Les différentes notions d'inversibilité et applications

2 Points spectraux isolés

Soit A une algèbre de Banach unitaire et jt un nombre complexe. Lemme 2.1 Soit _p1,p2 . . . p_n des idempotents de A vérifiant

p2 i = pi,pipj = 0(i =6 j),p1 + p2 + · · · + p_n = e.

Si u1, u2 . . . u_n sont des éléments inversibles et commutent avec chaque pi,alors

(Eⁿi=1 uipi)^-1 = Pn i=1 u-1

i pi.

Th'eor`eme 2.1 Supposons que a,p E A telle que :

p² = p =6 0,ap = pa,(a -- pe)p E QN(A).

Définissons

c = c(î) = îp + a (pour î =6 0)

Alors

a(c) U = a(a) U + î},

et

n

f (a) = f (c)(e -p)+ En=⁰⁰ 0 fn (r) (a pe)ⁿp pour toute fonction holomorphe sur un voisinage de a(a) U + î}.

Preuve:

Soit w = (a -- pe)p, alors w est quasi-nilpotent et

(Ae -- a) = (Ae -- c)(e -- p) + ((A -- u)e -- w)p.

Si A cl a(c) U {u}, alors (Ae -- c),((A -- u)e -- w) sont inversibles, par conséquent (Ae -- a) l'est, avec

(Ae -- a)^-1 = (Ae -- c)^-1(e -- p) + ((A -- u)e -- w)^--1p.(lemme 2.1[p.20]) donc a(a) C a(c) U Oil. De màeme

(Ae -- c) = (Ae -- a)(e -- p) + ((A -- -- î)e -- w)p.

Si A cl a(a) U + î},alors (Ae -- a), ((A -- u -- )e -- w) sont inversibles, ainsi (Ae -- c) est inversible.

Donc a(c) c a(a) U + î}. Il reste donc a` montrer que u E a(a) et + E Q(c).

Supposons que u a(a). De (a -- pe)p = w E QN(A) et de la commutativité on obtient (a -- pe)^--1c = p E QN(A). Ce qui contredit le fait suivant r(p) = limn?8 1p1 n = 1. De màeme (c -- (u + )e)p = w implique + E a(c).

Pour la dernière relation on utilise :(Ae -- a)^-1 = (Ae -- c)^-1(e -- p) + ((A -- u)e -- c)^--1p en l'intégrant et on utilise le développement de série de Laurent de ((A -- u)e -- c)^--1p en tenant compte de la qausi nilpotence de w.

III.3 Applications

Th'eor`eme 2.2 Un complexe 1u est un point isolé de o-(a) si et seulement si il existe p E A tel que : p2 = p =6 0, ap = pa, (a - 1ae)p E QN(A). (III.1)

Et

îp + a - 1ae E Inv(A)( =6 0). (III.2)

Un tel p sera appelé l'idempotent de a correspondant a` u.

Preuve: Supposons que est un point isolé de a(a). Par théorème 4.2[p.24] et la proposition 1.3[p.5] (on fait un changement de variable) on aura le résultat voulu.

Inversement, soit =6 0 et définissons c = p+ a, par le théorème 2.1[p.21] ,jt sera dans a(a) et si III.2 est vérifiée alors jt 6 a(c) et jt est un point isolé de a(a)(le voisinage ouvert de jt est (O.(c)^c).

3 Applications

Exemple 3.1 Si jt est un point isolé de a(a) et p est l'idempotent correspondant a` 1t, alors w =
(a - 1ae)p est quasi nilpotent et b = p+ a - jie E Inv(A) est inversible d'après le théorème 2.1. Il existe
r > 0 et pour tout Al > 0 avec 0 < A - ji 1< r,(A - 1a)e - w et (A - 1a)e - b sont inversibles , et donc

(Ae - a)^-1 = ((A - jt)e - w)^-1p + ((A - 1a)e - b)^-1(e -- p)

_X8 (A - ji)^-nw^n-1p + _X8 (A - u)ⁿb^-n-1(e - p) n=1 n=0

_X8 (A--ji)^-n(a--jie)^n-1p-- _X8 (A - t)ⁿgⁿ⁺¹

n=1 n=0

avec g = (p + a - itte)^-1(e -- p) = b^-1(e -- p) est l'inverse généralisé de Drazin de (a - itte). Exemple 3.2 [7] (itt = 1, = --1) Soit a E A les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (aⁿ) converge dans A.

2. a = p + c,avec p est idempotent,cp = pc et cⁿ - 0.

3. a(a) C D U {1},avec D le disque unité ouvert, et ji = 1 est un point résolvent ou un pàole simple de pë(a).