Les différentes notions d'inversibilité et applications

Introduction générale

que l'inverse de Drazin sont continues.

Dans le chapitre V, on applique les résultats précédents aux opérateurs bornés , non bornés et aux opérateurs fermés .

Chapitre I

Généralités sur les C*-algèbres

1 les C*-algèbres

1.1 Définitions

Definition 1.1 Soit A un ensemble non vide, on dit que (A, +, ., x) est une algèbre si :

1. (A, +, .) est un C espace vectoriel.

2. (A, +, x) est un anneau.

3. a(x x y) = (ax) x y = x x (ay).

Pour tous x, y, z dans A et a dans C.

De plus :

on dit que A est unitaire si l'anneau (A, +, x) est unitaire (unité par x). on dit que A est commutative si l'anneau A est commutative.

on dit que A est normée si 11xy11 < 11x1111y11,Vx,y E A pour une certaine norme 1111 ,et si A est complet

pour cette norme alors A est dite une algèbre de Banach.

Definition 1.2 On dit que B est une sous algèbre de A, si (B,+,.) est un sous espce vectoriel de A et (B,+, x) est un sous anneau de (A, +, x).

1.2 Adjonction de l'unité

Si l'algèbre A n'est pas unitaire, alors on lui adjoint une unité de la façon suivante :

Posons A_l = A x C.

On munit A_l par les lois +,., et x définis par VA E C,Va E C et Va, b E A

1. A(a, a) = (Aa, Aa) E A_l

2. (a, a) + (b, 0) = (a + b, a + 0).

3. (a, a) x (b, 0) = (a x b + ab + 0a, a0).

I.1 les C*-algèbres

Donc (A1, +, x) est une algèbre sur C, unitaire d'unité (0, 1) = e, et on injecte A dans A1 de la façon suivante :

A r? A1
a - (a,0)

on identifie donc A1 avec A x {0}.

1.3 Les C*-algèbres

Une application x -~ x d'une algèbre A dans A est appelée une involution si les conditions suivantes sont satifaites pour tout x, y E A :

- (x + y)^* = x^* + y^*.

- (Ax)^* = Ax^*.

- (xy)^* = y^*x^*.

- (x^*)^* = x.

Définition 1.3 Une algèbre involutive A munie d'une norme vérifiant Ix^* I = Ix I est appelée une algèbre normée involutive .

Proposition 1.1 Si A admet un élément neutre e, alors e^* = e.

Preuve:

En effet, on a : e = (e^*)^* = (e^*e)^* = e^*e = e^*.

Exemple 1.1 1. Soit A l'algèbre de Banach des fonctions bornées sur un ensemble S munie de la

norme Ix I = suptES Ix(t)I.

On munit A de l'involution : A -+ A, x -+ x. Alors A est une algèbre de Banach involutive.

2. Soit H un espace de Hilbert sur C

et A = L_c = {u : H - Hlineaire continue},d'après le théorème de Riesz

Vu E A, ?!u^* E A tel que :< u(x),y >=< x,u^*(y) >,Vx,y E A et Iu^* I = Iu I, l'application A -~ A, u -~ u est une involution, et l'algèbre de Banach A est involutive.

Définition 1.4 Une algèbre de Banach munie d'une involuiton x - x de A dans A qui satisfait : Ix^*x I = Ix I² pour tout x E A est appelée une C^*-algèbre. Un élément x E A est dit hemitien si x = x^*.

Remarque 1.1 Toute C algèbre est une algèbre involutive .

En effet, pour tout x E A non nul : Ix I² = Ix^*x I Ix^* I Ix I = Ix I Ix^* I.

et Ix I = I(x^*)^* I ~ Ix^* I ,donc Ix^* I = Ix I.