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UNIVERSITY OF FES, FACULTY OF SCIENCES DHAR
EL
MAHRAZ, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
MASTER MATHEMATIQUES,INFORMATIQUE
ET
APPLICATIONS
MEMOIRE DE FIN D'ETUDE
Les Différentes Notions D'Inversibilité et
Applications
Préparé par : Adil BOUHRARA
'
Encadré par : Pr.Abdelaziz TAJMOUATI
Soutenue le 06 /07/2012
Devant la Commission d'Examen
JURY
Pr. Mostapha ECH-CHERIF EL KETTANI Examinateur
Pr. Rachid AMEZIANE HASSANI Examinateur
Pr. Abdelaziz TAJMOUATI Examinateur
Année universitaire 2011-2012
Remerciement
Je tiens a` saluer ici toutes les personnes qui ont
contribué, de prés ou de loin, a` faire de ces deux
années de Master, une période extràemement riche
sur le plan personnel. Je remercie tous ceux qui ont eu la volonté , la
patience et parfois l'amitié de m'accompagner, de me conseiller dans
l'apprentissage des mathématiques.
En premier lieu, je tiens a` exprimer ma profonde
gratitude a` mon encadrant le responsable de Master Pr.Abdelaziz
TAJMOUATI qui a toujours su faire preuve, durant ces deux années, d'une
grande disponibilité, d'une écoute et d'une
générosité sans faille. Au dela de ses qualités
mathématiques bien connues de tous, il a été pour moi un
vrai plaisir d'effectuer mes débuts dans la recherche a` ses
càotés. Son implication a été la source
d'une motivation constante, sa rigueur et sa créativité resteront
pour moi un exemple.
J'exprime aussi mes vifs remerciements aux professeurs
Mostapha ECH-CHERIF EL KATTANI et Rachid AMEZIANE HASSANI membres de jury pour
m'avoir fait l'honneur d'accepter d'àetre dans cette
soutenance.
Merci a` ceux qui, autour d'un café, d'un
sandwich, ont toujours su introduire une bonne dose d'humour lors de nos
longues journées de préparation prouvant ainsi au jour le jour
que les mathématiques n'ont rien d'une science froide et
austère.
Il me serait très difficile, voir
malhonnàete, de passer sous silence le ràole
fondamental qu'ont joué mes collègues dans cette formation de
Master. Je tiens a` leur exprimer ici toute ma gratitude.
Je tiens enfin a` avoir une pensée
particulièrement affectueuse pour mes parents, mes frères et ma
soeur et ceux qui depuis de nombreuses années me couvent de leur amour
ou de leur amitié. A tous, sincèrement, je dis merci.
Table des matières
Notations iv
Introduction générale 1
I Généralités sur les
C*-algèbres 3
1 les C*-algèbres 3
1.1 Définitions 3
1.2 Adjonction de l'unité 3
1.3 Les C*-algèbres 4
1.4 Spectre d'un élément d'une algèbre
5
2 Rayon spectral 5
3 Elémént positif d'une
C*-algèbre 6
II Inverse généralisé dans une
algèbre 8
1 Inverse généralisé dans une algèbre
8
2 Moore-Penrose inverse dans C*-
algèbre 10
2.1 Définitions 10
2.2 Méthodes de calcul de l'inverse de Moore-Penrose dans
Mn,m(C) 13
3 Le produit et l'inverse de Moore-Penrose 14
4 L'inverse de Moore-Penrose des éléments
hermitiens : 16
5 Caractérisation des éléments Moore-Penrose
hermitiens : 17
IIIInverse de Drazin 18
1 Inverse de Drazin 18
2 Points spectraux isolés 20
3 Applications 22
Table des matières
4 Les éléments quasi-polaires et polaires d'une
algèbre 22
5 Propriétés de l'inverse de Drazin 25
6 Représentations de l'inverse de Drazin 28
IV Continuité de l'inverse de Drazin et de
Moore-Penrose 36
1 Moore-Penrose inverse et Drazin inverse dans
C*-algèbre 36
2 Quasi-Polarité et Moore-Penrose inversibilité
37
3 Représentations de l'inverse de Moore-Penrose 39
4 Continuité de l'inverse de Drazin 41
V Eléments qui coummutent avec l'inverse de
Moore-Penrose 43
1 Préliminaire 43
2 Eléments qui commutent avec son inverse de Moore-Penrose
44
3 Produit des éléments qui commutent avec l'inverse
de Moore-Penrose 46
4 Continuité de Moore-Penrose 47
5 Applications 48
5.1 Inverse généralisé d'un opérateur
non borné 48
5.2 Inverse de Moore-Penrose pour les opérateurs
fermés bornés 49
5.3 Inverse de Drazin pour les opérateurs linéaires
fermés 50
6 Le coeur d'un opérateur Drazin inversible 53
6.1 Le gap de deux sous espaces fermés 53
6.2 Le gap et l'inverse de Drazin 56
Bibliographie 58
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