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Les différentes notions d'inversibilité et applications

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par Adil BOUHRARA
Université de Fès - Master mathématiques informatique et applications 2012
  

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UNIVERSITY OF FES, FACULTY OF SCIENCES DHAR EL
MAHRAZ, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

MASTER MATHEMATIQUES,INFORMATIQUE ET
APPLICATIONS
MEMOIRE DE FIN D'ETUDE

Les Différentes Notions D'Inversibilité et Applications

Préparé par : Adil BOUHRARA '
Encadré par : Pr.Abdelaziz TAJMOUATI

Soutenue le 06 /07/2012
Devant la Commission d'Examen

JURY

Pr. Mostapha ECH-CHERIF EL KETTANI Examinateur

Pr. Rachid AMEZIANE HASSANI Examinateur

Pr. Abdelaziz TAJMOUATI Examinateur

Année universitaire 2011-2012

Remerciement

Je tiens a` saluer ici toutes les personnes qui ont contribué, de prés ou de loin, a` faire de ces deux années de Master, une période extràemement riche sur le plan personnel. Je remercie tous ceux qui ont eu la volonté , la patience et parfois l'amitié de m'accompagner, de me conseiller dans l'apprentissage des mathématiques.

En premier lieu, je tiens a` exprimer ma profonde gratitude a` mon encadrant le responsable de Master Pr.Abdelaziz TAJMOUATI qui a toujours su faire preuve, durant ces deux années, d'une grande disponibilité, d'une écoute et d'une générosité sans faille. Au dela de ses qualités mathématiques bien connues de tous, il a été pour moi un vrai plaisir d'effectuer mes débuts dans la recherche a` ses càotés. Son implication a été la source d'une motivation constante, sa rigueur et sa créativité resteront pour moi un exemple.

J'exprime aussi mes vifs remerciements aux professeurs Mostapha ECH-CHERIF EL KATTANI et Rachid AMEZIANE HASSANI membres de jury pour m'avoir fait l'honneur d'accepter d'àetre dans cette soutenance.

Merci a` ceux qui, autour d'un café, d'un sandwich, ont toujours su introduire une bonne dose d'humour lors de nos longues journées de préparation prouvant ainsi au jour le jour que les mathématiques n'ont rien d'une science froide et austère.

Il me serait très difficile, voir malhonnàete, de passer sous silence le ràole fondamental qu'ont joué mes collègues dans cette formation de Master. Je tiens a` leur exprimer ici toute ma gratitude.

Je tiens enfin a` avoir une pensée particulièrement affectueuse pour mes parents, mes frères et ma soeur et ceux qui depuis de nombreuses années me couvent de leur amour ou de leur amitié. A tous, sincèrement, je dis merci.

Table des matières

Notations iv

Introduction générale 1

I Généralités sur les C*-algèbres 3

1 les C*-algèbres 3

1.1 Définitions 3

1.2 Adjonction de l'unité 3

1.3 Les C*-algèbres 4

1.4 Spectre d'un élément d'une algèbre 5

2 Rayon spectral 5

3 Elémént positif d'une C*-algèbre 6

II Inverse généralisé dans une algèbre 8

1 Inverse généralisé dans une algèbre 8

2 Moore-Penrose inverse dans C*- algèbre 10

2.1 Définitions 10

2.2 Méthodes de calcul de l'inverse de Moore-Penrose dans Mn,m(C) 13

3 Le produit et l'inverse de Moore-Penrose 14

4 L'inverse de Moore-Penrose des éléments hermitiens : 16

5 Caractérisation des éléments Moore-Penrose hermitiens : 17

IIIInverse de Drazin 18

1 Inverse de Drazin 18

2 Points spectraux isolés 20

3 Applications 22

Table des matières

4 Les éléments quasi-polaires et polaires d'une algèbre 22

5 Propriétés de l'inverse de Drazin 25

6 Représentations de l'inverse de Drazin 28

IV Continuité de l'inverse de Drazin et de Moore-Penrose 36

1 Moore-Penrose inverse et Drazin inverse dans C*-algèbre 36

2 Quasi-Polarité et Moore-Penrose inversibilité 37

3 Représentations de l'inverse de Moore-Penrose 39

4 Continuité de l'inverse de Drazin 41

V Eléments qui coummutent avec l'inverse de Moore-Penrose 43

1 Préliminaire 43

2 Eléments qui commutent avec son inverse de Moore-Penrose 44

3 Produit des éléments qui commutent avec l'inverse de Moore-Penrose 46

4 Continuité de Moore-Penrose 47

5 Applications 48

5.1 Inverse généralisé d'un opérateur non borné 48

5.2 Inverse de Moore-Penrose pour les opérateurs fermés bornés 49

5.3 Inverse de Drazin pour les opérateurs linéaires fermés 50

6 Le coeur d'un opérateur Drazin inversible 53

6.1 Le gap de deux sous espaces fermés 53

6.2 Le gap et l'inverse de Drazin 56

Bibliographie 58

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