mmatrice, toutes les entrées de - N^-1 sont positives et (â1r1 + · · · + âkrk) Q est positive. Le rayon spectral de FV ^-1 est égale à la valeur propre non nulle. Dans ce cas, l'équation (3.12) devient :

A R0 = u

Xk p=1

âprp)Q.

(3.13)

Prenant en compte les k dernières lignes du système (3.8) et en rearrangeant, on obtient

r

p p

_Xk
p=1

Q = 1

.

x* _n

En introduisant l'expression ci dessus dans l'equation (3.13), et en rearrangeant, on obtient

Finalement, l'équation (3.7) donne	R0 =		A u	1 . x* n
A R0 = u		E^k det Mp p=1				(3.14)
		det N			.

Puisque la même expression est retrouvée dans (3.8), on déduit que P^* existe si et seulement si R0 > 1 et aussi que R0 > 0 d'après la proposition (3.2).

3.4 Stabilité des points d'équilibre

Dans cette partie, nous démontrer que le DFE et l'EE sont globalement asymptotiquement stable respectivement pour R0 = 1 et pour R0 > 1. Nous allons d'abord déterminer les coefficients des fonctions de Lyapunov

et	U(t) =				Xn- 1 i=1	biXi
V (t) =		Xn i=1		ai(xi - x^*i ln xi).
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3.4.1 Recherche des coefficients des fonctions de Lyapunov

Soit a = [a1, · · · , a_n] avec a_n = 1. On définit a par

a [N1 | · · · | Nn-k-1 |Nn-k + Qâkx^* | · · · | Nn-2 + Qâ2x^* | Q]n×n-1

=0. (3.15)

Soit a = [a1, · · · , an-1] ; par l'hypothèses H4, le système (3.15) se met sous la forme

[N1 | · · · | Nn-k-1 | Nn-k + Qâkx^* | · · · | Nn-2 + Qâ2x^*i a= 0 et a Q = 1. (3.16)
ou encore sous la forme

a M = [0,···, 0, 1] (3.17)

oil encore les formes équivalentes suivantes :

a M⁰ = [0, · · · , 0, -âkx^*, · · · , -â2x^*, 1] (3.18)

a M = [0,···, 0, -1] (3.19)

oil M = [N1 | · · ·| Nn-k-1 | Nn-k C2âkx^* | · · · | Nn-2 C2â2x^* | (2] , M⁰= [ N1 | · · · |

Nn-2 |	Q] et M = [N1 | · · · | Nn-2 | -	Q] On obtient dans ce cas donc deux expressions
équivalentes. il faut noter que x^* est un réel positif définit par : ( Ë/u si R0 = 1 x* = x^*n si R0 > 1 Nous allons démontrer la proposition suivante Proposition 3.3. a existe, est unique et non nul. De plus, a ? 118^n=0. Preuve. L'équation (3.18) implique que a existe et non nul,car det			M=6 0 parce que M

est une matrice de Metzler. Il est clair par ailleurs que a1, · · · , an-k-1, an-1 sont non tous négatifs. En effet, supposons le contraire, c'est à dire que ai= 0, i ? {1, · · · , n - k - 1, n- 1} alors,on aurait Q

_aiQi Enk-1 + an-1Qn-1

= 1 (par l'hypothèse H7) et Qi = 0,

M la matrice carrée (n-2)×(n-2) obtenue de M en supprimant

ce qui est impossible. Supposons an-1 = 0, alors,

les (n - 1)ème ligne et colonne, alors, M est une matrice de Metzler donc non singulière. a

vérifie [a1, · · · , an-2]

M = [0, · · · , 0] a = 0 ce qui est impossible. On a donc an-1 =6 0.

D'autre part, an-p =6 0, p = 2, · · · , k. En effet, supposons qu'il existe p ? {2, · · · , k} telle que an-p = 0. Soit ^centsM_p la matrice (n - 2) × (n - 2) obtenue de M en supprimant la ligne et la colonne n - p. ^centsM_p est une matrice de Metzler donc son inverse centsM-1

p a toutes ses entrées de

signes négatives. On aurait donc ai = 0 pour i = 1, · · · , n - k - 1, n - 1 ce qui est absurde.

