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Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs

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par Emmanuel MANIRAFASHA
Kigali Institute of Education - Licence 2007
  

Disponible en mode multipage

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DEDICACE

A nos regrettés parents,

A nos frères et soeurs,

A nos amis,

A tous ceux qui nous sont chers,

A la famille BASHONGA Evariste

REMERCIEMENTS

La réalisation de ce travail n'aurait jamais pris fin sans le concours précieux de plusieurs personnes à qui nous devons des remerciements sincères et cordiaux. Qu'il soit remercié Dieu le père tout puissant car c'est celui qui guide la sagesse et dirige les sages.

Nous remercions particulièrement Dr Jean de Dieu BAZIRUWIHA qui a accepté sans ambages d'assurer la direction de notre travail. Nos remerciements distingués s'adressent à tous les autorités et les professeurs de K.I.E, plus particulièrement ceux des départements de Mathématiques-physique, de Biologie-chimie et de l'Education physique, qui nous ont donné la formation intellectuelle et morale.

Nous remercions tous les collègues d'études, plus particulièrement Emmanuel KAMANA, Albert KWIZERA, Jean de Dieu HAKIZAYEZU, Didace NSHIMIYIMANA, Fidèle RUGIRAMANZI et Zéphanie NIYONKURU pour leurs collaboration et encouragement durant nos études universitaires.

Nous remercions également les membres de notre famille, surtout à Patricie MUKAGASANA pour son aide, assistance, affection et prières ; à Martin NIYIBIGENA, HAVUGIMANA et Théoneste MUHINYUZI pour leur aide ; vous autres de près ou de loin qui avez contribué matériellement et moralement à la réalisation du présent travail, nous vous remercions. Que Dieu vous bénisse.

TABLE DE MATIERE

DEDICACE i

REMERCIEMENTS ii

TABLE DE MATIERE iii

INTRODUCTION GENERALE 1

CHAPITRE I : LA POSITION DU PROBLEME ET LA REVUE DE LA LITTERATURE 2

I.1.Introduction 2

I.2. Valeurs moyennes et fluctuations 3

I.2.1 Valeur moyenne 3

I.2.2. Fluctuation 5

I.3. Gaz parfait 6

I.4. Distribution grand canonique de Gibbs 7

CHAPITRE II: CALCUL DE LA FLUCTUATION DU NOMBRE DE REMPLISSAGE DES NIVEAUX ENERGETIQUES POUR UN GAZ PARFAIT QUANTIQUE EN UTILISANT LA DISTRIBUTION GRAND CANONIQUE DE GIBBS 8

II.1. Calcul de la valeur moyenne du nombre de remplissage des niveaux énergétiques, pour un gaz parfait quantique 8

II.2.Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs 13

CONCLUSION 19

BIBLIOGRAPHIE 20

INTRODUCTION GENERALE

Un gaz parfait quantique est un système quantique avec un grand nombre de degrés de liberté et son étude oblige à recourir à la physique statistique quantique, qui se construit sur les principes fondamentaux de la mécanique quantique.

Notre travail a comme objectif la détermination de l'écart quadratique moyen (fluctuation) du nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique.

Ce travail est subdivisé en deux chapitres :

Le premier chapitre porte sur la position du problème et la revue de la littérature. Dans ce chapitre nous présentons l'approche de la physique statistique en utilisant le modèle quantique lors de la description d'un système possédant un grand nombre de degrés de libertés de liberté. Dans cette approche nous insistons sur le calcul de la valeur moyenne et de la fluctuation. Nous parlons aussi de la distribution grand canonique de Gibbs.

Le second chapitre concerne le calcul de la fluctuation du nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs.

CHAPITRE I : LA POSITION DU PROBLEME ET LA REVUE DE LA LITTERATURE

I.1.Introduction

Dans la pratique, nous avons affaire aux systèmes macroscopiques, c'est-à-dire constitués par un grand nombre de particules (atomes, molécules, etc.). D'où l'importance de l'application des méthodes statistiques pour l'étude de tels systèmes.

Par ailleurs, c'est la mécanique quantique qui décrit correctement le comportement des microparticules constituant un macrosystème. Le modèle du gaz parfait joue un rôle important en théorie statistique et sert de départ pour l'étude des systèmes plus compliqués. La distribution grand canonique de Gibbs, quoique conceptuellement plus élaborée, simplifie les calculs physiques sur les systèmes quantiques.

