2. Intérêt du sujet
A priori, il nous est difficile de déterminer si
l'Univers dans lequel nous vivons est fait d'un type de géométrie
plutôt que d'un autre. En vivant sur la surface de la terre, le sol nous
semble plat et nous sommes plongés dans une géométrie
à faible courbure à tel point que toute surface de l'espace nous
semble localement euclidienne : << deux droites parallèles ne se
coupent pas ». Cependant, la relativité générale
d'Einstein montre qu'il existe des zones de l'espace où la
géométrie est très fortement courbée et donc
localement non-euclidienne. C'est seulement l'étude de ce genre de
géométrie qui nous permet de tirer des théories expliquant
des observations que nous ne pouvons faire uniquement avec l'intuition
humaine.
Conscient du fait que la géométrie dans son
ensemble comporte un champ de recherches immense que nous ne pouvons
prétendre aborder entièrement dans ce travail, nous nous
proposons de présenter les principes de base de géométrie
non-euclidienne. Cette
1 DEDRON P., ITARD J., Mathématiques et
mathématiciens, Editions MAGNARD, Paris (1965), p.55.
2 PROCLUS, philosophe de l'école
néoplatonicienne, 412-486. Auteur de plusieurs oeuvres notamment le
Commentaire sur le premier livre des Eléments d'Euclide.
3 Janos BOLYAI, mathématicien hongrois
(1802-1860).
4 Nikolaï Ivanovitch LOBATCHEVSKI,
mathématicien russe (1792-1856).
présentation nous aidera à comprendre pourquoi la
géométrie non-euclidienne joue un rôle de plus en plus
important dans la science moderne et la technologie.
3. Méthode et division du travail
3.1. Méthode
Pour réaliser notre travail, nous avons recueilli des
informations dans des ouvrages et sur Internet. Et ici, nous utilisons la
« méthode axiomatique ». Universellement utilisée en
mathématiques, cette méthode consiste à chercher à
énoncer des « vérités premières », «
les axiomes » qui sont des affirmations que l'on admet sans
démonstration, pour en tirer des conséquences logiques. Cette
méthode est aussi appelée « méthode
hypothético-déductive ».
Pour autant que l'outil informatique à notre disposition a
pu le permettre, nous avons fait usage du logiciel NonEuclid pour
certaines illustrations en géométrie hyperbolique.
3.2. Division du travail
Notre travail se subdivise en trois chapitres. Le premier
chapitre reprend quelques éléments de base de la
géométrie euclidienne ; le deuxième chapitre
présente les notions de courbes et de surfaces de l'espace ; enfin, le
troisième chapitre, avant la conclusion, nous introduit aux principes de
la géométrie non-euclidienne.
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