Approche statistique sur l'étude des rendements financiers et applications.

2.3 Estimation des paramètres du modèle AR(p)

A cette étape, on se donne un modèle AR(p) où l'ordre p est supposé connu. Il convient alors d'estimer les paramètres ' et ó². Sous l'hypothèse E suit la loi normale de moyenne 0 et de variance ó², on usera la méthode de Yule-Walker, la méthode des moindres carrés, la méthode du maximum de vraisemblance conditionnel et la méthode du maximum de vraisemblance exacte . Nous allons, dans ce paragraphe, présenter la démarche de l'estima-tion par ces différentes méthodes.

Equations de Yule-Walker

Considérons la série de rendement (Rt) définie dans l'équation (2.4)

En multipliant les deux membres par _Rt-j et en prenant l'espérance on obtient

E(Rt-iRt-j) = E( _?p öiRtRt-i) + E(EtRt-j) i=1

or E(RtRt-j) = ãj par définition de la fonction d'autocovariance. Les termes du bruit blancs sont indépendants les uns des autres et, de plus _Rt-j est indépendant de Et pour tout j positif ou nul.

Donc pour je N^* on a E(EtRt-j) = 0 et pour j = 0 on a :

E(EtRt) = E[~t( _?p öiRt-i + Et)

i=1

= _?p öiE(EtRt-i) + E(4) i=1

= 0 + ó2

21

Donc E(ctRt) = ó2 Maintenant pour j > 0 on a : ?p ãj = E[ i=1

öiRt-iRt-j] + ó^2äj

äj = ????

où äj est le symbole de Kronecker définit par :

1 si j = 0 0 sinon

Par ailleurs ,

?p E[ i=1

p p j p Rt-iRt-jJ = ? i=1

p p öiE(RtRt-j+i) = ? i=1

öiãj-i

Ce qui donne les équations de Yule-Walker

ãj = _?p öiãj-i + ó²äj pour j E N i=1

et ãj = ã-j _?p öiã|j|-i + ó²äj pour j N i=1

2.3.1 Méthode de Yule-Walker

La méthode consiste à reprendre les équations de Yule-Walker en inversant les relations : on exprime les coefficients en fonction des autocovariances. On applique alors le raisonnement de la Méthode des moments et ensuite on trouve les paramètres estimés d'après les autocovariances estimées. En prenant l'equation sous forme matricielle :

r = or' (2.6)

avec :

22

Ö=

???????????

ö1 ö2 ... öP ó2

? ??????????

p1 ã-2 ã-3 ' ' ' 1

ã-1 ã-2 ' ' ' 0

, = ã0 ã-1 ' ' ' 0 ã1 ã0 ''' 0

1

ãP-2 ã0 ' '' 0

et

???????????

_???ã¹

ã2

= ã3

? ...

ã_P

Et on en déduit les estimateurs attendus.

èà =

???????????

^àö1 ^àö2 ... ^àöP àó2

? ??????????

2.3.2 La méthode des moindres carrés

On utilise ici les équations de Yule-Walker qui consiste à substituer les autocorrélations théoriques par leurs estimateurs afin de retrouver les esti-

mateurs de la méthode des moindres carrés du modèle par la résolution des équations de Yule-Walker.

On considère toujours l'équation définie en (2.4) dans laquelle on ajoute une constante c. On a donc :

Rt = c+ _ö1Rt-1+ ...+ _öpRt-p + Et

= Z^'_tâ^' + Et avec Et ~ N(0, ó²)

où Z^'_t = (1, Rt-1, Rt-2, . . . , _Rt-p) et â^' = (c, ö1, ö2, ... , ö_p)

Notons par Zt et â respectivement les transposées de Z^'_t et â^'.

L'estimation des paramètres ó² et â, du modèle Rt = Z^'_tâ^'+Et par la méthode des moindres carrés donne

âà =(ZtZ't)-1ZtRt

1

àó2 =

et

âà est

T - (p + ₁₎?(Rt - Z't 4)2

Les résultats usuels d'économétrie ne sont pas vérifiés ici, en particulier

biaisé(i.e E(0) =6 â). Il est toutefois possible de montrer le résultat suivant :

Propriété 2.3.2.1 Si le processus AR(p)est stationnaire alors

âà asymptotiquement sans biais c est á dire âà ?P â

et

_a2 P? ó2,

de plus

vT (â^à - â) ? ^loiN(0, ó²V)

oú

1

V = p lim

T ?+8 T

ZtZ^'_t.

23

Remarque 2.3.2.1 Si la méthode des moindres carrées peut être utilisée pour estimer les paramètres d'un modèle AR(p), elle ne marche plus dès lors que l'on a des termes autorégressifs sur les résidus.