Nous savons que n'importe quel système possède des grandeurs le caractérisant, qui varient en oscillant autour de leurs valeurs moyennes. La fluctuation nous permet de connaître les écarts à la moyenne.

Lors de l'étude du comportement et des propriétés des corps macroscopiques formant des systèmes simples, on utilise les modèles de la mécanique classique ou de la mécanique quantique. D'après les études faites, il s'avère que la description complète du comportement et les propriétés des systèmes constitués par un grand nombre de particules (c'est-à-dire ayant un grand nombre de degrés de liberté) en utilisant ces modèles est pratiquement impossible. Il est donc nécessaire de recourir à une théorie permettant d'étudier le comportement d'un système avec un grand nombre de degrés de liberté.

Pour appliquer les méthodes de la mécanique, bien que nous puissions utiliser la mécanique classique, il est indispensable d'écrire et de résoudre un nombre égal à N équations différentielles ordinaires du deuxième ordre, ce qui est pratiquement impossible lorsque N est très grand.

Remarquons que même si l'on pouvait écrire la solution générale de ces équations différentielles, il serait absolument impossible d'y introduire les conditions initiales pour les vitesses et les coordonnées de particules, ne serait-ce qu'à cause du temps et de la quantité de papiers nécessaires.

La question ne se pose pas uniquement au niveau pratique, mais aussi du côté technique, nous ne pouvons pas trouver un programme dans l'ordinateur qui peut résoudre ce problème, du moins à l'heure actuelle[5] et [6].

La physique statistique ou mécanique statistique est une branche de la physique théorique qui étudie les lois particulières régissant le comportement et les propriétés des corps macroscopiques, c'est-à-dire des corps composés d'une énorme quantité de particules (atomes, molécules, etc.) en utilisant le modèle microscopique.

Donc, lorsque le nombre de particules augmente les propriétés du système mécanique deviennent essentiellement compliquées et il y a l'apparition des lois statistiques dont leur caractère diffère essentiellement de celui de lois mécaniques. L'importance de la physique statistique au sein de la physique théorique provient du fait que, le plus souvent, dans la nature, nous avons affaire à des corps macroscopiques qui peuvent être eux- mêmes composites en molécules, atomes, électrons, quarks, etc. dont le comportement ne peut être complètement décrit par des méthodes purement mécaniques. On dit que ces corps obéissent aux lois statistiques. La description selon les lois statistiques utilise deux modèles :

Le modèle classique qui est un système de N points matériels en mouvement selon les lois de la mécanique classique. La physique statistique classique est construite sur les principes fondamentaux de la théorie classique des états d'équilibre.

Le modèle quantique qui est un système de N points matériels en mouvement selon les lois de la mécanique quantique. Donc, la physique statistique quantique se construit sur les principes fondamentaux de la mécanique quantique [6].

La physique statistique quantique doit être étudiée en considérant la physique classique comme un cas limite qui ne serait approximativement exacte que dans les conditions déterminées. La physique statistique ne fournit des résultats corrects que dans le cas d'un choix heureux du modèle du système, ce choix ne pouvant souvent être justifié qu'après recours aux conceptions quantiques [7].

I.2. Valeurs moyennes et fluctuations

I.2.1 Valeur moyenne

Un grand système peut être subdivisé en sous-systèmes qui forment de nouveaux systèmes mécaniques mais qui ne sont pas isolés, le grand système considéré est isolé. La physique statistique se rapporte à un système se trouvant en équilibre.

D'habitude est isolé cette condition d'équilibre est vérifiée ; au contraire, les sous-systèmes sont soumis à des actions diverses de la part des autres parties des systèmes. A cause du grand nombre de degrés de liberté de ces autres parties, les interactions ont un caractère compliqués et enchevêtrés.

Ceci rend impossible les méthodes de la mécanique. Par conséquent, la méthode statistique repose essentiellement sur une certaine distribution statistique permettant de calculer la valeur d'une grandeur quelconque.

