Existence et unicité d'une mesure

Chapitre 1

Generalites

Dans ce chapitre, on va introduire tous les ingrédients nécessaires pour aborder la théorie de la mesure proprement dite.Nous allons définir de manière précise, la notion de l'algèbre de Boole, semi-algèbre, et la tribu.

1.1 Definitions

Definition 1.1.1 Un semi-anneau sur un ensemble E est un sous-ensemble S de l'ensemble des parties P(E) tel que

i) 0 E S

ii) si A,B E S alors Afl B E S

iii) si A,B E S alors A\B = _]n A telle que (A ) _>1 est une suite d'éléments de S

=1

deux a` deux disjoints.

Definition 1.1.2 Un anneau R sur un ensemble E est une collection de sous-ensemble de E telle que

i) 0 E R

ii) si A,B E R sont des ensembles disjoints alors A ^J B E R

iii) si A,B E R alors A\B E R

D'efinition 1.1.3 On appelle algêbre ¹ de Boole sur E toute partie A0 de P(E) vérifiant les propriétés suivantes

i) Ø ? A0

ii) si A ? A0 A^c ? A0

iii) si A,B ? A0 AUB ? A0

D'efinition 1.1.4 On dit que 9t est un ó-anneau de parties de E poss édant de plus la propriétésuivante

i) pour toute famille dénombrable de parties disjointes (Ai)iEN

si 9t est un anneau

d'éléments de 9t ,

]8 i=0

Ai ? 9t

D'efinition 1.1.5 On appelle tribu ² sur E toute partie A de P(E) vérifiant les propriétés suivantes

i) Ø ? A

ii) A ? A A^c ? A

iii) si _(An)n>1 est une suite dans A, alors la réunion A = _U A_n

n>1

est encore dans A

D'efinition 1.1.6 On dira qu'une partie S1 de P(E) est une semi-algêbre³ de Boole sur E si

i) Ø ? S1

ii) si A ,B ? S1 alors AflB ? S1

iii) si A ? S1 alors A^c est une réunion de parties de E dans S1 , deux a` deux disjointes.

¹On dit aussi que A0 est une algèbre de Boole si A0 est un anneau et si de plus E ? A0

²On dit aussi que A est une tribu (ó-algèbre) de parties de E si A est un ó-anneau et si de plus E est un 'el'ement de A

³On dit aussi que S1 est une semi-algèbre si S1 est un semi-anneau et si de plus E ? S1

D'efinition 1.1.7 : Soit X C P(E) une famille non vide quelconque de parties de l'ensemble non vide E . On appelle anneau engendrépar X (resp.algebre engendrée par X ) le plus petit anneau ( resp.la plus petite algebre) de parties de E contenant X

D'efinition 1.1.8 : Une application u d'une famille 9t (ou 9t est un ó-anneau )non vide
de parties de l'ensemble non vide de E dans R U{+8} est dite finie (resp.ó-finie) en X E

9t si u(X) est fini ( resp.si X est contenu dans la réunion

Y d'une famille d'éléments

Y de 9t tels que pour tout i E N u(Y ) soit fini )