Etude d'une équation parabolique

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE. MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Université des Sciences et de la Technologie d'Oran

Département de mathématiques
Faculté des sciences

Présenté par: Dérigé par :

Soumia MAKASSI Khaled ZENNIR

2011-2012

Etude d'une équation Parabolique

Preparé par: Somia MAKASSI- Encadré par: Khaled ZENNIR

Département de mathématiques
USTO

Faculté des sciences

Juin 2012

2

Table des matières

1	Préliminaire				1
	1.1		Qu'est qu'une équation différentielle partielle ?		2
			1.1.1 Equation différentielle ordinaire (EDO)		2
			1.1.2 Equation aux dérivées partielles (EDP)		2
			1.1.3 Classification des EDPs linéaires du second ordre		2
			1.1.4 Problème bien posé .		3
	1.2		Quelques notions autour des dérivées partielles		6
			1.2.1 Dérivées directionnelles .		6
			1.2.2 Les applications de classe C'		7
	1.3		Espaces métriques, espaces topologiques		8
			1.3.1 Norme, distance, topologie		8
			1.3.2 Continuité, complétude, compacité		10
			1.3.3 Espaces de Banach et ses propriétés		13
	1.4		Espaces fonctionnelle		13
			1.4.1 Les espaces L^p 13
			1.4.2 Espaces de Sobolev		15
			1.4.3 Les espaces L^p(0,T,X)		16
			1.4.4 Espace de Hilbert		17
2	Equation de la diffusion (Dans II1)				18
	2.1		Unicité d'une éventuelle solution		19
	2.2		Existence d'une solution par la méthode de séparation des variables		21
3	Equation de chaleur en ii dimension (Dans II1^n)				26
	3.1		Modélisation et exemple		27
	3.2		Existence et unicité		27
			3.2.1 Formulation variationnelle		27
			3.2.2 Un résultat général		28
3.3		Applications		33
3.4		Propriétés qualitatives dans le cas parabolique		34
		3.4.1 Comportement asymptotique		34
		3.4.2 Principe du maximum		35
3.5		Propagation a vitesse infinie		37
3.6		Régularité et effet régularisant		37

Remerceiments
Je remercie dieu de m'avoir donner le courage d'accompli ce travail.
Remerciement profond a mes parents qui m'ont tant donné pour parvenir
au bout de mes études
A l'issus de ce modeste travail, je tiens a exprimer mes sincéres remerciements a :
-Mon encadreur : Mr. Khaled ZENNIR qui m'a porter beaucoup d'aide .
-Au jury qui ont bien voulue examiner mon travail et de l'apprécier a sa juste valeur.
-A tous les enseignants de l'USTO qui ont contribués a ma formation.
-A tous ceux qui m'ont aidé prés et de loin.
-A tous mes soeurs et mon frére et tous mes amis.

iv

Notations

R^N : L'éspace Euclidien avec la norme 1,51 = 1(si, s^2)1 =

X N i=i

)1/2 s^2 : i

a : Domaine borné de R^N.

F, aa : Frontière topologique de a:

x = (xi, x2,
·
·
·,xN) : Point de R^N.

Vu : Gradient de u :

~ 0 ~

u_; :::; @

ru = u :

@x1 @xN

Au : Laplacien de u est l'opérateur du second ordre sur R^N :

₈2 ₈2

Au = div(Vu) = u + ::: + u:

@x² @x²

1 N

q : Conjugué de p, c -- -- d :

1 p

+

1 q

=1.

D(a) : Espace des fonctions différentiable sur a 2 C"°(a) et a support compacte dans a. D'(a) : Espace de distribution .

11x1l_x : La norme de x dans X .

1

p

:

II/11p = (1₁ I f(x)I^P)

W^1,P (a) = {u 2 L^P (a) , Vu 2 (L^P (a))^N1 .

1

P :

= (Ilur_p+ 11Vur_p)

W 1;p

0(a) : La ferméture de D (a) dans W^I-P (a). H : Espace de Hilbert.

H^l₀ = W 1;2

0 :

u : a X R^#177; --> Rⁿ. au

rat = at^.

Opérateur de dérivation : Soit a un ouvert de IV , a 2 IT' et

f : a R,

alors :

f (X) ( a ( a In

D^af(x) = =axr ...axon axi axn f (x)

Si X est un espace de Banach

_I ~

_fT

L1 (0, T ; X) = f : (0, T ) - X est mesurable ; f(t) p X dt < oc :

0

_I )

L°° (0, T ; X) = f : (0, T ) X est mesurable ;ess - sup f(t) p X < oc :

tE(0,T)

Bx = {x E X; x < 1} : La boule unitée.

vi

Résumé

Dans ce mémoire on a essayé d'etudier un probléme d'évolution dans le temps du type parabolique (Chaleur) et de démontrer l'existence et l'unicité de la solution dans et dans ⁿ , les principales propriétés qualitatives de la solution de l'équation de la chaleur dans ⁿ, notamment les propriétés de régularité, comportement asymptotique pour les grandes valeurs de t , le principe maximum, propagation a vitesse infinie.

Introduction

Les équations aux dérivées partielles, qui seront notées en abrégé "EDP" dans la suite, constituent une branche importante des mathématiques appliquées. Elles sont utilisées dans la modélisation de nombreux phénomènes de natures différentes.

Le but principal de résoudre ces équations est d'essayer d'apprendre quelques informations sur le processus physique que l'équation est estimée a modéliser. Il est de base a l'importance des équations différentielles que même les plus simples équations correspondent aux modèles physiques utiles. La compréhension d'un processus complexe par nature, est généralement réalisée en combinant on constituant sur des modèles plus simples et plus fondamentales. Ainsi, une connaissance approfondie de ces modèles, les équations qui les décrivent, et leurs solutions, est la première indispensable étape vers la solution des problèmes plus complexes et réalistes.

Les équations aux dérivées partielles avec le temps t en tant qu'une des variables indépendantes forment des équations d'évolutions en temps (Hyperboliques et paraboliques), elles résultent non seulement de beaucoup de champs des mathématiques, mais également d'autres branches de la science telles que la physique, la mécanique et la science des matériaux. Par exemple, équations de Navier-Stokes et d'Euler de la mécanique liquide, équations de réaction-diffusion des transferts thermiques et sciences biologiques, Klein....

Dans ce mémoire nous allons montré quelques éclairassions sur l'équation de chaleur (Chapitre 3), on nous allons commencé le travail par une discussion et développement du cours pédagogique des EDPs pour le parcours de licence en mathématique appliquées (Chapitre 2 - équation de la diffusion dans ), et nous allons essayé de le compléter, pour nous nous retrouver dans une étude approfondie d'un problème mathématique relativement simple, c'est le prolongement en dimension ii dans le problème pour les conditions aux limites de Dirichlet suivante :

8 <>> >>:

@ u(x; t) - Iu(x, t) = f(x, t), avec x E ~ @t u(x, t) = 0, avec x E %1 u(x, 0) = u0(x); avec x E ~

(1)

Le problème aux limites (1) modélise l'évolution de la températeure u (x; t) dans un corps ther-
miquement conducteur qui occupe de domaine ~. La distribution de température initiale, a t = 0

est donnée par la fonction u0. Sur le bord 9 du corps considéré, la températur est maintenue a une valeur constante, utilisée comme valeur de référence (c'est la condition de Dirichlet homogène u (x; t) = 0sur 9 x 1+). Les sources de chaleur sont modélisées par la fonction donnée f = f (x, t). Notons que les variables x 2 ett 2 1+ jouent des roles très différents dans(1) puisqu'il s'agit d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre en t et du deuxième ordre en x (le Laplacien ne porte que sur la variable spatiale).

Indiquons qu'il existe d'autres origines physiques du système (1). Par exemple, (1)modélise aussi la diffusion d'une concentration u dans le domaine , ou bien l'évolution du champ de pression u d'une fluide s'écoulant dans un milieu poreux (système de Darcy), ou encore la loi d'un mouvement brownien dans le domaine . On peut, bien sür, associer d'autres conditions aux limites a l'équation de la chaleur (par exemple, une condition de Neumann homogène si la paroi du corps est adiabatique).

Une première généralisation évidente de l'équation de la chaleur s'obtient lorsque l'on remplace le Laplacien par un opérateur elliptique du deuxième ordre plus générale cette généralisation se roncentré, par exemple, si on étudie le propagation de la chaleur dans un matériau non homogène ou en présence d'un effet convectif

Il y a d'autres problèmes du même type, mais dans des conditions diffi ciles comme le cas non linéaire on au moine semi linéaire en prenant en considération les effets d'amortissement. Laissons ce projet devrait être achevé en master en utilisant les connaissances acquises est en mesure d'aller plus loin que ce la.

Plan de mémoire

On a structuré ce mémoire en trois grands chapitres :

Chapitre0l :

Dans ce premier chapitre on rassemble toutes les notions et résultats de base que nous utiliserons par la suite. Ces notions et ces résultats représentent un outil important pour l'étude de ce type de problème.

Chapitre02 :

Ce chapitre traite l'une des premières équations aux dérivées partielles mises en évidence (Equation de la diffusion dans 1).

Chapitre03 :

Dans ce dernier chapitre on traite un exemple un peut plus compliqué de problèmes d'évolutions de type parabolique. Il s'agit d'une équation de chaleur dans 1n.

Dans ce chapitre, nous allons rappeler les notions essentielles, de même quelques résultats fondamentaux, qui concernent les espaces métriques, topologiques, les espaces I^I (~) , les espaces de Sobolev, espaces fonctionnelles et d'autres théorèmes classiques. Ces notions et ces résultats représentent un outil utile pour l'étude de ce type de problème.