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Si aj = 0, j=6 n - p p ? {2, · · · , k}, alors, an-p = 0 car on a a _Nn-p + â_px^* = 0 c'est à dire

an-p = - Nn-p,n-p 1 (vn-1 â_px^*) = 0, car Nn-pn-p = 0.

Soient I, J ? {1,··· ,n - 2} telle que aI = ai = aJ. Pour i ? {1, · · · , n - 2}. Nous affirmons que aI et aJ sont tous de signes positif. supposons que aI et aJ ne sont pas de signes opposés. En effet, supposons que aI < 0 et aJ > 0, alors :

? Si I =6 n - p, p ? {2, · · · , k} alors 0 = aNI = an-1Nn-1,I +

Xn- 2 i=1

aiNiI = an-1Nn-1,I + aI

Xn- 2 i=1

NiI.

Comme ai = 0 et NiI = 0, pour i =6 I, on a

an-1Nn-1,I = -aI

Xn - 2 i=1

NiI (3.20)

D'après l'hypothèse H5, la somme Pn-2 i=1NiI est négative. Avec l'hypothèse aI négatif et le fait que Nn-1,I = 0, il vient que _an-1 est négatif.

? si il existe p ? {2, · · · , k} telle que I = n - p, alors, on a

an-1Nn-1,I = -aI

Xn- 2 i=1

NiI - âpx^*

d'ou le même résultat.

De manière similaire,

? Si J =6 n - p, p ? {2,··· ,k} alors on a

an-1Nn-1,J = -aJ

Xn - 2 i=1

NiJ = 0. (3.21)

? si il existe p ? {2, · · · , k} telle que J = n - p, alors, il existe J' ? 1, · · · , n - k - 1, n - 1 telle que aJ^, = 0 d'après ce qui précède (sinon on aurait ai = 0, i ? {1, · · · , n - k - 1, n - 1} ce qui est absurde). En utilisant l'hypothèse H6 on obtient

an-1Nn-1,J^0 = -aJ0

Xn- 2 i=1

NiJ^0 = 0. (3.22)

Ceci nous permet de conclure que an-1 = 0, Ce qui contredit le fait que an-1 =6 0 d'où ai, i ? {1, · · · , n - 2} sont tous positifs, donc a ? 1180¹, et par suite, a ? 118ⁿ₌₀ ce qui conclut la preuve.

Pour le résultat qui suit, nous allons poser x^* = Ë/au. il est très utile pour la démonstration de la stabilité du point d'équilibre non endémique.

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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Proposition 3.4. Le produit a _Nn-1 est non nul, et égal à

det N

det M1

+E

p=2

* det â_px

M_p
M1

det

.

Preuve. Pour i = 1,
·
·
· , n -- 1, soit Bi la matrice obtenue en remplaçant la ^i`eme ligne de M par le vecteur ligne [0,
·
·
· ,1]^T E 118^n-1. Alors, d'après la règle de Cramer appliquée à

l'équation (3.19), on a

ai =

det Bi

det M .

Par soustraction à une ligne de Bi d'un multiple de la i^me ligne, le déterminant de Bi reste in-
changé. Par cette opération, en ramenant à 0 toutes les autres entrées de la dernière colonne
de Bi, sauf la i^me. En ajoutant un multiple de la nouvelle dernière colonne de Bi aux autres co-

lonnes, on peut obtenir les n--2 premières colonne de Bi égales à N1, N2,
·
·
· , Nn-k-1, Nn-k+

Qâkx^*,
·
·
· , Nn-2 + Qâ2x^*, sans affecté la valeur du déterminant de Bi. Ainsi, soit det Bi =
det Ci oil Ci est la matrice construite de M" en remplaçant la colonne finale par le ^i`eme vecteur

standard de la base et M» = [N1
·
·
· Nn-k-1 Nn-k + Q âkx^*
·
·
· Nn-2 + Qâ2x^* Nn-1].

