Memoire Online - La régularité lipshtzienne des courbes minimisantes pour un problème de contrôle optimale géométrique

Soient M une variété lisse de dimension deux et X, Y deux champs de vecteurs lisses sur M. Si {X, Y } est Lie bracket generating, alors le système de contrôle

est commandable et la fonction valeur pour le temps minimum définit une distance continue sur M. Dans le cas où X et Y sont partout linéairement indépendants (ce qui peut arriver seulement si M est parallélisable), la distance ainsi obtenue est riemannienne et correspond à la métrique pour laquelle (X, Y ) est un repère mobile orthonormal.

Dans cette section, nous nous intéressons à la géométrie obtenue dans le cas où les deux champs de vecteurs peuvent être colinéaires à certains points.

Une structure métrique sur une surface M est dite presque riemannienne si elle peut être définie localement par un couple de champs de vecteurs (X, Y ) grâce à (4.1). De façon plus intrinsèque, une structure presque riemannienne S est un couple (E, f), où E est un fibré euclidien de rang deux sur M et f : E ? TM est un morphisme de fibrés vectoriels tel que f(E_q) ? T_qM et l'évaluation en q de l'algèbre de Lie engendrée par

est égale à T_qM pour tout q ? M. (La notion de structure presque riemannienne s'étend naturellement au cas d'une variété différentielle de dimension supérieure à deux).

Si E est orientable, nous disons que S est orientable. Si E est équivalent au fibré euclidien trivial M × R², nous disons que la structure presque riemannienne est trivialisable.

Notons par Z, dit ensemble singulier, l'ensemble des points q de M tels que f(E_q) est de dimension un. Sous des hypothèses de généricité sur f, l'ensemble Z est une sous-variété de dimension un de M. Une structure presque riemannienne est riemannienne si et seulement si Z = Ø, c'est-à-dire, f est un isomorphisme de fibrés vectoriels. Un couple de champs de vecteurs (X, Y ) de L est dit une base orthonormale de S sur un ouvert 11 de M si X = f ? ó et Y = f?ñ avec (ó, ñ) une base orthonormale pour E sur 11. Les bases orthonormales de S forment un système de générateurs locaux de L. Remarquons que S est trivialisable si et seulement s'il existe une base orthonormale globale de S.

Un exemple célèbre de structure presque riemannienne est le plan de Grushin, obtenu globalement sur M = R² avec X(x,y) = (1,0) et Y (x,y) = (0,x). (Cf. [25, 37, 57, 62].) D'autres structures presque riemanniennes ont été obtenues dans des problèmes de contrôle quantique avec M = S² ([35, 36]) et pour d'autres surfaces de révolution ([33]).

Une structure presque riemannienne sur une surface s'écrit localement à l'aide d'une des formes normales suivantes.

Théorème 4.1 Génériquement par rapport à f, pour tout point q ? M, il existe une base orthonormale (X, Y ) pour S sur un voisinage de q et un système de coordonnées locales tels que (q, X, Y ) admet l'une des représentations suivantes :

Nous disons dans la suite qu'une structure presque riemannienne S vérifie l'hypothèse (H0) si elle peut se mettre localement en chaque point sous l'une des formes normales présentées dans le théorème 4.1. On dit que une structure presque riemannienne S vérifiant l'hypothèse (H0) n'a pas de points de tangence si elle peut s'écrire localement sous la forme (F1) ou (F2) seulement. Un point de tangence est, par définition, un point pour lequel S est décrite localement par (F3).

Soit M compacte, orientée et munie d'une structure presque riemannienne orientable. Soit K : M \ Z ? R la courbure gaussienne définie par la structure presque riemannienne et dA_s le pushforward par f d'une forme de volume sur E.

Notons M^å = {q ? M | d(q, Z) > å}. Soit M⁺ (respectivement, M^--) le sous-ensemble de M \Z sur lequel l'orientation définie par dA_s coïncide avec (respectivement, est opposée à) celle de M.

Nous pouvons démontrer le résultat suivant, qui généralise la formule de Gauss-Bonnet. (D'autres généralisations dans des domaines proches ont été obtenues pour des structures sousriemanniennes [4], finsleriennes [17] et pour des pseudo-métriques singulières [92].)

Théorème 4.2 Soit M compacte et orientée. Pour une structure presque riemannienne orientée, sans points de tangence et vérifiant l'hypothèse (H0), la limite limå\0 f Må K(q)dA_s existe et est égale à 2ð(÷(M⁺) - ÷(M^--)), oft ÷ est la caractéristique d'Euler.