1.1 Qu'est qu'une equation diiferentielle partielle ?

1.1.1 Equation differentielle ordinaire (EDO)

Definition 1.1.1 Une équation diférentielles ordinaires est une relation du type

F (X, U(X), t^il(X), u^"(x), ..., u⁽ⁿ⁾(x) = 0,

entre la variable x 2 R et les dérivées de la fonction inconnue u au point x. La fonction F est une fonction de plusieurs variables (x, y) i--p F(x, y) ou x est dans IR et y = (yo, .., y_n) est dans 118ⁿ⁺¹.

1.1.2 Equation aux derivees partielles (EDP)

L'étude d'une équation aux dérivées partielles est de mettre en jeu des fonctions de plusieurs variables

(x,y,---) '--' u(x,y,---)-

Definition 1.1.2 Une EDP est alors une relation entre les variables et les dérivées partielles de u. Definition 1.1.3 Soit Q = ]a, b[ x ]c, d[ dans 118², et

f : Q c IR.² --> I[8

une application. Soit (x0, yo) 2 Q, et

f1 :]ci;b[ -->I18

l'application définie par

fi (x) = f (x, yo) :

On dit que f admet une dérivée partielle par rapport a la première variable en (x0, yo) lorsque fi est dérivable en x0. On note Oif (x0, yo) ou encore O_x f (xo, yo) le nombre II. (xo) .

De la même manière, si elle existe, on note (92f (x0, yo) la dérivée partielle de f par rapport a la deuxième variable en (x0, yo) :

1.1.3 Classification des EDPs lineaires du second ordre

Ce paragraphe est destiné a distinguer trois types d'équations, qui se révèlent différentes tant du points de vue mathématique (propriétés des solutions, méthodes de démonstration) que physique. Etudions le cas des EDP dépendant de deux variables réelles.

Definition 1.1.4 L'équation aux dérivées partielles donnée :

0²u 02u 02

a u 0u 0u

0x^{2 +b}0x0y +c0y2 + a0x + /3_0y + -yu = F(x,y) (1.1)

est dite de type :

- Hyperbolique lorsque

A = b² -- 4ac > 0,

- Parabolique lorsque

A = b² -- 4ac = 0,

- Elliptique lorsque

A = b² -- 4ac < 0,

oft A = b² -- 4ac est la discriminant de l'équation (1.1).

1.1.4 Probleme bien pose :

Considérons les équations différentielles linéaires homogènes a coefficients constants. Pour l'équation

a_nu⁽ⁿ⁾ (x) + a_n_1u^(n-1) (x) + .. + a1u^' (x) + .. + a_ou (x) = 0, (1.2)

on rappellera plus loin que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension n : la solution générale dépend de n constantes (n est l'ordre de l''equation). On obtient une solution unique lorsque l'on fixe n conditions supplémentaires du type

u(0) = y0, u0(0) = y1, .., u^(n-1)(0) = yn-1 (1.3)

oil y0;y1, .., yn-1 sont n réel fixés.

Le problème qui consiste a résoudre l'équation(1.2) sous la condition(1.3) porte le nom de problème de Cauchy. Cependant lorsque les EDP proviennent de la modélisation d'un phénomène du monde réel, les solutions intéressantes sont celles qui satisfont certaines conditions supplémentaires.

Il y a bien d'autres sortes de contraintes que l'on rencontre très souvent, par exemple :

- Des conditions aux bords

On connait l'état du système que l'on veut d'écrire aux bords

- Des conditions de régularité :

Les solutions doivent etre suf fisamment différentiables, au moins pour que l'équation ait un sens.

- Des conditions initiales

On connait l'état du système que l'on veut d'écrire a l'instant t = 0 et il s'agit de décrire son évolution dans le temps.

- Des conditions de comportement a l'infini.

- Des conditions de stationnarite.

Definition 1.1.5 Soit f une fonction définie sur R, 27--périodique et continue par morceaux. On

appelle série de Fourier de f la série trigonométrique dont les coefficients (appelés coefficients de Fourier de f ) vérifient :

a. Cn = 2ir 1					2ir f 0			f (x) e^-inxdx Vn E Z
b. a0 = 12i			2ir f 0				f (x) dx
1 an = ir	2ir f 0			f (x) cos nx dx Vn > 1
c. bn = 1i		2ir f 0				f (x) sin nx dx Vn > 1

Definition 1.1.6 La formule sommative de poisson s'obtient facilement par développement en série de Fourier de la fonction indéfiniment dérivable et 2l--périodique définie avec a > 0 par :

0 (u) =

+ 1 E n=--c

e(-a(u-2n0^2)

puisque la fonction 0 est développable en série de Fourier on obtient la formule sommative de poisson suivant :

+ 1 E n=--c

e(-a(u-2n0^2)

X+ 1 = \/ ' 4al2 (_ k271-2 ) i ik7ru \ e 4a1^2 ek / i k=--c

et la forme utilisée dans le calcul mené plus haut en résulte en faisant u = x -- y et a = ¹₄u^pt. Soit V un espace de Hilbert

Definition 1.1.7 Soit A une application linéaire continue de V dans V . On appelle valeur propre de A un réel A E R tel qu'il existe un élément non nul x E V qui vérifie

Ax = Ax.

Un tel vecte3ur x est appelé vecteur propre associé a la valeur propre A.

Theoreme 1.1.1 Soit A une application linéaire continue de V dans V , il existe une unique application linéaire continue A^*de V dans V, dit adjoint , telle que

(Ax, y) = (x, A^*y) Vx.y E V

Definition 1.1.8 Soit A une application linéaire continue de V dans V. On dit que A est autoadjointe si elle coincide avec son adjoint c'est-d-dire que

A* = A

Definition 1.1.9 Oit A une application linéaire continue de V dans V. On dit que A est définie positive si

(Ax; x) > 0 pour tout x E V non nul

Definition 1.1.10 On considere une forme bilinéaire a (., .) symétrique continue et coercive, c'esta-dire que que a (w, v) = a (v, co), et il existe M > 0 et v > 0 tels que

1a (w, v)1 < M IlcIl_i IlvIl_i, pour tout w, I/ E V

et

a (v, v) > v IlvIl²_V pour tout v E V.

nous introduisons nouvel ingrédient, a Nous faisons l'hypothese fondamentale suivante

· (1.4)

₍V C H avec injection compacte V est dense dans H

Injection compacte : veut dire précisément que l'opérateur d'inclusion I qui a v E V associe I v = v E H est continu et compact . Autrement dit, l'hypothese (1.4) implique que tout suite borné de V on peut extraire une sous-suite convergente dans H. Les espace H et V ne partagent pas le méme produit scalaire . Nous considérons le probleme variationel de valeurs propres suivant : trouver A E IR et u E V \ {0} tels que

a (u, v) = A (u, v)_H Vv E V. (1.5)

On dira que est une valeur propre du probleme variationel (1.5) et que u est le vecteur propre associé

Théoreme 1.1.2 Soit V et H deux espace de Hilbert réels de dimension infinie. On suppose que V C H avec injection compact et que V est dence dans H. Soit a (., .) une forme bilinéaire symétrique continue et coercive sur V . Alors les valeur propre de(1.5) forment une suite croissante (Ak)k>i de réels positifs qui tend vers l'infini, et il existe une base hilbertienne de H (uk)_k>i de vecteurs associés, c'est-d-dire que

uk E V, et a (uk; v) = Ak (Uk₎v)₁ V7) E V.

de plus _{(Uk\\/Ak)k>1est} une base hilbertienne de V pour le produit scalaire a (., .)

Théorème 1.1.3 Soit V un espace de Hilbert réel de dimension infinie et A une application linéaire continue, définie positive , auto-adjoint , compact de V dans V Alors les valeurs propres de A forment une suite _(Ak)k>lde réel strictement positive qui tend vers 0, et il existe une base hilbertienne (uk)k>1 de V formée de vecteurs propres de A avec

Auk = Akuk pour k ~ 1

Remarque 1.1.1 La décomposition spectrale de tout élément v 2 V

v = _X+ 1 (v; uk) uk avec kvk² = _X+ 1 jhv; ukij²

k=1 k=1

Théorème 1.1.4 (Fubini) On suppose que F 2 L^1 ( 1 x 2). Alors, pour presque tout x 2 i, fF (x, y) 2 L1 y ( 2) et

F (x,y)dy 2 L1 x ( 1)

~2

De même, pour presque tout y 2 2,

fF (x, y) 2 L1 x ( i) et

F (x,y)dx 2 L1 y ( 2)

~1

De plus on a

_Z fdx fF (x, y) dy = fdy

~1 ~2 ~2 ~1

ffF (x, y) dx =

(1iX12)

F (x,y)dxdy

Théorème 1.1.5 (de Rellich)

Si est un ouvert borné régulier de classe C¹, alors de toute suite bornée de H¹ ( ) on peut extraire

une sous suite convergente dans L² ( ) (on dit que l'injection canonique de H¹ ( ) dans L² ( ) est compacte).

1.2 Quelques notions autour des dérivées partielles

1.2.1 Dérivées directionnelles :

Soit

f : -* R

une application, (x0, yo) un point de et u = (ui, u2) un vecteur de R².

On appelle dérivée directionnelle de f en (x0, yo) dans la direction de u la dérivée en s = 0, si elle existe, de la fonction d'une variable

f_u : s --> f(xo, yo) + su).

On la note alors

auf(xo, yo).

1.2.2 Les applications de classe Ck

Soit S2 un ouvert non vide de Rⁿ, pour tout

k E N = N U {-oo},

on définit l'espace C^k(Q) comme suit :

C^k(Q)={f : 5 ----> 1 ou C : D^af E C(Q),Va E Nⁿ; < k} .

