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La régularité lipshtzienne des courbes minimisantes pour un problème de contrôle optimale géométrique

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par Nedjoua Driai
Université de Sétif - Algerie - magister 2005
  

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Chapitre 1

Commandabilité et commande des

systèmes non linéaires de dimension

finie

1.1 Problème de Dubins sur des surfaces à courbure négative [MS.10]

Soit (M, m) une variété riemannienne connexe, orientable et complète. Indiquons par N = UM son fibré tangent unitaire. Les points de N sont les couples (p, v), oil p ? M, v ? TpM et m(v, v) = 1. Pour tout å > 0 nous pouvons considérer le problème de Dubins qui consiste à trouver, pour tous (p1,v1), (p2,v2) ? N, une courbe ã [0,T] ? M paramétrée par son abscisse curviligne dont la courbure géodésique est bornée par å, telle que ã(0) = p1, ÿã(0) = v1, ã(T) = p2, ÿã(T) = v2 et minimisant T. Dans la suite nous nous restreignons au cas oil M est de dimension deux. Le problème de Dubins s'écrit alors comme le problème de temps minimum :

(Då) qÿ = f(q) + ug(q), q ? N, u ? [-å,å],

oil f est le générateur infinitésimal du flot géodésique sur N et g est le champ de vecteurs engendrant la rotation sur les fibres de N de vitesse angulaire constante égale à 1. Les contrôles admissibles sont toutes les fonctions mesurables u à valeurs dans l'intervalle [-å, å].

En 1957 Dubins ([54]) détermina la structure globale des trajectoires optimales de (Då) sur R2 muni de la structure euclidienne : ce trajectoires optimales sont la concaténation d'au plus trois arcs de cercle de rayon 1ou de segments. Des conditions nécessaires supplémentaires sur les longueurs des arcs d'une concaténation optimale ont été obtenues par Sussmann et Tang ([109]). Des problèmes de type Dubins ont été étudiés pour les surfaces simplement connexes à courbure constante ([44, 68, 84]), également en dimension supérieure à deux ([85, 86, 110]).

Une motivation du travail de recherche présenté ici (et de l'article précédent [MS.11]) vient de la remarque que, en généralisant le problème de Dubins du cas euclidien à une surface riemannienne quelconque, la commandabilité de (Då) devient une propriété difficile à établir.

Nous sommes poussés à considérer une propriété intrinsèque de M invariante par changement d'échelle : savoir si (Då) est commandable pour tout å > 0. Cette propriété a une interprétation géométrique évidente si l'on remarque que la projection sur M des trajectoires de (Då) donne l'ensemble des courbes C1 sur M dont la courbure géodésique est bornée par å. Nous pouvons donc reformuler la propriété mentionnée ci-dessus en disant que (M, m) est uniformément connectable par arcs si, pour tous (q1, v1), (q2, v2) ? N et pour tout å > 0, il existe une courbe

ã : [0, T] - M de courbure géodésique inférieure à å joignant q1 à q2 et telle que ã'(0) = v1, ã'(T) = v2.

Un premier résultat, que nous obtenons par des arguments de stabilité au sens de Poisson, est le suivant.

Proposition 1.1 Soit M une surface riemannienne complète et connexe. Alors M est uniformément connectable par arcs si au moins l'une des deux propriétés suivantes est vérifiée : (a) l'aire de M est finie, (b) le flot géodésique sur M est topologiquement transitif.

Le rôle de la courbure gaussienne K : M - R de (M, m) dans l'étude de la connectabilité uniforme par arcs de M est suggéré par la structure de l'algebre de Lie engendrée par f et g. En effet,

[f, [f,g]](q) = --K(ð(q))g(q)

pour tout q E N, oil ð : N - M est fa fibration canonique (cf., par exemple, [106]).

Dans [MS.11] nous avons étudié, en collaboration avec Y. Chitour, le cas oil la courbure sur M est positive. Dans la suite nous considérons le cas oil la courbure gaussienne de M est négative. On sait alors que M peut être identifiée avec un espace quotient X/, oil X est une surface d'Hadamard (c'est-à-dire, une variété de dimension deux simplement connexe à courbure négative) et est un groupe d'isométries de M préservant l'orientation qui agit librement et de façon discontinue sur X.

Nous pouvons démontrer le résultat suivant.

Théorème 1.2 Soit M une surface riemannienne complète, connexe et dont la courbure gaus-
sienne K est négative. Soit X le revêtement universel de M. Alors M est uniformément connec-

table par arcs si au moins l'une des deux propriétés suivantes est satisfaite : (i) M est du premier

f

type ; (ii) pour tout r > 0 et tout secteur S de X, supp?S BX(p,r) KdA = 0.

Rappelons que M est du premier type si l'ensemble limite de est égal au bord idéal de X (cf. [16]). La notation BX(p, r) indique l'ensemble des points de X qui ont distance riemannienne inférieure à r de p.

Nous pouvons transformer les conditions suffisantes pour que M soit uniformément connectable par arcs du théorème 1.2 en conditions nécessaires et suffisantes en introduisant des restrictions sur le comportement de K.

Théorème 1.3 Soit M une surface riemannienne complète, connexe dont la courbure gaussienne K est majorée par une constante strictement négative. Alors M est uniformément connectable par arcs si et seulement si M est du premier type.

Théorème 1.4 Soit M une surface riemannienne complète, connexe dont la courbure gaus-
sienne K est négative et minorée. Supposons que M est du deuxième type est notons X son

revêtement universel. Alors M est uniformément connectable par arcs si et seulement si pour

f

tout r > 0 et tout secteur S de X, supp?S BX(p,r) KdA = 0.

Dans le cas oil K change de signe nous pouvons démontrer le résultat suivant. Proposition 1.5 Soit M une surface riemannienne dont le groupe fondamental est de type fini. Soit K bornée et négative à l'extérieur d'un sous-ensemble compact de M. Supposons que tout

demi-cylindre riemannien de M est strict. Alors M est uniformément connectable par arcs si et

f

seulement si, pour tout demi-plan H contenu dans M et pour tout r > 0, supp?H BM (p,r) KdA =

f

?U BM (p,r) KdA < 0.

0. En particulier, (i) M est uniformément connectable par arcs si fM KdA > --oc; (ii) M n'est pas uniformément connectable par arcs s'il existe r > 0 et un demi-cylindre riemannien U C M tels que supp

Rappelons qu'un sous-ensemble U de M est dit un demi-cylindre riemannien s'il est difféomorphe à S1 × [0, 8) et qu'il est dit strict si K8(U) = - j U KdA - k(?U) =6 0, oh k(?U) est l'intégrale de la courbure gaussienne de ?U. Le théorème de Cohn-Vossen garantit alors que K8(U) > 0 (cf. [104]).

Nous terminons cette section par un résultat sur la structure des trajectoires optimales du problème de Dubins. Ce résultat peut être obtenu comme une conséquence du Principe du Maximum de Pontriaguine (cf., par exemple, [6]).

Proposition 1.6 Tout arc singulier d'une trajectoire temps-optimale de (Då) est le relèvement d'un segment géodésique (indépendamment du signe de K). Si K est majorée par une constante strictement négative et å est suffisamment petit, alors toute trajectoire temps-optimale de (Då) est la concaténation d'un arc bang, un arc singulier et un arc bang (chaque arc ayant éventuellement longueur nulle).

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