En statistique classique, la valeur moyenne d'une grandeur quelconque f(p,q) est donnée par la formule :

(1.1)

est la fonction de distribution statistique qui est égale à la probabilité pour les coordonnées qi et les impulsions pi de prendre les valeurs se trouvant dans les intervalles infiniment petits qi, pi et qi+dqi, pi+dpi

(avec i =1,2,...,N)

q = (q1,q2,...,qN) est l'ensemble des coordonnées généralisées,

p = (p1,p2,...,pN) est l'ensemble des impulsions généralisées

dq = dq1dq2...dq; dp = dp1dp2...dpN,

N est le nombre de degrés de liberté

La moyenne trouvée à l'aide de la fonction de distribution est appelée statistique. La statistique permet de faire les prédictions se réalisant avec une grande précision pour la majeure partie d'un intervalle de temps suffisamment long pour que l'influence des conditions initiales disparaisse. En ce sens, les prédictions de la statistique ont un caractère non pas aléatoire mais pratiquement déterminé. On dit qu'un système se trouve en équilibre statistique, de même qu'en équilibre thermodynamique ou thermique, si les grandeurs physiques macroscopiques caractérisant chacune de ses parties sont égales, avec une précision relativement grande à leurs moyennes.

En mécanique quantique, la valeur moyenne de toute grandeur caractérisant le système, ainsi que les probabilités des différentes valeurs de ces grandeurs sont déterminées à l'aide de la matrice densité.

Ainsi, la valeur moyenne de toute grandeur f à l'état donné est :

` (1.2)

sont les éléments matriciels de la grandeur f

est l'opérateur correspondant et dépendant généralement du temps, est l'ensemble des grandeurs qui représentent la matrice densité. [5]

Les distributions statistiques des sous-systèmes doivent, par définition de l'équilibre statistique, être stationnaires. Par conséquent, les matrices statistiques de tous sous-systèmes sont diagonales ; la grandeur, notée aussi par, est la distribution de probabilité.

Par suite, la formule déterminant la valeur moyenne d'une grandeur f se trouve ainsi simplifiée.

(1.3)

Avec les éléments matriciels diagonaux.

I.2.2. Fluctuation

On appelle fluctuation d'une grandeur, caractérisant le système, l'écart de la valeur réelle de sa valeur moyenne conditionné par l'agitation thermique chaotique des particules du système. Le carré moyen de la différence , appelé fluctuation quadratique, représente la mesure de la fluctuation : [3].

On peut calculer la fluctuation d'une grandeur qui varie en oscillant autour de sa valeur moyenne dans le temps comme suit :

Considérons une grandeur quelconque se rapportant à un certain corps macroscopique ou à une de ses parties.

Dans le temps, cette grandeur varie en oscillant autour de sa valeur moyenne : la valeur moyenne de la différence, où est la largeur de l'intervalle de cette variation.

la valeur moyenne, ne peut être prise pour une telle caractéristique, car la grandeur s'écarte de sa valeur moyenne, tant d'un côté que l'autre, c'est-à-dire tantôt en haut, tantôt en bas de cette valeur moyenne, et la valeur moyenne da la différence qui est tantôt positive, tantôt négative se trouve être nulle, quel que soit le nombre des écarts notables de à sa valeur moyenne.

Il est commode de prendre pour la caractéristique cherchée la valeur moyenne du carré de cette différence. La grandeur étant toujours positive, sa valeur moyenne ne tend pas vers zéro, en d'autres termes elle se trouve être petite seulement si des écarts notables de à sont peu probables.

La grandeur (1.4)

est appelée écart quadratique moyen de la grandeurou fluctuation de [6].

Remarquons que :

Mais (1.5)

C'est-à-dire que la fluctuation est déterminée par la différence entre le carré moyen de la grandeur et le carré de sa valeur moyenne.

Le rapport est appelé fluctuation relative de la grandeur f.

I.3. Gaz parfait

Un gaz parfait est un gaz dont la pression est si basse que ses atomes ou ses molécules se déplacent indépendamment l'un de l'autre. En d'autres termes, un gaz parfait peut être considéré comme un ensemble des boules (molécules) en mouvement chaotique. Les molécules doivent avoir un volume propre négligeable et n'interagissent pas l'une de l'autre à distance. Ces molécules entrent continuellement en collision avec d'autres molécules du gaz parfait et avec des parois du récipient en exerçant sur elles une certaine pression [3] et [8].