Autrement dit : une fonction

f : S2--> R_;

est dite de classe C^k sur S2 si toute ses dérivées partielles jusqu'a l'ordre k existent et sont continues.
C^k(Q)=f:S2 ----> 1<8

oft C : f E C^k(Q), et toutes les dérivées partielles l'ordre k se prolonge continument a Q.

^C°"⁾ = krOCk (Q)

et

^C°"⁾ = k^rO^{Ck (Q).}

Théorème 1.2.1 Si f est de classe C² dans Q, alors on a :

ayf =@2 _yxf_; dans SI

On note aussi les dérivées secondes

82!			82!
,9x^2 '		Oxoy ' :::

1.3 Espaces métriques, espaces topologiques

1.3.1 Norme, distance, topologie

Définition 1.3.1 Soit X un espace vectoriel réel, une norme sur X est une application x '~p kxk de X dans II1⁺, telle que :

(N1) kxk = 0 , x = 0.

(N2) AxM = jAj kxk , Vx 2 X, VA 2 II1.

(N3) x + yM < x + MyM ,Vx,y 2 X (inégalité triangulaire ).

Définition 1.3.2 Soit X un espace vectoriel réel, un espace normé est un couple (X, k.k) , oh k.k est une norme sur X.

Notation 1.3.1 On note parkxk_X la norme de x dans X.

Définition 1.3.3 Soit X un ensemble non vide. Une distance sur X est une application

(x,y) i~p d(x,y)

de X x X dans II1⁺ telle que :

(131) d (x,y) = 0 '~i x = y.

(132) d (x,y) = d (y,x) ,Vx,y 2 X.

(133) d (x, y) < d (x, z) +d (y, z), Vx, y, z 2 X (inégalité triangulaire).

Définition 1.3.4 Un espace métrique est un couple (X, d), ot d est une distance sur X.

Définition 1.3.5 Soit (X, d) un espace métrique. Pour x 2 X et r > 0, on définit :

1- La boule ouverte de centre x et de rayon r est :

B (x,r) = {y 2 X, d(y,x) < r}. (1.6)

2- La boule fermée de centre x et rayon r est :

B (x,r) = {y 2 X, d (y,x) ~ r}. (1.7)

3- La sphere de centre x et rayon r est :

S (x,r) = {y 2 X, d(y,x) = r}. (1.8)

Definition 1.3.6 Soit (X, d) un espace métrique. Par définition, une partie U de X un ouvert si pour tout x 2 U, il existe un r > 0 tel que B(x, r) c U.

Definition 1.3.7 Soit (X, d)un espace métrique. Un ensemble F C X est fermé si son complémentaire F^C est ouvert.

Proposition 1.3.1 On a

- Pour tout x 2 X et r > 0, B(x;r)est un ouvert.

- Si U est un ouvert, Vi 2 I, alors U i El

U est un ouvert.

- Soit ii 2 N , si U est un ouvert, i = 1, .., ii, alors _In U est un ouvert.

i=1

Proposition 1.3.2 On a

- Pour tout x 2 Xet tout r > 0, B(x; r) est un fermé.

- Soit ii 2 N , si Fi un fermé, i = 1, .., ii, alors _Sn Fi est un fermé.

i =1

- Si Fi est un fermé, Vi 2 I, alors fl iEI

Fi est un fermé .

Definition 1.3.8 Soient E un ensemble quelconque et P (E) la famille de toutes les parties de E . On dit qu'une sous famille r de P (E) est une topologie sur E si elle satisfait les trois conditions suivantes :

(A1) E 2 T, 0 2 r.

(A2) -i- est stable par réunion (fini oIl non) c'est-à-dire :

	U 8 (cj), El c r :	~i 2 ji-. (1.9)
.	i El
(A3) -r est stable par intersection finie c'est-à-dire : fl 8 (~j)i 2J C r : j EJ			~i 2 ji-. (1.10)

Le couple (E, -r) s'appelle espace topologique. les éléments de r sont dits ensembles ouverts de(E, r).

Definition 1.3.9 On appelle voisinage d'un point x de l'espace topologique E tout sous ensemble de E contenant un ouvert contenant x et noté V (x) .

Definition 1.3.10 On appelle intérieur d'un sous ensemble A de E , la réunion de tous les ouverts contenus dans A, autrement dit le plus grand ouvert contenu dans A et noté A.

Definition 1.3.11 On appelle adhérence d'un sous ensemble A de E , l'intersection de tous les fermés qui contient A, autrement dit le plus petit fermé qui contient A et noté A.

Definition 1.3.12 La frontiêre d'un ensemble A de E est l'ensemble des points x dont tout voisinage V contient au moins un point de A et un point de A^c. C'est-à-dire

Fr (A) = A n A^c.

Definition 1.3.13 L'extérieur d'un sous ensemble A qui noté E (A) est définie par

E_x(A) = (A~^c .

1.3.2 Continuité, complétude, compacité

Définition 1.3.14 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques. Une application

f : X --- Y

est continue au point a E X, si pour tout € > 0, il existe 8 > 0 tel que

D (f (x),f (y)) < (1.11)

des que

d (x,y) < 8 (1.12)

On dit aussi que a est un point de continuité de f.

f est continue si f est continue en tout point de X.

L'ensemble des fonctions continues de (X, d) vers (Y, D) est noté C ((X, d) , (Y, D)) ofi tout simplement C (X, Y ).

Proposition 1.3.3 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques et

f : (X,d) --- (Y, D).

Une application alors f est continue en point a E X si et seulement si pour toute suite (U_n) converge vers a donc la suite f (U_n) converge vers f (a).

Théorème 1.3.1 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques et

f : (X,d) -- (Y, D).

Une application, alors les assertions suivantes sont équivalentes :

i) f est continue sur X

ii) L'image réciproque par f de tout ouvert de Y est ouverte dans X.

iii) L'image réciproque par f de tout fermé de Y est fermée dans X.

Proposition 1.3.4 Soient (X,k:k_X) , (Y,k:k_Y ) deux espaces normés, et f application linéaire

f : (X,k:k_X) ~! (Y , k:k_Y )

Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) f est continue.

b) f est continue en 0.

c) il existe c > 0, tel que

kf (x)k, cMxM_x ,Vx 2 X,

si de plus est de dimension finie, alors toute application linéaire

( )

f : (x, kk_x) ~! x, kk_y

est continue.

Definition 1.3.15 Soit (X, d) un espace métrique, une suite (x_n) 2 X est de Cauchy si et seulement si pour tout € > 0, il existe m0 > 0, tel que d (x_n, X_m) < des que ii, m ~ m0.

Proposition 1.3.5 On a

a) Si (x_n) est une suite convergente alors (x_n) est une suite de Cauchy .

b) Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence.

c) Une suite de Cauchy converge si et seulement si elle a une valeur d'adhérence.

Definition 1.3.16 Soit (X, d) est un espace métrique.

* Une partie A de X est bornée s'il existe a 2 X et r > 0 tels que

d (a,x) _< r, Vx 2 A.

* Une suite (x_n) C X est bornée s'il existe a 2 X et r > 0 tels que

d (a,x_n) < r, Vm 2 N.

Proposition 1.3.6 Une suite de cauchy est bornée.

Definition 1.3.17 Un espace (X, d) est complet si et seulement si toute suite de Cauchy (x_n) 2 X est convergente.

Soient (X, d) un espace métrique et A C X.

Proposition 1.3.7 On a

a) Si (A, d) un espace complet, alors A est un fermé de X .

b) Si (X, d) un espace complet et A est un fermé de X, alors (A, d) est complet.

Corollaire 1.3.1 Dans un espace métrique A, A complet () A est fermé. Definition 1.3.18 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques et

f : X ~- Y

est bornée si son image f (x) est bornée.

Cb (X, Y ) = {f : (X, d) - (Y, D) , f est continue et bornée} Proposition 1.3.8 Si (Y, D) un espace complet, alors Cb (X, Y ) est un espace complet.

Definition 1.3.19 Un espace (X, d) est compact si et seulement si pour tout recouvrement ouvert (Ui)i 2I de X,

(i.e.Uiouvert et X = Ui _2iUi ), on peut extraire un sous recouvrement finie c'est-à-dire il existe une famille J c I tel que

UX = Uj.

j EJ

Corollaire 1.3.2 Un espace (X, d) est compact si et seulement si pour tout famille fermé (F j)j 2I de X, telle que

n i El

Fi = ?,

il existe une famille finie J c I , telle que

flj EJFj = ø.

Definition 1.3.20 Un espace métrique (X, d) est compact si et seulement si toute suite (x_n) c X admet une sous suite convergente.

Proposition 1.3.9 Soit (X, d) un espace compact, et A c X, alors A est compact si et seulement si A fermé dans X.

Proposition 1.3.10 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métrique, f est une application continue de X dans Y . Si X est compact, alors f (X) est un compact.

Proposition 1.3.11 Un espace compact est bornée et complet.

Definition 1.3.21 Soit (X, d) un espace métrique, une partie A de X est relativement compact si et seulement si toute suite de A admet une valeur d'adhérence dans X.

1.3.3 Espaces de Banach et ses propriétés

Définition 1.3.22 Un espace (X, k:k) est de Banach si et seulement si X est complet pour la distance associe a k:k.

Proposition 1.3.12 Si (X, d) est un espace métrique et (E, k:k_E) est un espace de Banach, alors Cb (X, Y ) est un espace de Banach.

Proposition 1.3.13 Si (X, k:k_X) est un espace normé et (Y, k:k_Y ) un espace de Banach, alors L (X, Y ) est un espace de Banach.

