Conditions aux limites transparentes et modélisation des vagues de surface dans un écoulement

3.1.4 Existence et unicité d'une solution

:

La recherche de modes propres du système couplé est un problème difficile, nous considérons une approche utilisant les modes propres de chaque composantes mécanique pris séparement.

- Pour la surface libre (capillarité) : désignons par ù^s_n les modes propres de la surface capillaire (tension superficielle) associés aux valeurs propres ë^s .

Le problème aux valeurs propres s'écrit :

?

????????????? ?

??????????????

trouver (ù^s, ë^s) ? H¹(I'_s) × IR⁺,

?ù^s
í_s

-Aù^s + gù^s = ë^sù^s sur Fs,

= 0 le long de ?F_s,

IFs |ù^s|²(s)ds = 1 condition de normalisation.

?

?????????????????? ?

???????????????????

- Et pour le fluide compressible : le problème s'écrit
trouver (ùf, ëf) E H¹(Ù) x R⁺,

--c2 _f Äù ^f + V?0
· V(V?0
· Vùf) = ëf ù ^f dans Ù,

?ù f = 0 sur _s,

í

ù f = 0 sur ?Ù -- _s,

ZÙ |ù ^f |²(x)dx = 1 condition de normalisation.

ou ù ^f désigne les modes propres du fluide associés aux valeurs propres ëf .

L'existence et l'unicité d'une solution au modèle (3.9) s'obtiennent en construisant une suite de problèmes approchés obtenus en utilisant une base réduite constituée de modes propres du fluide et du modèle de vague obtenus précedemment c'est-à-dire sans couplage.

Commençons par définir les espaces de dimensions finies dans lesquels on va rechercher une approximation des solutions en ? et ç.

Nous considérons pour cela des sous-espaces de H¹(Ù) et de H¹(_s) engendrés par les N premiers vecteurs propres de la surface capillaire de l'eau et du fluide, notés respectivement :

N

WN = {ç^N / ç^N = ? ánùs n } pour la surface capillaire de l'eau

n=1

VN = {ø^N / ø^N =

N ? n=1

ânù f n } pour le fluide.

Notons :

VN = V^N x W^N.

La solution approchée X^N(t) = (?^N(t), ç^N(t)) du système (3.9) est
définie comme l'unique solution du système différentiel matriciel ci-

après :

? ????????????????????? ? ??????????????????????

trouver X^N(t) = (?^N(t), ç^N(t)) ? VN tel que : ?Y ? H^1(Ù) × H^1(s) n L^2(s) M( ^·X^N, Y) + C( ^ÿXN, Y) + K(X^N, Y) = 0 satisfaisant les conditions initiales suivantes : X^N(0) = (?^N0 , ç^N0 )^ÿXN(0) = (?^N1 , ç^N1 )

(3.11)

ou :

(?^N0 , ç^N0 ) ? H¹(Ù) × H¹(_s), et (?^N1 ; ç^N1 ) ? H¹(Ù) × H¹(_s) et vérifiant respectivement d'une part

? lim

N?8 11?t; - ?011 = 0,

+

? lim 11 ?^l1 ^v - ?1 11 = 0,

? N?+ 8

d'autre part

? lim

N?8 11çtlⁱ - ç011 = 0,

+

?

N?lim811ç1 N - ç111 = 0. ? +

Remarquons que, lorsque N (nombre des modes retenus) évolue, les coefficients de X^N dans la base naturelle de l'espace de dimension fini V^N changent.

De ce fait, pour montrer l'existence d'une solution, nous ne pouvions pas procéder comme dans le cas classique oil nous disposions d'une base de vecteurs propres qui permettait de diagonaliser les opérateurs associés aux différentes formes bilinéaires.

Et par rapport à la vitesse critique notée u_c, nous envisageons deux méthodes d'étude d'existence d'une solution au modèle continue.

Cas ou u < u_c : l'existence d'une solution au modèle continu, s'obtient en montrant que la suite des solutions approchées construite à partir de V^N converge vers une solution de (3.9) lorsque N tend vers l'infini, et cela dans un espace défini a priori.

Ainsi a chaque entier N, associons le problème suivant :

? ??????? ???????

trouver X^N(t) = (?^N, ç^N) ? V^N tel que : ?Y ? V^N, M( ^·X^N,Y) + C(^ÿX^N,Y) + K(X^N,Y) = 0, XN(0) = (?^N0 , ç^N0 )^ÿXN(0) = (?^N1 , ç^N1 ).

(3.12)

Choisissons dans (3.12) :

Y = ÿXN

on obtient :

dt^[1

^d₂M(^ÿX^N, ^ÿX^N) + ¹₂K(X^N, X^N)] + C(^ÿX^N, ^ÿX^N) = 0. (3.13)

Notons que l'opérateur,

C(X,Y) = u f [V?0(x)
· V?(x)ø(x) - V?0(x)
· Vø(x)?(x)]dx

+ q1

_rs [?(s)v(s) - ç(s)ø(s)]ds + ucf I

r1?r2

est définie par une forme bilinéaire symétrique plus une forme bilinéaire antisymétrique, nous pouvons le décomposé sous la forme :

C(X,Y) = C_s(X, Y) + C_a(X, Y)

avec

- C_s(X, Y) opérateur symétrique,

- C_a(X, Y) opérateur antisymétrique.

