4 L'inverse de Moore-Penrose des éléments
hermitiens :
Définition 4.1 Un
élément d'une C*-algèbre est dit
Moore-Penrose hermitien si a+ = a. Proposition 4.1
Soit A une C -algèbre. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes
1. a est Moore-Penrose hermitien si, et seulement si, a
= a3 et (a2)*
= a2.
2. si a est Moore-Penrose hermitien, alors a l'est, pour n
E N.
3. a est Moore-Penrose hermitien si, et seulement si
a* l'est.
4. si a est Moore-Penrose hermitien, alors
a(a) C {0, --1, 1}.
Preuve:
Pour 1 on utilise définition 4.1 et la
définition de Moore-Penrose. Pour 2 on utlise 1. Pour
3 est évidente.Pour 4 on utilise le fait que p =
a2 est hermitien et idempotent.
II.5 Caractérisation des éléments
Moore-Penrose hermitiens :
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