Analyse globale d'une classe de modèles épidémiologiques avec différentes infectivités

CHAPITRE ANNEXE

ANNeXe A : INégaLiTés uTiLes

(4.1)

,

.

Dans cette annexe, nous donnons les inégalités utiles qui permettent de montrer que la dérivée de la fonction de Lyapunov donnée par l'équation (3.27) est négative.

Théorème 4.1. : Soient y1, y2, · · · , y_n des réels positifs. Alors,

vy1y2· · · y_n = y1 + y2 + · · · + y_n n
n avec égalité dans lorsque y1 = y2 = · · · = yn.

Preuve. : On démontre ce Lemme en utilisant la concavité de la fonction ln x. Puisque ln x est concave, on a

ln (y1 + y2 + · · · + y_n)

ln y1 + ln y2 + · · · + ln y_n n n

= ln(y1y2 · · · _yn)

n

On obtient le résultat en appliquant l'exponentielle de part et d'autre de cette inégalité. On a immédiatement le corollaire suivant :

Corollaire 4.1. : Soient y1, y2, · · · , y_n des réels positifs tels que y1y2 · · · y_n = 1. Alors on a

n - (y1 + y2 + · · · + yn) = 0, (4.2)

avec égalité lorsque y1 = y2 = · · · = yn.

On a aussi le Lemme suivant :

Lemme 4.1. : Soient y1 = y2 = · · · = y_n des nombres réels positifs. On a

0 = y2 y1

+ ··· + yn yn-1

(n - 1) = yn y1

1. (4.3)

Preuve. Chacun des termes yi+1 = 1. Donc

yi

(n - 1) = 0.

y2 + ··· + yn

y1 yn-1

Soit w = yn y1 cas, on a

1 et soit vi = yi - 1 pour i = 2, · · · , n, alors, w et vi sont positifs. Dans ce yi-1

1 + w = yn = y2 × · · · × yn ,

y1 y1 yn-1

= (1 + v2) · · · (1 + v_n)

= 1 + (v2 + · · · + v_n) + un grand terme, = 1 + v2 + · · · + v_n.

Il vient alors que w = v2 + · · · + v_n ce qui donne la seconde inégalité.

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Lemme 4.2. : Soient y1 = y2 = · · · = yn+1 des nombres réels positifs, alors,

y1 y2

+ ··· + yn yn+1

n = y1 yn+1

1. (4.4)

Preuve. : Comme yi - yi+1 = 0, on a

y1 y2			+ ··· + yn yn+1		n = (^y1- 1) + ···+ ( yn y2 yn+1					1)
		y1 - y2		yn - yn+1 + · · · + yn+1
		y2
y1 - y2 yn+1	yn - yn+1 + · · · + yn+1					=	y1	1
							yn+1

d'où le résultat.

On a le Lemme suivant :

Lemme 4.3. : Soient y1 = y2 = · · · = y_n = Y des nombres réels positifs, alors,

(4.5)

yn + (n 1)

( y1 + y2 + yn = 0.

Y y1 yn-1

Preuve. : On a

y_n

,

Y + (n - 1) - (^y1 + y2 + · · · + Y

yn = y_n - Y (y1 - Y y2 - y1 + y_n - yn-1)

y1 yn-1

yn-1

Lemme 4.4. : Soient Y = y1 = ^y2 = · · · = y_n des nombres réels positifs, alors

yn -Y Y = 0.

(y1 - Y ~ Y +y2 - y1 Yyn - yn-1 + · · · + , Y

+ (n -1)-(^yn + y1 + · · · + yn-1)

= 0. (4.6)

X y2 y_n

Preuve. En effet, on a

(n 1) (y,,+ Y2 n y1 + · · · +

yn-1

y1

,

Yn y1 - Y y_n - Y y2 - y1yn-yn-1

Y r

Y2 Yn

= y1 - Y

yn - Y y2 - y1 y_n - yn-1

Y + Y + _Y+ · · · +

Y ,

= 0.

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008