Etude d'une équation parabolique

Chapitre 2

Equation de la diffusion (Dans R)

On cherche une fonction u(t, x) du point d'abscisse x, au temps t, u E C² ([0,1] x [0, T]) solution

₈

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du problème

a 82 u(x; t) - 'yax2 L(x, t) = 0, avec x E [0, 1] @tc u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x,0) = f (x), avec x E [0,1]

(2.1)

Les constantes C et 'y désignent la capacité et la conductivité thermiques d'une barre.

2.1 Unicité d'une éventuelle solution

Il y a deux méthodes pour montrer l'unicité de solution, on suppose donc que l'on a deux solutions uiet u2 de l'équation de la chaleur, vérifiant la même condition initiale et les mêmes conditions aux limites.

On pose alors U = ui -- u2 et l'on a donc :

U (X, 0) = f (x) , (2.2)

et

U(0, t) = U(/,t) = 0. (2.3)

Première méthode

On posera

!2 = 7

C'

on multipliant (2.1) par u :

aU8²u

(X; t) U (X; t) = (.02Ox2 (X; t) U (X; t) ,

at

et en l'intégrant par rapport a x sur [0,11 :

i I 0

@U@t (x't) U (x, t) dx = co^2

i I 0

a^2 0x2 (x, t) U (x, t) dx.

Le premier membre apparait comme une dérivée et l'on peut intégrer par parties le second membre en tenant compte du fait que U (0, t) = U(1, t) = 0, ce qui donne :

1 2	a at	i I 0	U^2 (x, t) dx =--cw^t			i I 0	(^au (x' t))^2 dx < 0. ox
Cela prouve que la fonction t --p				1 f 0	U^2 (x, t) dx est décroissante.

Comme elle est nulle en 0 et visiblement a valeurs positives, elle est donc nulle, ce qui implique la nullité de U et l'égalité ui = u2.

Seconde méthode

On va utiliser ici le principe du maximum.

Considérons un nombre réel strictement positif E et la fonction :

u,(x,t)=u(x,t)+Ex²,

qui verifie :

2 2

aU_E

(X_' t) -- W2 8x(x1 t) at = ^au (x₁ t) w²⁽⁹₈

ot 8x2 (X_' t) -- 2EW² = --2EW².

Sur le compact [0, /] x [0, T] on T > 0, elle admet un maximum, atteint en un point (x0, to) dont nous allons montrer qu'il est tel que :

xo = 0 ou / avec 0 < to < T

ou tel que :

to = 0 avec 0 < xo < 1.

Si tel n'est pas le cas, on a en effet :

0 < xo <1 et 0 < to < T,

et la fonction x -p U_E (x, to) atteint son maximum en xo sur l'intervalle ouvert 10, l[ de sorte que l'on a les deux relations :

au_E

at ^(x°' ^t°) = °' a²u_E

axe (xo, to) < O.

La fonction t -p U_E(x0,t) atteint son maximum en to sur l'intervalle 10, T[ de sorte que, en considerant sa derivee en to comme sa derivee 6 gauche, on a par definition :

@U"

@t (xo, to) > O.

On alors, combinant ces deux inegalites :

aot UE 82(4

(x0, to) -- w2 (x0, to = --2E(.0² > 0.

Ox²

Cette contradiction prouve le resultat annonce, 6 savoir que U_E atteint son maximum necessairement sur l'un des trois bords inferieurs du rectangle [0, /]x[0, 7¹]. Comme on sait que U_E (x, t) = U (x, t)+ Ex² et que U est nulle sur les trois bords inferieurs de ce rectangle, ce maximum de U_E est donc inferieur ou egale 6 El^l.

Il en resulte que le maximum de U sur ce meme rectangle, qui est inferieur ou egal 6 celui de U_E est lui -meme inferieur 6 E/². Comme E est arbitraire, ce maximum de U est donc negatif et U est donc 6 valeurs negatives sur le rectangle [0, /] x [0, 7¹] .

Par le même raisonnement, quitte a remplacer U par --U, on voit que --U est aussi a valeurs négatives, et donc U a valeurs positives, sur ce même rectangle.

Donc pour tout T ~ 0, U est nulle sur [0, l] x [0, T], donc sur [0, l] x [0, +oc] et l'on a bien l'égalité U1 = U2.