D'autre part, nous avons

det Ci = det C¹_i -- _Xk â_px^* det C^p_i

p=2

oil C¹_i est la matrice obtenue de N en remplaçant la colonne finale par le ime vecteur de base et det C^p_i , p = 2,
·
·
· , k la matrice obtenue de M_p en remplaçant la dernière colonne par le ime vecteur standard de base. En effet ; ce résultat vient du fait que la déterminant d'une matrice vu au sens des vecteurs colonnes est une forme multi-linéaire et que les Qâ_px^* sont dépendantes. On obtient par calcul du déterminant par les cofacteurs,

det

N = Pn-1

i=1 Ni,n-1det C¹_i et det M_p = Pn-1

i=1 Ni,n-1 det C^p_i . Il vient que

det

aiNi,n-1 =

âpx* det M_p

det M .

N

_Xk
p=2

det M

n-1_X

i=1

a Nn-1 =

Or, -- det M1 = det M d'oil

det

a Nn-1 =

+E

p=2

det M

âpx* p

det

N

det M1

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3.4.2 Stabilité du Disease free equilibrium

Nous allons à présent étudier la globale asymptotique stabilité du système (2.1) dans le cas où R0 = 1. Dans ce cas, le seul point d'équilibre est le point d'équilibre non endémique P0. Considérons la fonction de Lyapunov définie par :

U(t) = a X =

n-1X i=1

aixi. (3.23)

où a = [a1, · · · , an-1] et a = [a1, · · · , a_n] sont les paramètres calculés au paragraphe précédent. Sa dérivée le long des trajectoires du système (2.1) satisfait

^ÿU(t) = a ^ÿX,

=

Xn- 1 i=1

ai ÿxi,

= a N X +

Q

Xk p=1

)âpxn-pxn ,

= a N1x1 +

N2x2 + · · · +

Nn-2xn-2 +

Nn-1xn-1

Q

Xk p=1

âpxn-pxn) . (3.24)

Notons que d'après (3.16), on a aNj = 0 pour j = 1, · · · ,n - k - 1,a(

Nn-p +

Qâpx^*) = 0, p = 2, · · · , k et a Q = 1.

En replaçant dans (3.24), avec x^* = A/u il vient que

^ÿU(t) = _Xk âp(xn - A/ u)xn-p + _(â1xn + aNn-1)xn-1 (3.25)

p=1

D'autre part, nous avons lira supt,00 = Ë car l'ensemble Ù défini à la proposition 3.1 est un compact positivement invariant pour le système (2.1). Il vient alors que :

(A

^ÿU(t) = .6^,Nn-1 + â1 xn-1.

u

D'après la proposition (3.4), on a 6^,Nn-1 = = 1 âp Ë_u det t Md'où

det M1 p

N

A

âp u

M1

+t

p=1

!

det M_p A

+ â1 xn-1

det M1 u

^ÿU(t) =- det

det

= (-1 + R0) det

xn-1. (3.26)

det N

M1

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D'après la proposition (3.2), det N det M1est positif. d'où pour R0 = 1, on a		^ÿU(t) = 0. La

condition nécessaire de l'égalité est xn-1 = 0 ou x_n = Ëu et R0 = 1.

Par conséquent, l'extension de la méthode de LaSalle [29] à celle de Lyapunov limite les solutions P0 si R0 = 1. Nous venons de démontrer la théorème suivant :

Théorème 3.1. Si R0 = 1, alors, P0 est globalement asymptotiquement stable dans l'orthant positif 118ⁿ₌₀, sous la dynamique du système (2.1).

3.4.3 Stabilité globale du point d'équilibre endémique

Lorsque R0 = 1, le point d'équilibre P^* se trouve dans l'orthant positif. On a le théorème suivant :

Théorème 3.2. : Le point d'équilibre P^* est globalement asymptotiquement stable dans l'orthant positif, lorsque R0 > 1 sous la dynamique du système (2.1).

