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La régularité lipshtzienne des courbes minimisantes pour un problème de contrôle optimale géométrique

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par Nedjoua Driai
Université de Sétif - Algerie - magister 2005
  

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1.2 Suivi de trajectoire pour un sous-marin dont le mouvement est régi par les lois de Kirchhoff [MS.7]

Dans cette section nous étudions la commande d'un véhicule ellipsoïdal immergé dans un volume infini de fluide idéal. Le modèle choisi est adapté à la description du mouvement des véhicules sous-marins sans pilote.

Nous supposons dans la suite que le véhicule a la même densité moyenne que le fluide (de telle sorte que sa dynamique n'est pas affectée par la gravité) et que son centre de masse coïncide avec le centre de l'ellipsoïde. Nous supposons aussi que le fluide est non visqueux, incompressible, irrotationnel et qu'il remplit R3. Sous ces hypothèses, le mouvement du véhicule est décrit par les lois de Kirchhoff (cf. [70]). En raison de la nature potentielle du fluide l'état du système est déterminé par un nombre fini de paramètres.

Notons par r ? R3 la position du centre de masse du véhicule et par A ? SO(3) son orientation, calculées par rapport à un système de coordonnées galiléen. Notons aussi par v et ù ses vitesses linéaire et angulaire, calculées par rapport à un système de coordonnées attaché au véhicule. Nous avons

Aÿ = AS(ù), rÿ = Av, (1.1)

oh S : R3 ? so(3) est la bijection linéaire qui associe à un vecteur x ? R3 la matrice 3 × 3 antisymétrique S(x) telle que x ? y = S(x)y pour tout y dans R3.

Associons à (ù, v) les impulsions correspondants (II, P) définis par

! !

II ù

= M , (1.2)

P v

oh la matrice

)

Je + Jf 03×3

M = 03×3 Me + Mf

est composée des blocs 3 × 3 suivants : Je est la matrice d'inertie de l'ellipsoïde; Me est la matrice identité 3 × 3, dénotée par Id3 dans la suite, multipliée par la masse du véhicule; Jf et Mf prennent en compte l'action du fluide sur le solide. La forme ellipsoïdale du véhicule implique que Jf et Mf sont diagonales par rapport au repère donné par les axes de l'ellipsoïde. Les coefficients de Jf et Mf sont obtenus à partir des solutions de certaines problèmes aux limites associés à l'équation de Laplace et ne dépendent pas de la distribution de masse à l'intérieur du solide.

La dynamique suivie par (Ð, P) est donnée par les équations de Kirchhoff :

{ Ðÿ = Ð ? ù + P ? v + T,

(1.3)

Pÿ = P ? ù + F,

oil T et F sont respectivement le couple et la force extérieurs appliqués au solide.

Une dernière hypothèse simplificatrice est que les axes d'inertie du véhicule coïncident avec les axes de l'ellipsoïde. Cela est vrai, par exemple, si la distribution de masse du sous-marin est symétrique par rapport à au moins deux des plans engendrés par les axes de l'ellipsoïde.

Sous les conditions présentées ci-dessus, la matrice M peut être supposée diagonale. Notons par M1, M2, M3 et J1, J2, J3 les entrées diagonales de Me + Mf et Je + Jf respectivement.

Supposons que le sous-marin soit commandé par une accélération le long de l'un des axes de l'ellipsoïde et par deux accélérations angulaires autour des deux autres axes. T et F s'écrivent alors

?

?

T=?

u1 0

u2 ) , F = (0 ) , u1, u2, u3 ? R.

0 u3

Le système ainsi obtenu a déjà été considéré du point de vue du contrôle par nombreux auteurs : signalons [13, 30, 31, 72, 88] pour la commande des équations de Kirchhoff et [40, 47, 46] pour le modèle complet (états-impulsions).

Nous pouvons démontrer le résultat suivant.

Théorème 1.7 Soit J1 =6 J2 ou M1 =6 M2. Alors, le système de contrôle (1.1)-(1.3) est complètement commandable en temps arbitrairement petit. De plus, pour toute trajectoire lisse (A, r) : [0, T] ? SO(3)×R3, pour toutes conditions initiales Ð0, P0 ? R3 et pour toute tolérance o > 0, il existe une loi de commande mesurable et bornée u = (u1,u2,u3) : [0, T] ? R3 telle que la trajectoire t 7? (A(t),r(t),Ð(t),P(t)) de (1.1)-(1.3) correspondant à u et avec condition initiale (A(0),r(0),Ð(0),P(0)) = ( A(0), r(0),Ð0, P0) vérifie || A(t) - A(t)|| + ||r(t) - r(t)|| < o pour tout t ? [0, T].

La démonstration du théorème est basée sur une approche de type backstepping : on utilise les coordonnés Ð1, Ð2 et P3, qui sont contrôlées directement par u1, u2 et u3, comme nouvelles commandes dans les équations de Ð3, P1 et P2. Nous commandons ces dernières suffisamment bien (c'est-à-dire au sens intégral, comme énoncé dans le lemme 1.8) pour pouvoir les utiliser à leur tour comme commandes dans les équations de r et A. Le point clé de la démonstration est donc le suivant.

Lemme 1.8 Soit J1 =6 J2 ou M1 =6 M2. Fixons T > 0 et une courbe lisse (Ð, P ) : [0, T] ? R6. Il existe alors une suite un dans L°°([0, T], R3) telle que la suiten, Pn) de solutions de (1.3) correspondant à un et ayantn(0), Pn(0)) = (Ð(0), P (0)) comme condition initiale satisfait

n1(T), Ðn2 (T), P1n (T), P2n (T), P3n (T)) ? (Ð1(T), Ð2(T), P1(T), P2(T), P3(T)),

Ðn3(t) ? Ð3(t),

fot t

7ii (ô) ,Ð72' (ô) , Pli (ô) , II (ô) , PT' (ô))d --> r f (Ð1(ô) ,Ð2(ô) , P1(ô) , P2 (ô), P3 (ô))

0

pour n ? 8, oil les deux dernières convergences sont uniformes par rapport à t ? [0, T].

La méthode de démonstration fournit un algorithme pour sélectionner une famille de lois de commande oscillantes qui donnent lieu au suivi de trajectoire souhaité pour une fréquence

-8

-10

-12

-14

-16

-0

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16
2

-6

X

-16

-4

-0 -2 -4

-10

Y

1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60

 
 

0 2 4 6 8 10 12 14 16

FIGURE 1.1 - Evolution de la position r du centre de masse du sous-marin et de l'entrée A3,3 de la matrice d'orientation. La cible est la courbe (A(t), r(t)) = (Id3, --(t, t, t)) et la condition initiale pour les impulsions est Ð0 = P0 = 0.

suffisamment grande des oscillations. Si l'approche utilisée pour démontrer le théorème est essentiellement du type boucle ouverte, les simulations montrent bien comment le taux de convergence vers la trajectoire cible peut être amélioré grâce à l'utilisation de termes correctifs en boucle fermée.

Un exemple de suivi obtenu en appliquant cet algorithme (en langage Scilab) est présenté dans la figure 1.1.

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