3.5 Propagation a vitesse infinie
Proposition 3.5.1 Soit un ouvert borné régulier de
classe C2de RN.soit un temps final T > 0. Soit u0 E
L2 ( )et u la solution unique dans C ([0 , T] ; L2 ( )) n
L2 (]0, T[ ; H 0 ( ))du probléme
8
<>>
>>:
au at
~~~~~~~~
Au = 0 dans ]0,T[ x
u(x;t) = 0 sur ]0,T[ x 8
u (x; 0 ) = u0 (x) dans
On suppose de plus que uo (x) ~ 0presque partout dans et que
u0n'est pas identiquement nulle. Alors, pour tout temps E > 0, on a
u(x,E) > 0 Vx E (3.16)
c'est l'inégalité stricte de (3.16)qui est
remarquable (on avait déjà une inégalité large par
le principe du maximum de la proposition (3.5.2)). En effet, si uo a un support
compact dans et si on se place en un point x E en dehors du support de u0 , on
trouve que u (x, E) > 0 bien qu'initialement u0 (x) = 0. Autrement dit,
même si le point x est initialement froid (u0 (x) = 0) et très
loin de partie chaude initiale(le support deuo), il devient
instantanément chaude puisque pour tout temps t = E (même
très petit ), on a u (x, E) > 0. Ainsi la chaleur se propage a
vitesse infinie puisque son effet est immédiat même a grande
distance, Il s'agit clairement d'un défaut du modèle
mathématique puisque l'on sait que rien ne peut se propager plus vite
que la vitesse de la lumière. C'est un modèle, qualitativement et
quantitativement correct a bien des égards, comme l'ont
démontré d'ailleurs plusieurs résultats
précédents, conformes a l'intuition physique, mais ce n'est qu'un
modèle idéalisé de la réalité
3.6 Régularité et effet
régularisant
Si le terme source est nul (f = 0), il existe un effet
régularisant de la condition initiale : de manière surprenante,
même si la donnée initiale u0 est très peu
régulière, la solution devient instantanément très
régulière .
Proposition 3.6.1 Soit un ouvert borné régulier de
classe C°° de RN,et soit un temps final T >
0. Soit u0 E L2 ( ), et u l'unique solution dans C ([0 , T] ;
L2 ( ))nL2 (]0, T[; H 0 ( ))de
Alors, pour tout E > 0, u est de classe
C°° en x et t dans a x ]E, T[
Preuve Pour k ~ 1 on note v = @ku
@t et on dérive k fois l'équation de la chaleur
(3.17)par rapport
au temps pour obtenir
v (x;t) = 0 sur ]0,T[ x 8a
v (x;0 ) = aku
@tk (0,x) dans a
8
<>>
>>:
~~~~~~~~ (3.18)
Av = 0 dans ]0,T[ x a
@v at
qui est encore une équation de la chaleur. Si @ku
@tk (0, x) appartient a L (a), on applique le
théorème (3.4.1) d'existence et d'unicité a (3.18) qui
nous dit que v appartient a L (]0, T[; H 0 (a)) n C ([0 , T] ;
L2 (a)). En particulier, u est régulier en temps . D'autre
part, par égalité, v = (A)' u appartient au même
espace. Le point le plus délicat pour donner un sens a ce raisonnement
formel est que la donnée initiale de (3.18) n'est pas assez
régulière. C'est pour cette raison que la
régularité de u n'est valable que pour les temps t > E >
0.
Proposition 3.6.2 Soit aun ouvert borné régulier
de RN, et un temps final T > 0. pour un terme source f E
L2 (]0, T[; L2 (a))et une donnée initiale
réguliêre u0 E H 0 (a), on considére la solution
unique u E L2 (]0, T[; H 0 (a)) n C ([0 , T] ;
L2 (a))de l'équation de la chaleur (3.10). Alors, cette
solution est plus réguliêre au sens ol @u @t E
L2 (]0 , T[ ; L2 (a))et u E L2 (]0, T[;
H2 (a)) n C ([0 ,T];H1 0 (a)).
Remarque 3.6.1 On peut bien slir "montrer"en
régularité et obtenir que la solution u de l'équation de
la chaleur (3.10)est aussi réguliêre que l'on veut, pour vu que
les données u0et f le soient aussi .Cependant, si l'on veut que la
solution u soit réguliêre des l'instant initial, il faut que les
données u0et f vérifient des condition de compatibilité
.Ainsi, dans la proposition (3.6.2) il est demandé a la condition
initiale u0de vérifier la condition aux limites de Dirichlet (ce qui
n'était pas nécessaire pour l'existence d'une solution dans la
proposition (3.4.1)). Les autres conditions de compatibilité
s'obtiennent en remarquant que les dérivées successives de u par
rapport au temps t sont aussi solution d'équation de la chaleur avec
conditions aux limites de Dirichlet.par exemple, la condition initiale pour la
dérivées première est @u @t (0) = f (0) + Auo.pour
que @u @t soit régulier; il faut donc que cette donnée
initiale vérifie la condition aux limites de Dirichlet f (0) + Au0 = 0
sur 8a, ce qui est une condition de compatibilité entre uo et f.
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