Preuve. considérons la fonction de Lyapunov

V (t) =

Xn i=1

ai(xi - x^*i ln xi). (3.27)

V (t) est définie positive dans 118n = et atteint son minimum dans le domaine Ù contenant P^*.
En effet, ?V = ai(1 - ) ÿxi s'annule en xi * donc V^ÿ(t) s'annule globalement en P^*. En

?x,

différenciant V (t) par rapport au temps, on a

Vÿ (t) =

Xn i=1

ai (1 - ^x*i) ÿxi, xi

ÿxi,

~ ~ ~ ~

n-1_X

1 - x* 1 - x*

n i

= ÿx_n + ai

x_n

xi

i=1

=

(1 - ^x*n)A - ux_n - Eâpxn-pxn) x_n

p=1

n-1 + E i=1

* . ( k i xi ai 1 -- xi En NijXj +^Qi E âpxn-pxn . (3.28) 3=1 p=1

D'après l'équation (3.2), nous avons A - ux^*_n = E^kp=1 âpx^*n-px^*n. En remplaçant cette expression dans (3.28)et en rearrangeant, on obtient

Vÿ (t) = -u(xn - x^* n) xn			~ ~ kX 2 1 - x* n + xn p=1				!n-1 âp(xn* -p - xn-p)xn E + aiNijxj i,j=1
n- 1 + E i=1	Xk p=1	aiQiâpxn-pxn -			Xn- 1 i,j=1	x* aiNijxj ^i xi		Xn - 1 i=1	Xk p=1	x* i aiQiâpxn-pxn . (3.29) xi
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Soit encore

2₊

^Xkp=11

)

+

⁺

^n-1

¹

Vÿ (t) = -u(xn - x^* _n)

xn

n- 11++Ei=1i	Xk p=1	aiQiâpxn-pxnn --- 1âpxn^* -pxn * * 1 1x^* *xn-p pxnxn-pp* -p p n**aiNijxjixn nxnn-ppn ni,j=11	Xn- 11i,j=1	x*!n- 11k k Nizjj*** * xnn_xnnaa. ziz3j 3 E E aQQâppn-pxnn ****.. zxiixj i =1.xixn-pxnn p=(3.30))
Or, d'aprèss (3.16), on a aNj == 0 pour j = 1,···-- ,n --- k - 1,, a((					Nn-p p++	Câpx^*) )= 0, ,p p= =2,,· ·· ·· ·,,k ket aQ= =1..

En replaçantt dans (3.30), avec x^** = x^*_n^*ilt vient ^que

x* *** _1* *xn-1 ¹ⁿⁿâ1xXxX _* EaiNijxjixn nxn-1 ¹i,j=1i

(xn n- ^--x^))V(t) )= -u^nn xn

2+

^Xk ^p^=11

~****âpxn-pxnn11

^n-11

n- 11++Ei=1i

_**xn-1 n-1

*** *xx'xxn_xxnaiQiâpxn-pxnn ..

xxxx****n-ppxnn

Xn- 11i,j=1

aiNijxjj

3x^*l! ^·

^xx4; ^xii

n- 11i=1i

p=11

x^*n-1

1

(3.31)

Pour j = 1, ·
· ·
· ·
· ,n, posons uji x*

xii. .Il lvient tquee

(xn n- ^--x))V(t) )= -uⁿⁿ

xn

pP (xn-ppxn _n(1 - un) )++â1xn*-1xn **++

^,

2_{+ X}k

p=11

!¹aiNi,n-1x^* n-1

un-11

n- 11i=1i

n - 11++ Ei,j=1

aiNijxji ---

^n-1X1i,j=1

aiNijx* ui ^j uj ^3

n- 11i=1i

p=1i

* *uiiaiQiâpxn*-pxnnun-punn

****= =â1xn-1xn n --- aa

(3.32)

^nn-1Soit t933= =â1xn*-1xn * + _{iiaiNi,n-1x*n-1i} le coefficient de ¹, ,alors son nobtient tde el'équationnun-11 àa l'équilibree (3.2).