1.4 Espaces fonctionnelle

1.4.1 Les espaces Lp

On donne ici quelques définitions et propriétés élémentaires.

Définition 1.4.1 Soit un ouvert de 1ⁿ et 1 < P < oc, on définit L (~) un espace de Lebesgue par:

LP (~) =

8 < :

ff : ~ ~! 1^n, f est mesurable et ~

jf (x) ^P dx < 1

9 = ;

: (1.13)

pour P = 1 et 0 < P < 1 , on définit f par:

0 j Mf M = @jf (x) ^P dx ~

1 P

:

(1.14)

Si P = oc, nous avons :

L°° (~) = ₍f : ~ ~! 1, f

)

est mesurable, il existe une constante C telle que jf (x)j ~ C p.p sur l

:

On note

kfk°° = inf {c, jf (x)j ~ c}

Théorème 1.4.1 (Inégalité de Holder).

Soit f 2 L" (~) et g 2 L" (~) avec 1 P 1 ,alors f g 2 L¹ (~) et

_I jf gj ~ Mf M MgM_q :

Corollaire 1.4.1 (Inégalité de Schwartz)

Soit f et g deux fonctions mesurable de X dans [0, +oo] . Alors :

I If gl Vf2 V_g2

Théorème 1.4.2 (Inégalité de Minkowski)

Soit pE 11, +o[, et soient f et g des fonction mesurables de x dans [0, +oo] . Alors :

I ((f + 03)' < (I fP)

1 P

#177; (IgP)

1 P

Théorème 1.4.3 (Ficher-Riesz)

L^P est un espace de Banach pour tout 1 < p < 1

Théorème 1.4.4 L^P est un espace vectoriel et 11.16 et une norme pour tout 1 < p < 00.

=

1
p

+

1
q

-- 1 > 0. Alors

Théorème 1.4.5 (Inégalité de Young)

Soient f 2 L^P (118) et g 2 L^q (118) avec 1 < p < 1 ,1 < q < 1 et 1

f *g 2 L^r (118) et 1f *gh,r(R) Mf IILP(R) Iglyi(R) .

Lemme 1.4.1 (de Gronwall)

Soient :

0 une fonction 2 L°° (0, T ), 0 (t) > 0, p.p,t 2 [0, T ]. ,u une fonction 2 L¹ (0, T ) , ,u(t) > 0, p.p, t 2 [0, T ]. On suppose

0 (t) <

t I 0

,u (s) 0 (s) ds + C, p.p.t 2 [0, T ] . (C = constante) .

Alors

t

0 (t) < C exp (I,u (s) ds) , p.p. t 2 [0, T ] .

0

On désigne par (f, g) le produit scalaire dans L² (a), i.e.

(f,g) =I

f (x) g (x) dx,

et également le produit de dualité entre f 2 D'(1) (espace des distributions sur a) et g 2 D(1) (espace des fonctions C 'sur a et a support compact dans a).

Théorème 1.4.6 L^P (Q) est un espace de Banach muni de la norme 11.11p, pour tout 1 < P < 1

.

1.4.2 Espaces de Sobolev

On introduit l'espace H ^m (a) comme étant l'espace des fonctions v 2 L² (a) dont toutes les dérivées partielles d'ordre inférieure ou égale m -prises au sens des distributions sont dans L² (a). Ces espaces jouent dans analyse des équations aux dérivées partielles un role fondamental.

Les espaces de Sobolev d'ordre m : [ H ^m (a)]

Définition 1.4.2 Soit a est un ouvert non vide de Rⁿ, et m 2 N. On appelle espace de sobolev d'ordre m sur a l'espace

Hm (a) =

8 <> >:

u 2 L^2(a) : D^au 2 L^2(a) # calcules au sens des distributions

,Va 2 N^n; ja < m

9 >= ;>

Remarque 1.4.1 Pour m = 1,

H1 (a) =

8 <>>> >>>:

@u u 2 L^2(a) : 2 L^2(a) @xi # calcules au sens des distributions

,1 i ~ m

9 >>>= ;>> >

et la norme associée a ce produit scalaire

0 1 f @ kuMH m(~) = D^au (x)j^2 dx A jaj<mf

1 2

0 1 @ X = MD^auM^2 A 2 jj~m

1 2

: (1.15)

Définition 1.4.3 On introduit ensuite :

H1 ₀(a) = adhérence de D(a) dans H ¹ (a)

= sous-espace deH ¹ (a) des fonction "nulles" sur [1 = @a: (1.16)

Théorème 1.4.7 (Formule de Green) pour tout u 2 H ² (a) , v 2 H ¹ (a) on a

f-

ZLuv dx = ~

ZVu Vv dx - ~

@u v dO (1.17) @~

@u

ot @~

est la dérivée normale de u a 11' dirigée vers l'extérieur .

Theoreme 1.4.8 (de trace)

Soit Q un ouvert borné régulier de classe C¹, ou bien Q = 11:k. On définit l'application trace 7o :

H¹ (Q) n C (Q) -p L² (0Q) n C (0Q) v --> 7₀ (v) = v Ian .

Cette applicatipon 7o se prolonge par continiuité en une application linéaire continue de H¹ (Q) dansL² (0Q) , notée encore 7₀. En particulier, il existe une constante C > 0 telle que, pour toute fonction v 2 H¹ (Q), on a

IlvIlL2(an) _C C IvIH¹(n)

Theoreme 1.4.9 Si Q est une ouvert borné régulier de classe C", ou bien si Q = 118_^1`_F^T, alors Cr (Q) est dense dans H^m (Q)

Theoreme 1.4.10 Si Q est un ouvert régulier de classe C¹, et si m > N2 , alors H^m (Q) est un sousespace de l'ensemble C (Q) des fonction continues sur Q.

1.4.3 Les espaces LP(0, T, X)

Definition 1.4.4 Soit X un espace de Banach, on désigne par L^P (0, T, X) l'espace du fonction

mesurable :

f : ]0,T [ 1-- X

(1.18)

t' f (t)

U

tel que

)1

Ilf (t)11¹;dt ^P = 1f1LP (0,T,X) < o, (1.19)

pour tout 1 < P < 1

0f

Lemme 1.4.2 Soit f 2 L^P (0, T, X) et 2 L^P (0, T, X), pour 1 < P < oo, nous avons f

continue de [0, T ] dans X , c'est-d-dire f EC ¹ (0, T, X) .

1.4.4 Espace de Hilbert

Définition 1.4.5 Est un un espace vectoriel X muni d'un produit scalaire (u, v) et qui est complet

pour la norme (u, v)

1 2

dans tout la suite X désigne un espace de Hilbert

Proposition 1.4.1 X est uniformément convexe et donc réfléxif.

Définition 1.4.6 On appelle base hilbertienne une suite(e₇₁)_71>1d'éléments de X tels que

je71 = 1 Vm, he_m; e71) = 0 Vim; ii; im =6 n_;

l'espace vectoriel engendré par les _(e71)71>1 est dense dans X

Théorème 1.4.11 Tout espace Hilbert séparable admet une base hilbertienne.

Proposition 1.4.2 Théorême 1.4.12 Soit X est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
(,). Soit _(e71)71>1 une base Hilbertienne de X. Pour tout élément x de X, il existe une unique suite

(x71)71>1 de réels telle que la somme partielle _Pp x71e71 converge vers x quand p tend vers l'infini, et

n=1

celle suite est définie par x71 = (x, e71), de plus on a Xkxk^2 = (x; i) = 71>1 On écrit alors

jhx; enij^2 :

Définition 1.4.7 - Théorême 1.4.13 Proposition 1.4.3

Xx = 71>1

(x; e71) e71.

Chapitre 2

Equation de la diffusion (Dans R)

On cherche une fonction u(t, x) du point d'abscisse x, au temps t, u E C² ([0,1] x [0, T]) solution

₈

<>>>

>>>:

du problème

a 82 u(x; t) - 'yax2 L(x, t) = 0, avec x E [0, 1] @tc u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x,0) = f (x), avec x E [0,1]

(2.1)

Les constantes C et 'y désignent la capacité et la conductivité thermiques d'une barre.

2.1 Unicité d'une éventuelle solution

Il y a deux méthodes pour montrer l'unicité de solution, on suppose donc que l'on a deux solutions uiet u2 de l'équation de la chaleur, vérifiant la même condition initiale et les mêmes conditions aux limites.

On pose alors U = ui -- u2 et l'on a donc :

U (X, 0) = f (x) , (2.2)

et

U(0, t) = U(/,t) = 0. (2.3)

Première méthode

On posera

!2 = 7

C'

on multipliant (2.1) par u :

aU8²u

(X; t) U (X; t) = (.02Ox2 (X; t) U (X; t) ,

at

et en l'intégrant par rapport a x sur [0,11 :

i I 0

@U@t (x't) U (x, t) dx = co^2

i I 0

a^2 0x2 (x, t) U (x, t) dx.

Le premier membre apparait comme une dérivée et l'on peut intégrer par parties le second membre en tenant compte du fait que U (0, t) = U(1, t) = 0, ce qui donne :

1 2	a at	i I 0	U^2 (x, t) dx =--cw^t			i I 0	(^au (x' t))^2 dx < 0. ox
Cela prouve que la fonction t --p				1 f 0	U^2 (x, t) dx est décroissante.

Comme elle est nulle en 0 et visiblement a valeurs positives, elle est donc nulle, ce qui implique la nullité de U et l'égalité ui = u2.

Seconde méthode

On va utiliser ici le principe du maximum.

Considérons un nombre réel strictement positif E et la fonction :

u,(x,t)=u(x,t)+Ex²,

qui verifie :

2 2

aU_E

(X_' t) -- W2 8x(x1 t) at = ^au (x₁ t) w²⁽⁹₈

ot 8x2 (X_' t) -- 2EW² = --2EW².