Finalement l'expression (3.13),se réduit sous forme :

d 1 .

dt 2 ^M(XN,XN) 2

K( X^N X^N)] + C_s (^ÿX^N X^N) = 0.

[

et comme

C_s( ^ÿX^N, ^ÿX^N) = 0.

Des propriétés des formes M(., .) et K(., .) , on déduit par un calcul clas-
sique qu'il existe une constante positive c, indépendante du temps et telle

que :

+ IIXNII2V(t)) r t

c[lIg^NIIV(⁰) + IIXNIIV(0)1+c ₀I ^ÿX^Nk²_V(s)ds.

Une application de l'inégalité de Gronwall, permet alors de déduire une estimation a priori :

( ^ÿX^N0_f(t) +₀ k^ÿX^Nk²_V(s)ds) = c.

La suite X^N est donc bornée dans l'espace : H¹(0, T; H¹) n L²(0, T; V) , qui est un espace de Hilbert.

On peut alors extraire de X^N, une sous suite notée X^N telle que :

XN X^* ? H¹(0, T; H¹) n L²(0, T; V) (convergence faible)
Ensuite on peut utiliser une formulation faible satisfaite par la solution approchée X^N afin de caractériser X^*. On a alors,

pour tout Y ? H¹(0, T; H¹) n L²(0, T; V) tel que Y(T) = 0

_T

M( X^N,Y)dt + ^IT C( ^ÿXN, + K(X^N, = 0,

10^T 0

(3.¹4)

et par une intégration par partie, on a

Z0

TM ( ^·XN , Y) = -M( ^ÿX^N(0), Y(0)) -

0 T M( ^ÿX^N, ^ÿY)dt,

eton obtient

1₀^T M( ^ÿXN , ^ÿY)dt + f T C ( XN ,Y)dt + f T K(X^N,Y)dt = M( ^ÿX^N(0),Y(0)).

Alors le passage à la limite faible montre que X^* est une solution de la formulation faible pour tout X E H¹(0, T; H¹) n L²(0, T; V).

Nous avons donc établi l'existence d'une solution dans l'espace H¹(0, T; H¹) n L²(0, T; V) à l'équation (3.9).

Pour ce qui est de l'unicité, on peut procéder de la façon suivante : supposons qu'il y'ait deux solutions X1 et X2 à l'équation (3.9). Notons par X = X2 - X1 leur différence.

En supposant que ces deux solutions soient suffisamment régulières, nous obtenons en choisissant Y = X^ÿ dans l'équation variationnelle satisfaite par X :

d 1 ÿ ÿ

dt[2M(X, X) + ¹ ₂K(X, X)] = -C_s(X, X) < 0. Ceci permet de conclure que, X = 0, c'est-à-dire X2 = X1.

Cas ou u > u_c : nous avons un modèle d'onde instable pour lequel l'hypothèse o^- > 0 est essentielle pour prouver un résultat d'existence. Pour une vitesse u donnée, il y'a seulement un nombre fini de modes propres instables pour lesquels l'opérateur de raideur est négatif.

Décomposons l'espace W en somme direct de deux sous espace Vi et V_s ou

- Vi :est un sous espace de dimension finie engendré par les modes propres instables,

- V_s :un sous espace de dimension finie engendré par les modes propres stables.

On a

W = Vi e Vs

Soit k une constante strictement positive et de valeur très élévée, et posons
X(t) = ekteX(t),

on a

^ÿX(t) = k^eX(t)e^kt + ^ÿeX(t)e^kt,

^·X(t) = k^2eX(t)e^kt + 2k ^ÿeX(t)e^kt + ^·eX(t)e^kt,

ce qui donne, en remplaçant dans la formulation variationnelle de modèle (3.9) :

La forme bilinéaire définie par l'opérateur K(., .) est continue et vérifie,
pour tout X ? V_s, il existe une constante c0 = 0 tel que :

K(X, X) = c0IIXIIW.

Nous avons supposé v > 0 alors toutes les normes définies sur l'espace Vi de dimension finie engendré par les modes propres instables sont équivalentes.

Et pour une valeur très grande de k, le terme

K(^eX, Y) + kC(^eX, Y) + k²M(^eX, Y), est tel qu'il existe une constante c1 positive telle que :

VX^e ? Vi, K( ^eX, ^eX) + kC(^eX, ^eX) + k²M(^eX, ^eX) = c1k ^eXk² _W.

Afin d'obtenir une estimation a priori sur la solution ^eX^N du modèle approximatif, choisissons Y = .5e dans léquation (3.14). Ce qui donne :

N

^;·^,NM(

A.,N X Cs ,^A.,N ) \ I, X^N ) k^2Mae^N , X^N ) A-N (3.15) = -2kM( X , X) - kCP^-e^N , X )

Des propriétés de M(., .), il existe une constante notée c3 indépendante du temps telleque :

1

2

d

dt[M( X , X ) + C_s (X^N , ie^N) + K(X^N , fe^N) + k² MPe^N , fe^N )]

= c3k ^ÿeX^NkW + kC(^eX^N, ^ÿeX^N).

Ce qui permet par simple application du lemme de Gronwall, d'obtenir

une estimation a priori sur X^N ainsi que sur ^ÿeX^N.

On peut alors extraire une sous-suite qui converge faiblement, vers une solution faible du modèle (3.11).

On en deduit que l'existence et l'unicité d'une solution sont encore vraies, même si des instabilités apparaissent. Les détails complémentaires de la démonstration se trouvent dans [9].