93 =â1x*n-1x*n* + n- 11i=1i aiNi,n-1xn^**-1,,

n - 22

QQ

p=1i

j3j3

âpxn-pxn n---

= -	Xk^p^=2	âpxn-pxn n---			n- 22	j3j3
= -	Xk p=2		âpxn **+ + ENji)xn*-p p---				n-k-11		ENjx^*t= =0..j 3
Mémoire de DEA:				Dany Pascal MOUALEU c~,, UYI 2008

En remplaçant ce résultat dans (3.32), on obtient

(xn - x^* ) V(t) = -u^n xn

2

+

Xk p=1

âpx^*n-px^*n (1 - un) +

Xn- 1 i,j=1

aiNijxj

_Xn- 1
i,j=1

-

uj

_Xn- 1
i=1

_Xk
p=1

* ui

aiNijxj

ui

aiQiâpx_n^*-px_n^*

un-pun

(3.33)

D'après la seconde partie de (3.18), on a

Xk p=1

âpx^*n-px^*n =

Xn- 1 i=1

Xk p=1

* * aiQiâpxn-pxn

(3.34)

et le système (3.1)A l'équilibre, il suit que

-

n-1X i=1

aiNiix^*i =

Xn- 1 i,j=1,i6=j

aiNijx^* j +

Xn- 1 i=1

aiQi

Xk p=1

âpx^*n-px^*n..(3.35)

En introduisant (3.35) dans l'équation (3.33), on obtient

(x_n - x^* )

V(t) = -uⁿ

x_n

aiQiâpxn*-pxn * 2 - u_n - ui )

(

un-pun

2

+

_Xn- 1
i=1

_Xk
p=1

n-1 + E i,j=1,i6=j

~ ~ aiNijx^* 1 - ui . (3.36) ^j uj 3

D'une part, de la relation (3.18), on a pour j = 1, · · · , n - k - 1

0 = aNx^*

j _j,

=			Xn- 1 i=1		aiNijx^* j,
=	Xn- 1 i=1,i6=j	aiNijx^*j -		n-1X h=1,h6=j		ajNjhx^*h - ajQj	Xk p=1	âpx^* n-px* n.

(3.37)

En utilisant l'expressionn (3.35), multiplions (3.37) par Fj(u),, une fonction que nous détermineronss plus tard et u = (u1,, ·
· ·
· ·
· , u_n), on obtient.

0 = _Xn- 1 aiNijx^* _jFj(u)- _Xn- 1 ajNjhx^*kFj(u) - ajQj _Xk âpx^*_n-px^*_nFj(u).. (3.38)

i=1,i6=j h=1,h6=j p=1

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~,, UYI 2008

et en sommant cette égalité pour j = 1,
·
·
· ,n - k - 1, on a

0 =

n-k-1 X j=1

n-1X i=1,i6=j

a.N..x^*F.(u) - z z3 j 3

n-k-1 X j=1

Xn- 1 h=1,h6=j

ajNjhx^*hFj(u) -

n-k-1 X j=1

Xk p=1

ajQjâpx^*n-px^*nFj(u). (3.39)

D'autre part, toujours de l'égalité (3.33), pour tout p ? {2, .., k}, nous avons 0 = a( _Nn-px*n-p + Qâpx^*_nx^*_n-p),

=

_Xn- 1

i=1

_Xn- 1

i=1

aiNi,n-px^*_n-p +

aiQiâpx^*_nx^*_n-p,

=	Xn - 1 i=1,i6=n-p	aiNi,n-px^*n-pFn-p(u) -			n-1X h=1,h6=n-p			an-pNn-p,hx^*hFn-p(u)
-an-pQn-p			n-1X i=1	âpx^*n-px^*nFn-p(u) +		Xn- 1 i=1	aiQiâpx^*n-px^*nFn-p(u). (3.40)

Notons par l'hypothèse H7 que Qn-p = 0. En sommant à présent sur p = 1,
·
·
· ,k on obtient