Sur le compact [0, /] x [0, T] on T > 0, elle admet un maximum, atteint en un point (x0, to) dont nous allons montrer qu'il est tel que :

xo = 0 ou / avec 0 < to < T

ou tel que :

to = 0 avec 0 < xo < 1.

Si tel n'est pas le cas, on a en effet :

0 < xo <1 et 0 < to < T,

et la fonction x -p U_E (x, to) atteint son maximum en xo sur l'intervalle ouvert 10, l[ de sorte que l'on a les deux relations :

au_E

at ^(x°' ^t°) = °' a²u_E

axe (xo, to) < O.

La fonction t -p U_E(x0,t) atteint son maximum en to sur l'intervalle 10, T[ de sorte que, en considerant sa derivee en to comme sa derivee 6 gauche, on a par definition :

@U"

@t (xo, to) > O.

On alors, combinant ces deux inegalites :

aot UE 82(4

(x0, to) -- w2 (x0, to = --2E(.0² > 0.

Ox²

Cette contradiction prouve le resultat annonce, 6 savoir que U_E atteint son maximum necessairement sur l'un des trois bords inferieurs du rectangle [0, /]x[0, 7¹]. Comme on sait que U_E (x, t) = U (x, t)+ Ex² et que U est nulle sur les trois bords inferieurs de ce rectangle, ce maximum de U_E est donc inferieur ou egale 6 El^l.

Il en resulte que le maximum de U sur ce meme rectangle, qui est inferieur ou egal 6 celui de U_E est lui -meme inferieur 6 E/². Comme E est arbitraire, ce maximum de U est donc negatif et U est donc 6 valeurs negatives sur le rectangle [0, /] x [0, 7¹] .

Par le même raisonnement, quitte a remplacer U par --U, on voit que --U est aussi a valeurs négatives, et donc U a valeurs positives, sur ce même rectangle.

Donc pour tout T ~ 0, U est nulle sur [0, l] x [0, T], donc sur [0, l] x [0, +oc] et l'on a bien l'égalité U1 = U2.

2.2 Existence d'une solution par la méthode de séparation des variables

On commence par rechercher des solutions multiplicatives non nulles de la forme

(x,t) - U (x)V (t). (2.4)

Ici, de telles solutions vérifient donc :

U (x) V ' (t) = w²U^'' (x) V (t).

Puisque l'on recherche des solutions non nulles, il existe a priori des nombres réels x0 et t0 pour les quels :

U (xo) =6 0 et V (t0) =6 0

On en déduit, quitte a fixer x = x0, puis t = t0, l'existence de constantes Aet telles que l'on ait pour t ~ 0 et 0 x l

U'' (x) = AU (x) (2.5)

V ' (t) = V (t)

En reportant réciproquement dans l'équation, on voit que, en fait :

,i = w²A

On a donc

V ' (x)

V (t)

= w²A (2.6)

et pour tenir compte des conditions aux limites, il faut enfin bien sür que :

U (0) = U (l) = 0

Cela ramène a la résolution de deux équations différentielles ordinaires, une premier ordre et une du second ordre :

Pour (2.5)

U00 (x) U (x)

= A

_p

r2 = ~ == = ~ j~j:

Si A > 0, on pose A = w² = r² ==' r = #177;w, alors :

U (x) = Cle^wx + C2e^~wx. D'après les conditions aux limites on a :

U_x (0,t) = 0

=)

U' (0) = 0

=) cl - c2 = 0,

donc :

U (x) = Ci (e^wx + ewx),

et

U' (1) = wCi (eu)l + e_u)l) = 0 == cl = 0

car

w (eu)t + e_u)t) =6 0

Dans ce cas il y a une infinité de solution

Si A = 0 == r = 0, alors on a :

U00 (x) = 0 =) U^' (x) = a;

d'ofi :

U (x) = ax + b, U' (0) = 0 a = O.

Alors il n'y a pas de solution. Si

A < 0, A = --w² = r²

r = #177;iVIA1

d'ofi :

U (x) = C3 cos (VIA1X) + C4 sin (VIAlx)

U' (x) = --VIA1C3 sin (VI)lx) + VINCI cos (VIAlx) Or l'introduction aux conditions aux limites :

{

U (0, t) = U (0) V (t) = 0 U (1, t) = U (1) V (t) = 0

=)

f u (o) = 0

V (1) = 0

U' (0) = --VIA1C3 sin (0) + VIA1C4 cos (0) = C4 = 0

U' (1) = --VIA1C3 sin (\/1A1/) = 0 = sin (VIAll) = 0,

donc :

VIA1/ = rur A_ in7r 2

/ ) '

d'od :

n ~

U (x) = C3 sin l x

:

Pour (2.6)

17" (t) - w²AV (t) = 0

V (t) V (t)

= w^2A = In (V (t)) = c^2At + k

V (t) = C5e^2m, V (0) = w²AC5e^A° = f (x)

D'ofi

U (x; t) = C3 sin (^n/^7 x ) (C5e^2A1 =

+ 00 E n=1

. (wir _1 con^71- \^24- Cn sin x) e k^i i '.

La condition de Cauchy portant sur u(x, 0) sera formellement vérifiée en choisissant les coefficients 1_n tels que :

f (x) =

00 E n=1

rur Cn sin ( 1 x) .

Un tel développement est celui d'une fonction impaire et 2/--périodique sur R, que l'on obtient en prolongeant la fonction f par imparité sur [-1, /], puis par 2/-périodicité.

La fonction f ainsi prolongée est clairement continue, de classe C¹ par morceaux sur R. On en déduit qu'elle est développable en série de Fourier et que sa série de Fourier converge normalement vers f.

Si l'on pose donc :

U (x, t) =	+ 00 E n=1	(/ wir i w2n27,2t Cn sin x) e /2 )
2 Cn = /			l I 0	f (y) sin ^wri^Ydy,

la série U est normalement convergente sur [0, 1] x [0, +00] , donc continue, et l'on vérifie aisément, a l'aide des théoremes sur les séries de fonctions, qu'une telle fonction est de classe C² sur [0, 1] x [0, +oo], les dérivations s'effectuant terme a terme, ce qui permet de vérifier que la fonction obtenue, qui vérifie les conditions initiale et aux limites, est solution de l'équation de la chaleur.

On notera que la convergence normale de la série, figurant ci-dessus sous le signe intégral, autorise la permutation des symboles de sommation et d'intégration, de sorte qu'en utilisant les formules de trigonométrie usuelle, on obtient les égalités suivantes :

_Z+ l

~l

f (y)

_X+ 1
n=1

cos

( )

mir (x - y") ~ n2~2w2t

j2

e dy

l

1

U (x,t) = l

_X+ 1
n=1

(

tnn(x-y) - n

_ei e

dy.

)

²~²w²t
j2

1

=

2l

f (y)

_Z+ l

~l

Cela s'écrit également avec la formule sommative de Poisson :

1

U (x, t) =

_X+ 1
n=1

(x-y-2nl)²

e~ 4w²t dy.

_Z+ l f (y)

~l

2w/irt

En effectuant alors, dans chaque intégrale, le changement de variables

z = y - 2ml

on obtient enfin la formule suivante :

+1_Z

~1

2w/irt

1

U (x, t) =

(x-z)²

f (z)e 4w²t dz.

On vérifie directement par dérivation sous l'intégrale que U(x, t) est bien solution de (2.1).

Chapitre 3

Equation de chaleur en ri dimension

(Dans RTh)

Dans ce chapitre, nous étudions une équation de la chaleur pour les conditions aux limites de Dirichlet suivante :

₈

<>>

>>:

(3.1)

@ u(x_; t) - Iu(x, t) = f(x, t), avec x E ~

@t

u(x,t) = O, avec x E 8

u(x, 0) = u0(x)_; avec x E ~

oil est un ouvert borné de Rⁿ de frontière 8, t ~ 0 et i le Laplacien dans Rⁿ et la fonction f(x,t) donnée.

Le problème aux limites (3.1) modélise l'évolution de la températures u(x, t) dans un corps thermiquement conducteur qui occupe le domaine ~. Par exemple, la diffusion d'une concentration u dans le domaine , ou bien l'évolution du champ de pression u d'un fluide s'écoulant dans un milieu poreux, ou encore la loi d'un mouvement brownien dans le domaine ~.

Le plan de ce chapitre est le suivant : -démontrer l'existence et l'unicité de la solution de l'équation de la chaleur en utilisant a nouveau le concept de formulation variationnelle.

-Utiliser pour cela des bases hilbertiennes de fonctions propres.

- Etudier certaines propriétés qualitatives des solutions .