Étant donné un fibré vectoriel orienté E de rang deux sur une variété différentielle compacte orientée M de dimension deux, le numéro d'Euler de E, noté par e(E), est défini par

oil ó : M ? E est une section transverse à la section nulle et i(p, ó) = 1 (respectivement, -1) si d_pó : T_pM ? Tó(p)E préserve (respectivement, reverse) l'orientation.

Remarquons que, en changeant l'orientation sur M ou sur E, le signe de e(E) change. Par conséquent, e(E) est défini au signe près. Par contre, le numéro d'Euler de TM est défini sans ambiguïté et est égal à ÷(M). Remarquons aussi que si (E, f) est trivialisable, alors e(E) = 0.

Théorème 4.3 Soit M compacte et orientée dotée d'une structure presque riemannienne orientée et vérifiant l'hypothèse (H0). Alors ÷(M⁺) - ÷(M^--) + ô = e(E), oft ô est le nombre de révolutions de A sur Z calculé par rapport à l'orientation induite par M⁺ sur Z.

Comme conséquence directe des théorèmes 4.2 et 4.3, nous avons que, pour une structure presque
riemannienne trivialisable, sans points de tangence, et vérifiant l'hypothèse (H0), définie sur une
surface M compacte et orientable, la limite limå\0 f Må K(q)dA_s existe et est égale à zéro. Nous

pouvons donner l'interprétation suivante de cette propriété : pour une structure riemannienne, la topologie de la surface donne une contrainte sur la courbure totale (formule de Gauss-Bonnet) ; dans le cas d'une structure presque riemannienne trivialisable, par contre, la courbure totale est égale à zéro et la topologie de la surface force la métrique à devenir singulière sur un ensemble de topologie appropriée.

Il est intéressant de remarquer que toute surface orientable compacte peut être équipée d'une structure presque riemannienne trivialisable, sans points de tangence et vérifiant l'hypothèse (H0) (voir figures 4.1 et 4.2).

FIGURE 4.1 --- Exemple de structure presque riemannienne trivialisable sans points de tangence sur une sphère.

Pour étendre le théorème 4.2 au cas des variétés à bord, nous introduisons une notion de domaine admissible de M.

Définition 4.4 Soit U un domaine borné d'une surface M munie d'une structure presque riemannienne orientable et vérifiant l'hypothèse (H0). Nous disons que U est admissible si U ne contient pas de points de tangence et si le bord de U est l'union des supports d'un ensemble fini de courbes ã¹, . . . ,ã^m telles que chaque ã^l : [0, T^l] M satisfait les conditions suivantes : ãl est C² sur [0, T^l] ; ã^l est localement solution de (4.1) (en particulier a longueur finie) ; ã^l a la même orientation que celle induite sur par U.

Théorème 4.5 Soit U un domaine admissible d'une surface M munie d'une structure presque
riemannienne orientable et vérifiant l'hypothèse (H0). Soient ã¹, . . . , ã^m comme dans la défini-
tion 4.4. Pour tout å > 0, soit M^#177;_å = M^#177; fl M^å et U^#177;_å = M^#177;_å fl U. Soient t^j₁, . . . , t^j_lj les temps

pour lesquels ãj traverse i. Associons à chaque t^j_l la quantité Ó⁺(t^j_l ) de la façon suivante : si,
pour å > 0 suffisamment petit, le support de ãj|(tj l ,tj _l +å) est contenu dans M⁺, alors Ó⁺(t^j_l ) = 1,

sinon Ó⁺(t^j_l) = --1. De façon similaire, si pour å > 0 suffisamment petit le support de ã^j|(t^j_l -å,t^j_l )

est contenu dans M⁺ alors posons Ó-(t^j_l ) = 1, sinon Ó-(t^j_l ) = --1. Notons par kj_g(t) la courbure géodésique de ãj en ãj(t). Définissons

de Y

zéros de

zéros

B lieu singulier

FIGURE 4.2 --- Exemple de structure presque riemannienne trivialisable sans points de tangence sur la somme connexe de plusieurs tores.

oft nous interprétons chaque intégrale fn?U#177; å k_gdó comme la somme des intégrales le long des portions lisses de n ?U^#177;_å plus la somme des angles aux points oft n'est pas C¹.