0 = n-1_X n-1_X aiNi,n-px^*_n-pFn-p(u) - _Xn- 1 _Xn - 1 an-pNn-p,hx^*hFn-p(u)

j=n-k-1 i=1,i6=j i=n-k-1 h=1,h6=n-p

+ E p=1

n-1X i=1

aiQiâpx^*n-px^*nFn-p(u). (3.41)

En additionnant (3.40) à (3.36), il vient que

(xn - xn ) 1ÿ 7 (t) = -u xn

~ 2 1 an-1Qn-1â1xn-1xn 2 - un un)

( un-1

âpxn^*-pxn^* 1 -- u_n

+ Fn-p(u))

+ _Xk

p=2

un-pun

n-k-1
_X

i=1

ui

(

âpxn^*-pxn^* 1 -- u_n

Fi(u) + Fn-p(u))

+

aiQi _Xk

p=1

un-pun

+

n-1X i,j=1,i6=j

aiNijx; (1 - + Fj(u) - Fi(u) ) (3.42) uj

+

_Xn - 2

i=1

n-2

1 un-1 _i

aiNi,n-14_i-1 (1 - ui Fi(u) ) + >2 an-1Nn-1,j x:; + Fj(u)₎ ,

un-1 uj

j=1

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Posons

Bn-p = 2 -- un un-1

+ Fn-p(u),

un-pun

Aij (u) = 1 -- ui uj

+ Fj(u) -- Fi(u),

ui

Bn-p,i(u) = 1 -- u_n

Fi(u) + Fn-p(u),

un-pun

Ci(u) = 1 ui

un-1

Fi(u),

Dj (u) = 1 un-1

+ Fj(u).

uj

L'étape suivante consiste à déterminer les fonctions F1,
·
·
· , _Fn-2 qui rendent V^ÿ (t) négatif.
Notons que --_u(xn-x^*_n) 2 est négatif. Quand à 2--un-- ¹ il est négatif en annexe, en utilisant le

x_n u_n

corollaire 4.1. Sans nuire à la généralité, nous allons supposer que 1 < u1 < u2 <
·
·
· < un-2. Soit h E {1,
·
·
· ,n -- h -- 1} tels que uh < un-1 < uh+1 < n -- h -- 1.

Pour i = 1,
·
·
· , h -- 1, on choisit

ui+1 Fi(u) = ui	+	ui	+ · · · +	uh	un-1 +	(h + 1 -- i),
		ui-1		uh-1	uh

Fh(u) = un-1 1.

uh

Pour i = h + 1,
·
·
· ,n -- h -- 1, on choisit

+ uh+1 uh+2

un-1

Fi(u) =

uh+1

(i -- h).

+
·
·
· +ui-1

ui

Pour p = 2, · · · , k, on choisit

Fn-p =

un-p un-1

+ 1.

Notons que le choix de F1,
·
·
· , _Fn-2 marche aussi dans le cas oil un-1 < u1 (pour h = 0) et si un-2 < un-1 (pour h = n--2). Il est montré dans l'annexe B que _An-p(u), ^Aij(u), _Bn-p,i(u), Ci(u) et Dj(u) sont toujours négatifs en tenant compte de l'hypothèse H6 ,donc V^ÿ < 0 dans l'orthant positif. D'après le principe d'extension de LaSalle [48], la limite de toute solutions de (2.1) qui intersectent 118ⁿ_>0 est contenu dans ^*, le plus grand domaine invariant contenant

= { x E 118ⁿ_>0/ V^ÿ(x) = 01. Nous allons déterminer ^*. Par définition de V (t), V^ÿ (t) est nulle si x_n = x^*_n. Le domaine ^* est invariant et satisfait x_n = x^*_n ; nous avons ÿx_n = 0 sur ^* d'oil

Xk p=1	âp(xn-p -- x^*n-p) =		Xk p=1	âpxn^* -p (1 -- un-p) . un-p
Comme les termes (1-un_p) un_p		sont négatifs, alors, on a un-p = 1 i.e. xn-p = x^*n-p. Ainsi, le

domaine ^* se réduit au point P^*. D'oil toute solution de (2.1) tend vers P^*. Ceci achève la preuve

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

3.5 Etude numérique

Dans cette section, nous allons présenter les résultats des simulations numériques pour valider les résultats analytiques obtenus dans les section précédentes. Les simulations numériques ont été effectués pour le modèle épidémiologique de la tuberculose à une classe d'infectés, que nous avons présenté au chapitre 2. Les conditions initiales sont données dans le tableau ci-dessous.