3.1 Modélisation et exemple

Soit Q un ouvert borné de R^N de frontière OQ. Pour des conditions aux limites de Dirichlet ce

₈

<>>

>>:

au
at

~~~~~~~~

.

(3.2)

modéle s'écrit

-- Au = f dans Q x R⁺.

u = 0 sur OQ x R⁺.

u (x; 0 ) = u0 pour x E Q

3.2 Existence et unicité

Cette démarche se décompose en trois étapes : premièrement, établir une formulation variationnelle, deuxièment : démontrer l'existence et l'unicité de la solution de cette formulation en utilisant une base hilbertienne de fonctions propres, troisièmement : montrer que cette solution vérifie bien le problème aux limites étudiés

3.2.1 Formulation variationnelle

L'objectif dans cette action est de transformer l'équation aux dérivées partielles dans(3.2) a une équation différentielle ordinaire.

L'idée est d'écrire une formulation variationnelle qui ressemble a une équation différentielle ordinaire du premier ordre. pour cela nous multiplions l'équation de la chaleur (3.2) par une fonction test v (x) qui ne dépend pas du temps t.

^@u@t

(x; t) v (x) -- Au (x; t).v (x) = f (x; t) v (x)

Nous obtenons donc par intégration par partie simple (sans terme de bord)

I

atat (x; t) v (x) dx + I n

V u (x; t) .V v (x) dx = f n

f (x; t) v (x) dx . (3.3)

Comme ni Q ni v (x) ne varient avec le temps t, on peut réécrire cette équation sous la forme

d dt .1 n

u(x;t)v (x)dx + I n

Vu (x; t) Vv (x) dx = f n

f (x; t) v (x) dx.

Exploitant le fait que les variables x et t jouent des role très diférents, nous séparons ces variables en considérant désormais la solution u (t; x) comme une fonction du temps t a valeurs dans un espace de fonctions définies sur Q (meme chose pour f (t; x)). Plus précisément, si l'on se donne un temps final T > 0 (éventuellement égal a + oo), on considère que u est définie par

u : 10, T[ --p H¹₀ (Q) t --p u (t)

et nous continuerons a noter u (x; t) la valeur u (t) (x). Le choix de l'espaceH¹₀ (a) est évidemment dicté par la nature du probleme et peut varier d'un modele a un autre. En général il s'agit de l'espace qui convient pour la formulation variationnelle du probleme stationnaire associé. De même, le terme source f est désormais considéré comme une fonction de t a valeurs dans L² (a).

On introduit alors le produit scalaire de L² (a) et la forme bilinéaire a (co, t) définis par

(co, v)L2 (SI) = I co (x) v (x) dx et a (co, v) = I Vco (x)Vv (x) dx.

En choisissant la fonction test dans l'espaseH¹₀ (a), on peut alors mettre (3.3)sous la forme d'une sorte d'équation diférentielle ordinaire en t. On obtient ainsi la formulation variationnelle suivante : trouver u (t) fonction de]0, T[ a valeur dans H¹₀ (a) telle que

SI SI

{ _d^d_t (u (t) , v)L2 _(SI) + a (u (t) , v) = (f (t) , v)L2 (SI) Vv E H¹₀ (a) , 0 < t < T ~~~~~ .

(3.4)

u (t = 0) =

u0

Definition 3.2.1 Soit X un espace de Hilbert, ou plus generalement, un espace de Banach defini sur a, typiquement :

X = L² (a) , H¹0 (a) , ou C (a)

Soit un temps finale 0 < T < +oo. Pour un entier k > 0, on note C^k ([0, T] ; X) l'espace des fonctions k fois continument derivables de [0, T]dans X. Si on note MvM_x la norme dans X, il est classique que C^k ([0, T] ; X) est un espace de Banach pour la norme

MvMC^k([0,7];X) =

k ^E (^0<tTT ddnt:11) (t) x) m=0 - -

3.2.2 Un resultat general

Pour démontrer l'existence et l'unisité de la solution de la formulation variationnelle(3.4), nous allons pouvoir ainsi "diagonaliser"l'opérateur Laplacien et nous ramener a la résolution d'une famille de simples d'équations

diférentielles ordinaires du premier ordre. On introduit donc deux espaces de Hilbert V et H tels que V C H avec injection dense et compacte. Typiquement on aura V = H¹₀ (a) et H = L² (a) Theoreme 3.2.1 Soient V et H deux espace de Hilbert tels que V C H avec injection compacte

et V est dense dans H. Soit a (u, v) une forme bilineaire symetrique continue et coercive dans V . Soit un temps final T > 0, une donnée initiale u0 E H et un terme source f E L² (]0 , T[; H). Alors le probleme

f ₁ (u(t),v)_H + a(u(t),v) = (f (t),v)_H Vv E V, 0 <t <T ~~~

u (t = 0) = u0,

(3.5)

aK (t) = a^0 e^-AKt +

Zt 0

K (s) e-Ak(t-8)ds pour t > 0,

(oil l'equation de (3.5) a lieu au sens faible dans ]0, T[ ) a une unique solution u E L² (]0 ,T[;V )n C ([0 , T] ; H) . De plus, il existe une constante C > 0 (qui ne depend que de Q) telle que

MuM L²(]0 ,T[;V ) + MuMC([0 ,T];H) C C (Mu⁰MHMfML²(]0 ,T[;H)) . (3.6)

Remarque 3.2.1 l'estimation d'energie (3.6)prouve que la solution de (3.5) depend continument des donnees ,et donc que le probleme parabolique (3.5)est bien pose au sens de Hadamard

Preuve (du théorème 3.2.1)

Cette démonstration est divisée en deux étapes. Dans une première étape, en supposant l'existence d'une solution u, nous obtenons une formule explicite pour u sous la forme d'une série obtenue par décomposition spectrale des espace H et V . En particulier, cette formule prouve l'unicité de la solution. Dans une deuxième étape, nous démontrons que cette série converge dans les espaces L² (]0 , T[;V ) et C ([0 , T] ; H) , et que la somme est bien une solution de (3.5) .

Etape 1. Supposons que u E L² (]0 , T[;V ) n C ([0 , T] ; H) est solution de (3.5). Les hypothèses permettent d'appliquer le théorème(1.1.2) sur la résolution du problème aux valeurs propres associé a la forme bilinéaire symétrique a (u; v). Par conséquent, il existe une base hilbertienne (uK)K>1de H composée de vecteurs propres de (1.5)

uK E V, et a (uK, v) = AK (uK, v)_H Vv E V.

On définit

aK (t) = (u (t) , _uK),, , a0K = (u0, uK) , OK (t) = (f (t) , _uK)H .

Puisque u E L² (]0 , T[;V ) n C ([0 , T] ; H) et f E L² (]0 , T[; H), on en déduit que a_K (t) E C ([0 , T]) et _K (t) E L² (]0 , T[). Comme _(uK)K>1 est une base hilbertienne de H on a

u (t) = _X+ 1 a_K (t) u_K ,

K=1

et choisissant v = uK dans(3.5) on obtient

K

a

_K (t = 0) =

a

0

_{d a

dt K AKaK = K dans ]0, T[

(3.7)

On vérifie immédiatement que l'unique solution de (3.7) est

ce qui donne une formule explicite pour la solution u (qui est donc unique). Etape 2. Nous allons démontrer que la série

X+ 1 J=1

0 @~^0 Je~~Jt +

I J 0

1 (s) eJ(ts)ds A uj , (3.8)

converge dans L² (]0 , T[; V ) n C ([0 , T] ; H) et que sa somme, notée u (t) est solution de (3.5) . Considérons la somme partielle a l'ordre K de cette série

co^" (t) =

XK J=1

0 @a0Je-AJ ^t +

f1^3.1 0

1 (s) ej(ts)ds A uj . (3.9)

Clairement co^" appartient a C ([0 , T] ; H) puisque chaque a (t) est continu. Montrons que la suite co^" est de Cauchy dans C ([0 , T] ; H). Pour tout T > k , en utilisant le caractere orthonormé des fonctions propres , on a

~ ~ ~!~ (t) ~ !^K (t) ~H <

~ II ~ ~ ~ ~

E 9=K+^1

~0 je~~jtuj

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + ~ ~H ~

E 9=K+^1

Zt 0

~j (s) e^-M^t-8)ds uj

~ ~ ~ ~ ~~.

E ~

9=K+¹

)~~~0 _~~2 _e2jt 3

_{0 0}

2 _X

+ @ @

9=K+¹

1

₁ 21 2

~j (s) _ej(ts)d_{s A A}

~

_Zt
0

1

~

E ~ 9=K+^1

a0 2)^3

0 1 2 -r ^E + @ 9=K+^1

1 2j

ZT 0

1 ~~~j (s) ~~2 ds A

1 2

~

E ~ 9=K+^1

lag 2) 3

1 2

+

1

0 X @9=K+^1

ZT 0

1 ~~~j (s) ~~2 ds A

1 2

·\/2a1

;

puisque la suite des valeurs propres (A) est croissant et strictement positive. Comme uo 2 H et f 2 L² (]0 , T[ ; H) on a

+ 1 =E i=i

~~~0 ~~2 < +1 ; kfk^2 j L^2(]0 ,T[;H) =

X+ 1 i=i

ZT 0

~~~j (s)1^2 ds < +oo,

ce qui entraine que la suite co^k (t) est de Cauchy dans H . Plus précisément, on en déduit que la suite co^K vérifie

lim (sup T ^K 11

= 0,H)

^k;^/-'+^°° 0<t<T

c'est -á-dire qu'elle est de Cauchy dans C ([0 , T] ; H) . Montrons que la suite !^Kest aussi de Cauchy

dans L² (]0 , T[;V ) . On munit V du produit scalaire a (u, v) , Pour r > k on a

k! (t) -- W^k (t)11, = a ^(WT (t) -- WK (t) , W^T (t) -- co^l( (t)) = _X j jj (t)j²

j=K+1

_{0 1}

_Zt

j @ ~j (s) _ej(ts)d_{s A} :0

2

-r -r

< 2 _{Ai c}4² c2Ait + 2

j=K+1 9=K+1

Or, par application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz on a

0 Zt

@0

_{1 0}

2 Zt

~j (s) _ej(ts)d_s A ~ @

0

₁ 0 Zt

~_~~j (s) ~~2 _ej(ts)d_{s A} @ _ej(ts)d_s

0

1 Ai

0 @

Zt 0

1 ~_~~j (s) ~~2 _ej(ts)d_{s A} :

Par ailleurs, en vertu du théoreme de Fubini

0

0

T T

_{1 0 1}

_{Z Z}

~_~~_j (s) ~~2 _ej(ts)d_{s A} dt = ~_~~_j (s) ~~2 ej(ts)dt

0 s

@ _A ds

1

~

j

_ZT
0

~_~~j (s) ~~2 ds:

Par conséquent, on déduit que

0

11c.k^r (t) --W^K (t)11,dt <

X j=K+1

~~~0 ~~2 + j

X j=K+1

2 j

ZT 0

P(s)1^2 ds;

ce qui implique que la suite w^Kvérifie

lim krr--Eco

0

~ ~ ~!~ (t) ~ !^K (t) ~2 V dt = 0;

c'est -á-dire qu'elle est de Cauchy dans L² (]0 , T[ ; V ) .