Le théorème 4.5 peut être utilisé pour démontrer une version du théorème 4.2 dans laquelle les points de tangence sont admis. L'idée est que, contrairement à ce qui arrive aux points de type (F2), près des points de tangence, le bord de M^å converge vers Z, pour å ? 0, avec un taux de convergence différent de å (par rapport à un système de coordonnées quelconque). Nous devons

alors isoler les points de tangence grâce au calcul de l'intégrale de K sur une région qui dépend de plusieurs paramètres qui convergent vers zéro sur différentes échelles de temps. Plus précisément, soit T l'ensemble des point de tangence de la structure presque riemannienne. Associons à tout q ? T un voisinage « rectangulaire » Bq ä1,ä2 dépendant de deux paramètres ä1 et ä2, qui jouent le rôle des longueurs des cotés du rectangle, avec la construction suivante : considérons une courbe lisse (-1, 1) ? s 7? w(s) qui passe par le point de tangence w(0) = q et qui est transverse à z en q ; pour tout s ? (-1, 1), soit ã_s la géodésique paramétrée par son abscisse curviligne telle que ã_s(0) = w(s) et qui minimise localement la distance à {w(s) | s ? (-1, 1)} (ã_s est bien définie en raison de la transversalité de w); pour ä1 et ä2 suffisamment petits, le rectangle Bq ä1,ä2 est le sous-ensemble de M qui contient le point q et dont le bord est

ãä2([-ä1, ä1]) ? ã[-ä2,ä2](ä1) ? ã-ä2([-ä1, ä1]) ? ã[-ä2,ä2](-ä1)

Soit Må ä1,ä2 = M^å \ Uq?T Bq ä1,ä2. Nous pouvons démontrer le résultat suivant, qui généralise le théorème 4.2 et, par conséquent, la formule de Gauss-Bonnet.

Théorème 4.6 Soit M compacte et orientée. Pour une structure presque riemannienne orientée qui vérifie l'hypothèse (H0), la limite

existe et est égale à 2ð(÷(M⁺) - ÷(M-) + ô) = 2ðe(E). En particulier, la limite vaut zéro si et seulement si la structure est trivialisable.

Remarquons que la construction de Må ä1,ä2 dépend du choix des courbes w transverses à z aux points de T et de leur paramétrage. Le théorème 4.6 affirme que la valeur de la limite (4.2) est, néanmoins, intrinsèque.

Nous terminons ce chapitre avec l'analyse de ce qui arrive si l'on essaye de calculer (4.2) en remplaçant Måä1,ä2 par M^å, en analogie avec l'enonce du theorème 4.2.

D'abord, grâce à la formule de Gauss-Bonnet riemannienne et en supposant que å est petit,
K(q)dA₅ = 2ð(÷(M_E⁺) - ÷(M_E)) - f k_gds + f k_gds

où nos avons utilise la notation M^#177;_å = M^#177; n M^å. Il n'est pas difficile de verifier, en utilisant la forme normale (F2), que les contributions des courbures geodesiques de ?M⁺_å et ?M-_å s'annulent reciproquement loin des points de tangence quand å tend vers zero. Nous allons donc argumenter que la presence de points de tangence peut conduire à la divergence de limå?0 fMå K(q)dA_s, en calculant numeriquement la courbure geodesique de ?M⁺_å et ?M-_å dans un voisinage d'un tel point. Nous prenons donc la forme normale (F3) avec ø = 1 et î = 0, pour laquelle K est donne explicitement par la formule

Le graphe de K est represente en figure 4.5. Remarquons que lim_supq?(0,0) K(q) = +8 et lim_infq?(0,0) K(q) = -8. La situation est differente de celle que l'on retrouve autour des points ayant pour forme normale (F2), pour lesquels K(q) diverge à -8 quand q approche Z.

Fixons 0 < a < 1 et considerons la geodesique passant par (a, a²) qui minimise (localement) la distance à Z. Notons par P⁺ et P- les deux points le long de cette geodesique à distance å de Z et par ã⁺ et ã- les portions de ?M⁺_å et ?M-_å joignant l'axe vertical avec les deux points P⁺ et P- (voir figure 4.7). La figure 4.8 montre la valeur de

pour a = 0.1 et å variant dans l'intervalle [0.01, 0.04] (calcule à l'aide du logiciel Mathematica).

La fonction paraît converger vers une valeur finie non nulle quand å tend à zéro, permettant ainsi de conjecturer que fMå K(q)dA_s diverge.

De nombreux sujets de recherche sont laissés ouverts par les activités présentées dans les quatre chapitres précédents. Certains de ces sujets sont déjà en cours avancé de développement, d'autres font l'objet d'activités de recherche programmées dans un futur proche, d'autres encore à plus long terme.