Données			Sources
E(0)	=	200	Nombre initial d'infectés
T(0)	=	100	Nombre initial de tuberculeux extra-pulmonaires
R(0)	=	150	Nombre initial de guéris
L(0)	=	10	Nombre initial de "perdus de vus"
I(0)	=	150	Nombre initial de tuberculeux pulmonaires
S(0)	=	200	Nombre initial de susceptibles

Les valeurs des paramètres sont regroupées dans le tableau ci dessous.

Données	sources
p = 0.15	Programme national de lutte contre la tuberculose (PNLT)
r1 = 0	Programme national de lutte contre la tuberculose (PNLT)
u = 0.101	Ministère de l'Administration Territoriale et de la Décentralisation
d = 0.0022727	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri (Douala)
å = 0.04492	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri(Douala)
r2 = r3 = 0.8118	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri(Douala)
ä1 = 0.16288	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri(Douala)
d1 = d2 = 0.0022727	Hôpital saint Albert LeGrand de Bonabéri(Douala)

Pour les autres paramètres, on a utilisés les valeurs suivantes :

a = 0.01(1 - k)(1 - r1), r4 = 0.2, A = 100, 'Y1 = 0.068 = 'Y2, d3 = 2d1 ; f = 0.8, ä = 0.60 , k = 0.005 q = 0.5

En faisant varier le paramètre â, on obtient les différentes valeurs de R0 qui sont données sur le schéma. Les simulations numériques ont été faites en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4, dans le logiciel de simulation MATLAB.

Modèle général de la tuberculose avec deux classes d'infectés

on obtient les trois schémas en fonction des différentes valeurs de R0. Dans le cas du modèle dont le diagramme de transmission est donné par la figure (FIG 2.1), on obtient les trois schémas en fonction des différentes valeurs de â.

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

FIG. 3.1 Résultats des simulations numériques.

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

~ Pour 3 = 0.105, on se trouve dans le cas R0 > 1. La figure (Fig 3.1) nous présente les résultats des simulations numériques. On observe la globale asymptotique stabilité du point d'équilibre endémique du modèle lorsque R0 > 1. On observe également que le nombre de susceptibles est inférieure au nombre de tuberculeux extra-pulmonaires et au nombre d'infectés latents. Cela signifie que la maladie est persistante au sein de la population considérée.

o Pour 3 = 0.0105, il vient que R0 > 1 et le résultat des simulations numériques présenté sur la figure (Fig 3.5), montre la globale asymptotique stabilité du point d'équilibre endémique du modèle. En plus, comme dans le cas précédent, on constate que, que la maladie persiste au sein de la population et que le nombre d'infectés latents reste très élevé bien qu'il soit inférieur au nombre de Susceptibles.

o Pour 3 = 0.00105, Il vient R0 = 1 et le résultat des simulations numériques présentés sur la figure (FIG 3.6) montre l'asymptotique stabilité globale du point d'équilibre non endémique du système. On constate que dans ce cas, la maladie disparaît alors que les susceptibles sont de plus en plus nombreux et se stabilisent à un certain moment.

3.6 Conclusion

Dans ce chapitre de notre travail, l'analyse globale de la classe de modèles épidémiologiques du chapitre précédent a été traité. Nous avons montré que l'existence et l'unicité des points d'équilibre non endémique et endémique dépendent d'un paramètre de seuil que nous avons calculé. La stabilité de ces points d'équilibre a été démontré en utilisant les fonctions de Lyapunov. Nous avons démontré que le lorsque R0 1, la maladie disparaît alors que lorsque R0 > 1, la maladie persiste au sein de la population humaine. Les simulations numériques ont été présentés pour valider les résultats analytiques obtenus.

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008