Approche statistique sur l'étude des rendements financiers et applications.

1.2.4 Le rendement cumulé

Le rendement de t-jours pour une période menant de 0 à t est appelé le rendement cumulé noté Lt et se définit comme étant la somme des rendements effectifs observés (rendement continus quotidiens) sur l'intervalle [0, t]. Ce dernier représente une propriété utile dans le domaine de la statistique.

Lt = =

?t i=1 ?t i=1

Ri [ln(Xi) - ln(Xi_1)]

= ln(Xt) - ln(X0)

= ln?^Xt

X0

donc on a finalement:

Lt = ln?^Xt

X0

Cette représentation permet d'exprimer le prix actuel Xt en fonction de la valeur initiale X0 sous une forme similaire á la solution (1.1), mais tenant compte de l'hypothèse mise précédemment :

eLt = Xt

X0 = Xt = X0e^Lt

Ce qui entraine en substituant Lt par sa valeur:

Xt = X0 _exp?t?i=1 Ri (1.6)

On suppose l'hypothèse suivante :

Hypothèse 1.2 : Les rendements Ri ; i=1, 2, . . . , t ( ou rendement quotidien) sont indépendants, mais pas nécessairement identiquement distribués.

On peut alors obtenir la distribution du rendement cumulé Lt en utilisant le produit de convolution. Notons _öRi la fonction caractéristique d'un rendement Ri et _öLt celle du cumulé Lt. On obtient alors que cette dernière est égale au produit des fonctions caractéristiques des rendements effectifs sur chacune des périodes de l'intervalle [0, t] :

öL_t(u) = _?t öR_i(u) Vu E [0,t]. (1.7)

i=1

12

On considére la situation où l'on posera plutôt l'hypothèse suivante :

Hypothèse 1.3 : Les rendements Ri pour i=1 ,..., t sont à la fois indépendants et identiquement distribués.

Alors, la fonction caractéristique des rendements est égale pour chaque période :

öR(u) = öR₁(u) = . . . = öR_t(u) (1.8)

La formule (1.7) s'écrit ainsi :

öL_t(u) = [öR(u)]ⁿ Vu E[0,t] . (1.9)

Considérer une distribution qui est fermée sous la convolution pour modéliser les rendements sur une période Ri peut alors étre intéressant. Le rendement cumulé Lt pourra aussi être modélisé à l'aide de la méme distribution. Pour ce faire, on modifie un paramétre d'échelle en fonction de la longueur t de l'intervalle de temps considéré.

CHAPITRE2

Approche statis- tique