Comme les deux espaces C ([0 , T] ; H) et L² (]0 , T[;V ) sont complets, la suite de Cauchy co^" converge et on peut définir sa limite u

lim krr--Eco

W^K = u dans C ([0 , T]; H) n L^2 (]0, I[; V ) .

En particulier, comme co^" (0) converge vers uo dans H, on en déduit la condition initiale voulue,
u (0) = uo (qui est une égalité entre fonctions de H). D'autre part, il est clair que u (t), en tant

que somme de la série (3.8)vérifie la formulation variationnelle (3.5) pour chaque fonction test v = UK. Comme (_v^u_A^K ) est une base hilbertienne de V , 'a (t) vérifie donc la formulation variationnelle (3.5)pour tout v 2 V ; c'est -á-dire que u (t) est bien la solution recherchée de (3.5) .

Pour obtenir l'estimation d'énergie (3.6) , il suffit de remarquer que l'on a prouvé les majorations

II WT 1 (t) ~ !^K (t)k_H ~ ku0kH + p21 kfkL²(]0 ,T[;H)
·

et

_ZT
0

~ w^T (t) -- w^K (t)11₁, dt < MuollH + 211/112L2a0 _;T [;H): :

1

En prenant k = 0 et en faisant tendre T vers l'infini , on obtient immédiatement l'estimation désirée

.

Remarque 3.2.2 Nous revenons sur le sens de la dérivée en temps dans la formulation variationnelle (3.5) . Au vu des espaces dans lequel nous cherchons la solution u (t), la fonction t --p (t) v)H n'est pas dérivable au sens classique : elle appartient seulement a L² (0 , T) et a C ([0 , 7¹]) . On peut néanmoins définir sa dérivée au sens faible (ou au sens distributions) . Plus précisément , dt (t) , v)_Hest défini comme un élément de H^-1 (0 , T) (c'est -á-dire une forme linéaire continue sur H¹₀ (0 , T) )

par la formule

(dd t (U (t) v)H ^0 (t)) H^-1;H^10 (0 ,T)

=

T Z 0

O (t) , v)H d dt (t) dt V0 2 1^i0 (0 ,T) .

Pa conséquent, dite que l'équation de (3.5)a lieu au sens faible dans ]0, T[ est équivalent a dire

T Z~ 0

d? hu (t) ; viH dt (t) dt +

ZT 0

a (u (t) , v) (t) dt =

ZT 0

(f (t) 0 (t) dt;

pour tout v 2 V et tout 0 2 _c(]0, T[) puisque Cr (]0, T[) est dense dans 1¹₀ (0 , T) . Pour conclure, rassurons le lecteur :si u est une solution de (3.5) , alors, par l'égalité même qu'est (3.5) , la dérivée _dt (U (t) , v)_H appartient a L² (0 , T) et on peut donc dire que (3.5)a lieu presque partout dans ]0, T[.

3.3 Applications

Nous appliquons maintenant le résultat abstrait du théorème (3.3.1) a l'équation de la chaleur, et nous prouvons que cette approche variationnelle a bien permis de résoudre l'équation aux dérivées partielles d'origine .

Theoreme 3.3.1 Soit a un ouvert borne regulier de R^N. Soit un temps final T > 0 , une donnée initiale uo E L² (a), et un terme source f E L² (]0, T[ ; L² (a)). Alors l'equation de la chaleur

u = 0 p.p .sur aa x ]0,T[

u (x; 0 ) = uo (x) p.p .dans a

{

~~~~~~~~

(3.10)

Au = f p.p .dans a x ]0, T[

au at

admet une unique solution u E L² (]0,T[; H¹₀ (a))nC ([0 , T] ; L² (a)). De plus, il existe une constante C > 0 (qui ne depend que de a )telle que, pour tout t E [0 , T] ,

Iu (x,t)² dx +

t
_I

0

I1Vu (x, s)1² dxds < C (I uo(x)² dx + _I I f (x, s)² dxds¹. (3.11)

n n

0

12

t

dt dxdt +

Vu Vv 0 dxdt =

f v 0 dxdt . (3.13)

--

T I 0

I

uv

d0

I

T
_I

0

I

T
_I

0

Preuve Nous appliquons le théorème (3.3.1) a la formulation variationnelle (3.4) de l'équation de la chaleur (3.10) : ses hypothèses sont facilement vérifiées avec H = L² (a) et V = H(1^- (a) (en particulier, comme a est borné le théorème (1.1.5) de Rellich affirme que l'injection de H dans V est compacte), il reste a montrer que l'unique solution u E L² (]0, T[;H(1^- (a)) n C ([0 , T] ; L² (a)) de cette formulation variationnelle est bien une solution de (3.10) . Tout d'abord, la condition aux limites de Dirichlet se retrouve par application du théoréme (1.5.8) de trace a u (t) E H(1^- (a) pour presque tout t E ]0, T[, et la condition initiale est justifiée par la continuité de u (t)en t = 0(comme

fonction a valeurs dans L² (a)). Si la solution u est suffisamment régulière (par exemple, si : et Au appartienne par intégration par partie, la formulation variationnelle (3.4) est équivalente a

_I

(^au

at Au -- f) vdx = 0, (3.12)

pour toute fonction v (x) E H(1^- (a) et presque tout temps t E ]0, T[. Par conséquent on déduit de (3.12) que

au
at

Au -- f = 0 p.p. dans ]0, T[ x a.

Si la solution u n'est pas plus régulière que u E L² (]0, T[; N (a)) n C ([0 , T] ; L² (a)) , on obtient tout de même cette égalité mais la justification en est légèrement plus délicate. Conformément a la remarque (3.3.2) le sens précis de (3.4) est

Pour toute fonction v (x) E c_c^l (a) et 0 (t) E C¹_c (]0, T[) . Un résultat classique d'analyse nous dit que l'ensemble des combinaisons linéaires de produit de telles fonctions v (x) 0 (x) est dense dans C¹_c (]0, T[ x a) . On note a = (u; --Vu) la fonction a valeur vectorielles dans R ^N+ldont la divergence en "espace -temps "est : -- Au. L'identité (3.13)nous dit que cette divergence a bien un sens faible et est égale a la fonction f qui appartient a L² (]0, T[; L² (a)), d'on l'égalité presque partout dans ]0, T[ x a. Il faut cependant faire attention que nous avons montré que la différence

au at

-- Au appartient a L^2 (]0, T[; L^2 (a)) , mais pas chaque terme individuellement .

Remarque 3.3.1 l'estimation d'enrgie (3.11) indique que la norme de la solution dans l'espace d'énergie est controlée par la norme des données. Il est a noter que cette norme ne correspond pas toujours a la "vraie"énergie physique (dans le cas de la chaleur l'énergie thermique est proportion-nelle a f u (t, x) dx ). L'inégalité (3.11) été obtenue comme conséquence de (3.6), ce qui camoufle son

~

origine et son interprétation physique. En particulier, ces estimations ou égalités d'énergie justifient le choix de l'espace L² (]0, T[; 1^l₀ (a)) n C ([0 , T] ; L² (a)) pour y chercher des solutions car c'est précisément l'espace d'énergie c'est -á-dire l'espace de régularité minimum dans lequel les égalités ont un sens .

3.4 Proprietes qualitatives dans le cas parabolique

3.4.1 Comportement asymptotique

Nous étudions le comportement de la solution de l'équation de la chaleur en temps long, c'esta-dire lorsque t vers +oo. Nous allons vérifier que, conformément a l'intuition physique, si le second membre f (x) est indépendant du temps t , alors la solution de l'équation de la chaleur tend asymptotiquement vers la solution (stationnaire) du Laplacien. Nous commençons par examiner le cas de l'équation de la chaleur homogène.

Proposition 3.4.1 Soit aun ouvert borné régulier de R^N. Soit u0 E L² (a) et u la solution du probleme

₈

<>>

>>:

au at

~~~~~~~~

Au = 0 dans ]0, +oo[ x a

u (x; t) = 0 sur ]0, +oo[ x Oa

u (x; 0 ) = uo (x) dans a

Alors , u (t) converge vers zéro dans L² (a) lorsque t tend vers +oo

t --

lim 11u (t)11_.001) = 0

-Eco

Preuve On reprend la démonstration du théoreme (3.3.1) dans le cas f = 0, c'est -á-dire /3k = 0. On obtient facilement que la somme partielle vérifie

IcT (t) -- co" (t)I 1=

E 9=K+^1

_ 912 __2Ait 31 g^.

avec H = L² (a) , ce qui conduit, en prenant k = 0 et r = +oo, et en majorant ,á

Iu (t)11_/1 < 11u011/1 C2Aⁱt

qui tend vers zéro lorsque t tend vers l'infini puisque Al > 0. 3.4.2 Principe du maximum.

Proposition 3.4.2 Soit S2 un ouvert borne regulier de R^N, et un temps final T > 0. Soit uo 2

L² (a) , f 2 L² (]0 , T[ ; L² (a))etu 2 C ([0 , 7¹] ; L² (a)) n L²10, T [ ; H1 0 (a) , l'unique solution de (3.10) si f > Opresque partout dans10,T[ x S2 et uo > 0 presque partout dans a, alors u > Opresque partout dans]0,T[ x ~.