Concernant les activités présentées dans le premier chapitre, dédié à la commande des systèmes non linéaires de dimension finie, le développement du sujet de la section 1.2 (suivi de trajectoire pour un sous-marin) a donné lieu à l'encadrement du post-doc de María Barbero Liñán sur une généralisation de l'approche backstepping à une classe beaucoup plus vaste de systèmes mécaniques. Il s'agissait en particulier de faire le lien entre nos résultats de suivi de trajectoire et ceux présentés dans [40] dans le cadre abstrait des systèmes de contrôle dits à connexion affine. Dans un travail en cours de rédaction, nous avons pu étendre les résultats de [40] en généralisant au cadre de la connexion affine l'approche utilisé dans [MS.7] pour étudier le suivi de trajectoire d'un sous-marin. Nous avons aussi rendu la construction plus algorithmique, en étudiant comment les pas successifs de la procédure par backstepping doivent être hiérarchisés. Plus précisément, nous avons analysé les rapports quantitatifs entre les paramètres correspondant aux différents pas, aboutissant ainsi à des familles de lois de commande, dépendant d'un seul paramètre, qui réalisent le suivi de trajectoire désiré.

Des perspectives de développement de ce sujet qui m'intéressent beaucoup sont celles liées à l'analyse de complexité des commandes obtenues par les algorithmes de suivi de trajectoire. Il s'agit en général de lois de commande qui oscillent fortement. Pour pouvoir obtenir des bonnes performances sur des modèles réels, il faut minimiser la fréquence des oscillations des lois de commande en préservant la même tolérance par rapport à la trajectoire cible.

Dans la même thématique des systèmes non linéaires de dimension finie, je suis en train de collaborer avec François Alouges et Karine Beauchard sur un problème d'inversion de la magnétisation de micro-aimants ellipsoïdaux ayant des applications dans le développement de systèmes de stockage de type MRAM. La magnétisation m à l'intérieur du corps ferromagnétique Ù c R est un champs de vecteurs de norme constante, régi par l'équation de Landau-Lifschitz

oil H(m) indique le champs magnétique total. Nous nous intéressons à la planification des trajectoires pour des réductions de dimension finie de ce modèle.

Le thème qui sera probablement au centre de mes activités de recherche dans les prochaines années est celui issu des travaux sur le contrôle quantique présentés dans le chapitre 2. Il s'agit d'abord d'améliorer les résultats déjà obtenus en relaxant les hypothèses suffisantes de contrôlabilité approchée de l'équation de Schrödinger bilinéaire présentées en section 2.1. Si notre intuition concernant les hypothèses minimales qui garantissent la contrôlabilité approchée est correcte, il sera alors possible d'utiliser la construction à la base de notre preuve d'existence pour déterminer des algorithmes explicites de planification de trajectoires. En collaboration avec des physiciens expérimentaux de Dijon (en particulier Dominique Sugny) nous voulons alors tester

nos algorithmes sur des problèmes d'orientation et alignement de molécules. Ces problèmes méritent d'être aussi étudiés ultérieurement du point de vue théorique, en étendant les résultats que nous avons obtenus pour les rotations sur un cercle d'une molécule linéaire rigide. Dans ce contexte, le prochain cas à considérer est, sans doute, celui des rotations sur une sphère de R³.

En collaboration avec Ugo Boscain, Thomas Chambrion et Paolo Mason nous voudrions aussi transférer, si possible, les résultats que nous avons obtenu pour le contrôle des matrices de densité au cas où le spectre de l'opérateur n'est pas discret, en étudiant, en particulier, l'évolution dans l'espace engendré par les états propres qui correspondent à la partie discrète du spectre. Nous pourrions alors compléter les résultats de commandabilité approchée obtenus par Mirraihimi dans ce contexte dans (cf. [82]).

Nous voudrions aussi nous pencher sur les modèles quantiques non linéaires, en commençant par l'équation de Gross-Pitaevski. Il ne nous parait pas impossible d'adapter un cas non linéaire la partie finie dimensionnelle des arguments à la base de nos résultats de commandabilité approchée. Une contrainte importante pour l'application complète de notre méthode nous semble plutôt physique, à savoir le domaine de validité de l'équation de Gross-Pitaevski, qu'il ne faut bien sûr pas forcer au delà de ses limites.