Pour un gaz parfait classique, les particules identiques le constituant peuvent être distinguées (sont discernables) tandis que pour un gaz parfait quantique, les particules identiques le constituant ne peuvent pas être distinguées (sont indiscernables).

I.4. Distribution grand canonique de Gibbs

Dans la pratique, nous avons affaire aux systèmes macroscopiques, c'est-à-dire constitués par un grand nombre de particules (atomes, molécules, etc.). D'où l'importance de l'application des méthodes statistiques pour l'étude de tels systèmes. Nous pouvons définir la distribution grand canonique pour un système macroscopique.

La distribution grand canonique quoi que conceptuellement plus élaborée, simplifie les calculs physiques sur les systèmes quantiques. [4] et [5]

La distribution grand canonique de Gibbs s'écrit :

(1.6)

est le potentiel généralisé ou le grand potentiel,

est le potentiel chimique,

est le niveau énergétique,

est le nombre de particules occupant le niveau énergétique ,

avec est le module de la distribution canonique,

est la constante de Boltzmann,

est la température du système,

est une grandeur exprimant le degré de dégénérescence des niveaux énergétiques

Sachant que et en notant

(1.7)

L'équation (1.6) prend de la forme :

(1.8)

CHAPITRE II: CALCUL DE LA FLUCTUATION DU NOMBRE DE REMPLISSAGE DES NIVEAUX ENERGETIQUES POUR UN GAZ PARFAIT QUANTIQUE EN UTILISANT LA DISTRIBUTION GRAND CANONIQUE DE GIBBS

II.1. Calcul de la valeur moyenne du nombre de remplissage des niveaux énergétiques, pour un gaz parfait quantique

A l'aide de l'expression (1.8), on peut calculer les valeurs de n'importe quelle fonction des nombres de remplissages si on connaît. On peut par exemple calculer :, , , .

Pour la raison de commodité, nous allons utiliser l'astuce mathématique suivant : nous allons considérer comme si le gaz parfait ne possède pas un seul potentiel chimique u mais tout un ensemble de potentiels chimiques. A la fin des calculs, nous allons supposer que tous les potentiels chimiques ul sont les mêmes et sont égaux à u. Donc nous pouvons écrire à partir de l'expression (1.8) 

(2.1)

La condition de normalisation conduit à :

(2.2)

C'est-à-dire :

(2.3)

En posant

(2.4)

L'équation (2.3) prend de la forme :

ou (2.5)

et nous obtenons :

(2.6)

est la fonction de partition grand canonique ou somme des états quantique ou somme statistique pour un système à nombre variable de particules.

En mettant l'équation (2.4) dans l'équation (2.6) puis en dérivant l'équation (2.6) par rapport à, nous arrivons à la valeur du nombre de remplissage .

(2.7)

L'équation (2.7) représente la valeur moyenne du nombre de remplissage des niveaux énergétiques. Le calcul concret de en utilisant la formule (2.7) nécessite une connaissance précise de la grandeur.

Un gaz parfait quantique de particules identiques peut être constitué, soit par les particules avec spin demi-entier appelées fermions, soit par les particules de spin entier appelées bosons.

Pour les fermions est valable le principe d'exclusion de Pauli : deux ou plusieurs particules identiques ne peuvent pas se trouver exactement dans un même état quantique. Ce fait peut être considéré de la façon suivante. Il faut poser

(2.8)

Dans ce cas :

(2.9)

(2.10)

D'où (2.11)

Le nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques est obtenu en remplaçant l'expression (2.11) dans l'équation (2.7), ce qui donne :

(2.12)

Comme la dérivé de la somme est égale à la somme des dérivés, l'expression (2.12) peut s'écrire :

En posant, on obtient :

(2.13)

En multipliant le dénominateur et le numérateur de l'expression (2.13) par , on obtient :

(2.14)

Avec

L'expression (2.14) c'est le nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait constitué par les particules avec un spin demi-entier.

Dans le cas des bosons, il faut poser

(2.15)

ce qui va nous conduire à la statistique de Bose Einstein, dans ce cas :

(2.16)

Avec quelconque : et

(2.17)

Ce qui conduit à :

(2.18)

En remplaçant l'expression (2.18) dans l'expression (2.7), nous obtenons :

(2.19)

Comme la dérivé de la somme est égale à la somme des dérivés, l'expression (2.19) peut s'écrire comme suit :

En posant, on obtient :

(2.20)

En multipliant le dénominateur et le numérateur de l'expression (2.20) par , on obtient :

(2.21)

Avec

L'expression (2.21) n'est rien d'autre que le nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique constitué par les particules de spin entier.