Preuve Soit u = min (u, 0) qui appartient bien a L² (]0, T [ ; H1 0 (a)), pour 0 < t < T

I vu (t) (t) dx = I Vu^- (t)1² dx. (3.14)

~ ~

Un raisonnement similaire a celui qui a permis de démontrer (3.14)montre que, si _@t2 L² (]0 , T[; L² (a)) , alors

_Z

_{0 1}

_Z

@t 1 d ~~u (t) ~~2 dx

@t (t) u (t) dx = @ _A : (3.15)

~

2 dt

Nous admettrons que l'identité (3.15) reste vraie même si :n'appartient pas 6E² (]0, T[; L² (a)) . Par conséquent, en prenant v = u^-dans la formulation variationnelle (3.4)de l'équation de la chaleur on obtient

1 d

2 dt

_{0 1}

_{Z Z Z}

~_~u~² dx ~_~r_u~~_~² dx =

@

_A + fu^-dx,
~ ~ ~
Ce qui donne par intégration en temps

12 / ~

~~u

^~(t)1^2 dx +

Zt 0

Z

Vu^-1^2 dads =

Zt 0

I fu^-dxds + 2 ^1./ ~

~~u

- (0)1^2 dx.

Comme (0) = (uo)^- = 0 on déduit

12 / ~	~~u	~ (t)1^2 dx +	Zt 0	Z	Vu^-1^2 dads < 0.
C'est -á-dire que = 0 presque partout dans 10, T[ x Si .

Théorème 3.4.1 soit uo E L² (Q) et soit u la solution de (3.1) . Alors on a

min {0, infuo} < u (x, t) < max 0, supuo V (x, t) E 12 x ]0, +oo [

n

Preuve On utilise la méthode des troncatures de stampacchia. Soit

K = max 10, sup u0} supposé < oo. On fixe une fonction G E C¹ (IR) telle que

1. 1G^' (s)1 < M Vs E IR

2. G est strictement croissante sur ]0, +oo[

3. G (s) = 0; Vs < 0

et on pose

H (s) =

8 I 0

G (a) do^- Vs E IL

Enfin on introduit la fonction

(ia (t) = I H (u (x; t) -- K) dx.

On démontre aisément que cp a les propriétés suivantes :

1. cp E C ([0, oo[; IR)

2. cp (0) = 0

3. cp > 0 sur[0, oo[

4. cp E C¹ (]0, oo[; IR) et

(t) = I atG (u (x; t) -- K) _at (x; 0 dx = I G (u (x; t) -- K) Au (x; t) dx

n

I= -- SZ

G' (u (x; t) -- K) 1Vu (x; t)r dx < 0

car G (u (x; t) -- k) E 1¹₀ pour t > 0, il en résult que cp < 0 sur ]0, oo[ et par conséquent cp 0. Donc pour chaque t > 0, u (x, t) < K p.p sur Q

u(x;t) = 0 sur ]0,T[ x 9

u (x; 0 ) = u0 (x) dans

₈

<>>

>>:

~~~~~~~~ (3.17)

Au = 0 dans ]0,T[ x

au at

3.5 Propagation a vitesse infinie

Proposition 3.5.1 Soit un ouvert borné régulier de classe C²de R^N.soit un temps final T > 0. Soit u0 E L² ( )et u la solution unique dans C ([0 , T] ; L² ( )) n L² (]0, T[ ; H ₀ ( ))du probléme

₈

<>>

>>:

au at

~~~~~~~~

Au = 0 dans ]0,T[ x

u(x;t) = 0 sur ]0,T[ x 8

u (x; 0 ) = u0 (x) dans

On suppose de plus que uo (x) ~ 0presque partout dans et que u0n'est pas identiquement nulle. Alors, pour tout temps E > 0, on a

u(x,E) > 0 Vx E (3.16)

c'est l'inégalité stricte de (3.16)qui est remarquable (on avait déjà une inégalité large par le principe du maximum de la proposition (3.5.2)). En effet, si uo a un support compact dans et si on se place en un point x E en dehors du support de u0 , on trouve que u (x, E) > 0 bien qu'initialement u0 (x) = 0. Autrement dit, même si le point x est initialement froid (u0 (x) = 0) et très loin de partie chaude initiale(le support deuo), il devient instantanément chaude puisque pour tout temps t = E (même très petit ), on a u (x, E) > 0. Ainsi la chaleur se propage a vitesse infinie puisque son effet est immédiat même a grande distance, Il s'agit clairement d'un défaut du modèle mathématique puisque l'on sait que rien ne peut se propager plus vite que la vitesse de la lumière. C'est un modèle, qualitativement et quantitativement correct a bien des égards, comme l'ont démontré d'ailleurs plusieurs résultats précédents, conformes a l'intuition physique, mais ce n'est qu'un modèle idéalisé de la réalité

3.6 Régularité et effet régularisant

Si le terme source est nul (f = 0), il existe un effet régularisant de la condition initiale : de manière surprenante, même si la donnée initiale u0 est très peu régulière, la solution devient instantanément très régulière .

Proposition 3.6.1 Soit un ouvert borné régulier de classe C^°° de R^N,et soit un temps final T > 0. Soit u0 E L² ( ), et u l'unique solution dans C ([0 , T] ; L² ( ))nL² (]0, T[; H ₀ ( ))de

Alors, pour tout E > 0, u est de classe C^°° en x et t dans a x ]E, T[

Preuve Pour k ~ 1 on note v = @ku

@t et on dérive k fois l'équation de la chaleur (3.17)par rapport

au temps pour obtenir

v (x;t) = 0 sur ]0,T[ x 8a

v (x;0 ) = aku

@tk (0,x) dans a

₈

<>>

>>:

~~~~~~~~ (3.18)

Av = 0 dans ]0,T[ x a

@v at

qui est encore une équation de la chaleur. Si @ku

@tk (0, x) appartient a L (a), on applique le théorème (3.4.1) d'existence et d'unicité a (3.18) qui nous dit que v appartient a L (]0, T[; H ₀ (a)) n C ([0 , T] ; L² (a)). En particulier, u est régulier en temps . D'autre part, par égalité, v = (A)^' u appartient au même espace. Le point le plus délicat pour donner un sens a ce raisonnement formel est que la donnée initiale de (3.18) n'est pas assez régulière. C'est pour cette raison que la régularité de u n'est valable que pour les temps t > E > 0.

Proposition 3.6.2 Soit aun ouvert borné régulier de R^N, et un temps final T > 0. pour un terme source f E L² (]0, T[; L² (a))et une donnée initiale réguliêre u0 E H ₀ (a), on considére la solution unique u E L² (]0, T[; H ₀ (a)) n C ([0 , T] ; L² (a))de l'équation de la chaleur (3.10). Alors, cette solution est plus réguliêre au sens ol @u @t E L² (]0 , T[ ; L² (a))et u E L² (]0, T[; H² (a)) n C ([0 ,T];H1 ₀ (a)).

Remarque 3.6.1 On peut bien slir "montrer"en régularité et obtenir que la solution u de l'équation de la chaleur (3.10)est aussi réguliêre que l'on veut, pour vu que les données u0et f le soient aussi .Cependant, si l'on veut que la solution u soit réguliêre des l'instant initial, il faut que les données u0et f vérifient des condition de compatibilité .Ainsi, dans la proposition (3.6.2) il est demandé a la condition initiale u0de vérifier la condition aux limites de Dirichlet (ce qui n'était pas nécessaire pour l'existence d'une solution dans la proposition (3.4.1)). Les autres conditions de compatibilité s'obtiennent en remarquant que les dérivées successives de u par rapport au temps t sont aussi solution d'équation de la chaleur avec conditions aux limites de Dirichlet.par exemple, la condition initiale pour la dérivées première est @u @t (0) = f (0) + Auo.pour que @u @t soit régulier; il faut donc que cette donnée initiale vérifie la condition aux limites de Dirichlet f (0) + Au0 = 0 sur 8a, ce qui est une condition de compatibilité entre uo et f.

Bibliographie

[1] Georges Koeper, "EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES", univ- Paris 5-2001.

[2] Gerard DEBEAUMARCHE (Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims), "Introduction aux équations aux dérivées partielles linéaires",

[3] S. GOCOUNOV, "équations de la phisique mathématique", Edition MIR Moscou 1973.

[4] Haim Brezis, "Functional analysis, sobolev spaces and PDE", Springer

[5] B. Helfer, "Introduction aux Equationsaux D'erivées Partielles", Université Paris-Sud, 2007.

[6] Imane BELKHEIR et Khaled ZENNIR, "Théorèmes du point ffxe et ses applications", Mémoire de Licence en Mathématiques, USTO 2010.

[7] Lawrence c. Evans, "Partial Differential Equations", AMS

[8] Peter J. Olver, "Applied Mathematics", University of Minnesota.

[9] Ravi P. Agarwal and Donal O'Regan, "NONLINEAIRE ANAlYSIS",VOLUME 9, Series in Mathematical Analysis and Applications, Boca Raton London New York Singapore,2005.

[10] REINHARD (H.). "Equations aux dérivées partielles", Dunod.

[11] B.Said-Houari et N. Tatar, "Etude de l'interaction enter un terme dissipatif et un terme d'explosion pour un probleme hyperbolique", 2003. Memoire de magister en mathématiques, Université de Annaba.

[12] Khaled ZENNIR et B.Said-Houari , "Existence and asymptotic behavior of solutions of a non linear viscoelastic hyperbolic equation", Memoire de magister en Mathématiques, 2008, Université de Annaba.