Un autre sujet très intéressant est celui de la commande adiabatique des systèmes quantiques (cf. [112]). L'objectif dans ce domaine est de développer dans un cadre mathématique général les techniques de commande proposées par les physiciens et étudiées du point de vue du contrôle, dans des situations spécifiques, par Adami et Boscain dans [1]. On vise ici des équations de Schrödinger avec au moins deux contrôles scalaires qui varient très lentement. Un des outils importants pour estimer l'évolution de ces systèmes est l'analyse de comment le spectre d'un opérateur de Schrödinger perd sa simplicité et de son développement paramétrique autour d'un point de non simplicité. On sait donner à l'ensemble des potentiels correspondants à des opérateurs de Schrödinger ayant spectre non simple une structure différentielle (cf. [48, 71, 76]). Il faudra alors utiliser des arguments de transversalité pour garantir, génériquement, l'applicabilité des méthodes adiabatiques. Pour cette raison, cette thématique de recherche rejoint celle des sections 2.3 et 2.4.

En restant dans le domaine du contrôle des systèmes quantiques, je voudrais aussi m'intéresser à la question de la description des obstructions à la commandabilité exacte de l'équation de Schrödinger. Les travaux de Beauchard [22] et Beauchard et Coron [24] ont donné une description assez précise de l'ensemble atteignable d'une équation de Schrödinger particulière. Il est remarquable que les états propres de l'opérateur non contrôlé sont exactement joignables par des trajectoires admissibles pour une large classe d'opérateurs de contrôle (cf. [23]). Cela donne l'espoir qu'il soit possible d'isoler des propriétés générales des ensembles atteignables des systèmes quantiques.

Concernant le chapitre 3, dédié à la stabilité des systèmes hybrides, je voudrais d'abord poursuivre les collaborations déjà entamées avec Pierre Riedinger, Jamal Daafouz, Ulysse Serres et Jean-Claude Vivalda sur la commande des convertisseurs de puissance multicellulaires. Ce sont des systèmes électriques qui peuvent atteindre des puissances de quelques mégawatts et emploient généralement des tensions de plusieurs kilovolts. Ces systèmes sont particulièrement intéressants pour des applications de forte puissance avec des hautes tensions (cf. [79]). L'objectif est de proposer des solutions originales et intrinsèquement hybrides dans le cadre de l'amélioration des performances dynamiques de cette classe de systèmes ainsi que la diminution du nombre de capteurs nécessaires.

J'envisage aussi de développer ma recherche sur les systèmes linéaires à commutations en temps discret, présentée en section 3.3. Dans ce contexte, en collaboration avec Jamal Daafouz, un premier objectif est de caractériser les lois de commutation ne permettant pas de converger vers l'origine et la structure des ensembles limites. Cette caractérisation pourrait ensuite être ex-

ploitée pour l'analyse d'observabilité et la synthèse d'observateurs des systèmes à commutations en temps discret. L'extension des résultats de stabilité au cas non linéaire planaire est également envisagée. D'autres extensions possibles des résultats de la section 3.3 concernent des contraintes de type lipschitz que l'on peut ajouter à la variation des paramètres de commutation, ou bien des dépendances plus élaborées de la fonction de Liapounov par rapport à l'évolution passée de ces mêmes paramètres.

Un autre thème de recherche que je souhaite développer en collaboration avec Yacine Chitour et Paolo Mason dans le cadre des systèmes dynamiques hybrides est celui de la caractérisation de l'instabilité maximale d'un système linéaire à commutations à temps continu. Cette caractérisation passe à la fois par la description des systèmes à commutations dont l'instabilité est polynomiale et par la recherche des trajectoires périodiques des systèmes marginalement stables (cf. [18, 19, 77]).

Une autre activité de recherche en cours de lancement, en collaboration avec Martin Gugat, concerne l'analyse de stabilité de systèmes de contrôle de dimension infinie modélisant des réseaux de cordes (cf. [51]). L'idée est de développer une approche similaire à celle présentée en section 3.2. Le passage à la dimension infinie donne naissance à des nouveaux phénomènes d'instabilité, comme il a été remarqué dans [63].

Relativement au quatrième axe, l'étude de la géométrie presque riemannienne présentée dans le chapitre 4, nous sommes en train d'établir, en collaboration avec Ugo Boscain, Grégoire Char-lot et Roberta Ghezzi, une caractérisation complète des classes d'équivalence des structures presque riemanniennes en dimension deux, où l'équivalence est considérée par rapport à l'existence de transformations bi-lipschitiennes. Cette caractérisation se fait en associant à chaque structure presque riemannienne un graphe libellé qui contient tous ses invariants. Nous étudions aussi la construction d'une forme normale intrinsèque autour d'un point de tangence. En reprenant la démonstration du théorème 4.1, on s'aperçoit que cela revient à construire de façon intrinsèque une courbe paramétrée, transverse à l'ensemble singulier au point de tangence.

La régularité lipshtzienne des courbes minimisantes pour un problème de contrôle optimale géométrique

Chapitre 4