A la limite, lorsque >>È, de (2.14) et (2.21) on trouve :

(2.22)

Les formules (2.14), (2.21) et (2.22) peuvent s'écrire sous la forme unique suivante :

(2.23)

est une constante, qui est égale soit :

pour un gaz parfait de Fermi,

pour un gaz parfait de Bose,

pour un gaz parfait de Boltzmann [1], [2] et [5].

II.2.Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs

La formule (1.8) de la distribution grand canonique quantique, lorsque la grandeur est concrètement connue, permet de calculer les fonctions des nombres de remplissage, en utilisant l'astuce mathématique, comme nous l'avons fait au sous-chapitre II.1, lors du calcul de (voir 2.7)

Trouvons  :

(2.24)

Mais (2.25)

En tenant compte de (2.24) et (2.25), nous écrivons :

(2.26)

De (2.25), on sait que le dénominateur dans l'équation (2.26) est égale à, ce qui donne :

(2.27)

En posant, on obtient :

(2.28)

C'est-à-dire :

(2.29)

Dans le cas particulier où les niveaux énergétiques k et l sont égaux, de la formule (2.29), on obtient :

(2.30)

Avec qui présente la dispersion du nombre de remplissage des niveaux énergétiques.

La valeur moyenne du nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique est donnée par :

(2.31)

En utilisant l'expression (2.31) dans l'expression (2.30), on obtient :

(2.32)

L'expression (2.32), est la formule de la dispersion du nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en général.

La fluctuation du nombre de remplissage des niveaux d'énergie s'obtient à partir de la dispersion par la relation :

(2.33)

En utilisant l'expression (2.32) dans l'expression (2.33), on obtient :

(2.34)

L'expression (2.34), est la fluctuation du nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique.

Pour un gaz parfait de Bose, on obtient :

Pour un gaz parfait de Fermi, on obtient :

Pour un gaz régi par la statistique de Boltzmann, on obtient : .Ainsi, on voit que l'expression pour l'écart quadratique moyen du nombre de remplissage des niveaux énergétiques dans le cas d'un gaz parfait est la même que l'expression obtenue dans le cas classique.

Cette expression classique est obtenue comme suit :

Dans le cas classique, il n'y a pas de niveaux énergétiques. La valeur moyenne de particules se trouvant dans l'intervalle d'énergie est obtenue à partir de la distribution classique de Maxwell-Boltzmann. Cette valeur est sous la forme :

La dispersion du nombre de particules se trouvant dans l'intervalle d'énergie est calculée comme suit :

La fluctuation du nombre de particules se trouvant dans l'intervalle de l'énergie est calculée comme suit :

CONCLUSION

En appliquant la distribution grand canonique de Gibbs, nous avons trouvé la formule de la fluctuation du nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique suivante :

pour un gaz de fermions,

pour un gaz de bosons

A la limite lorsque, et on obtient l'expression analogue à l'expression classique.

BIBLIOGRAPHIE

[1] Arthur Beiser. Concepts of modern physics, fifth edition. Mc Graw-Hill. USA, 1995

[2] B.M Yavorsky and A.A Pinsky. Fundamentals of physics volume I. Mir Publishers.

Moscow, 1987.

[3] B. Yavorski, A. Detlaf. Aide mémoire de physique, 3e édition. Editions MIR, Moscou,

1975.

[4] http://fr.wikipekia:ébouche physique.physique statistique. 25/03/2007.

[5] L. Landau et E. Lifshitz. Physique théorique vol 5 : Physique statistique tome 1.

Editions MIR, Moscou, 1973.

[6] L. Landau et E. Lifchitz. Physique statistique. Editions MIR, Moscou, 1967

[7] M. Leontovitch. Introduction à la thermodynamique, physique statistique. Editions

MIR, Moscou, 1986.

[8] S. P. KASHINJE, Jean de Dieu BAZIRUWIHA. Module 6 de physique:

Thermodynamique. K.I.E, Kigali, 2003.






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