III.1.3 Les principaux algorithmes classiques
connus :
Les algorithmes de détection de contours
consistent à identifier les contours d'une image en repérant les
forts changements d'intensités lumineuse de l'image.
Les principaux algorithmes connus (Sobel, Prewitt,
Canny, Deriche, Laplacien,...).
III.1.3.1 Les opérateurs dérivatifs
du premier ordre (gradient) et du deuxième ordre
(Laplacien) :
Les méthodes classiques de détection
de contours actuelles sont des méthodes dérivatives qui
détectent les variations locales d'intensité des pixels d'une
image. Les contours sont alors détectés :
· Soit par extraction des maxima locaux de la
dérivée première «
gradient »
· Soit par extraction des passages par zéro de la
dérivée seconde directionnelle. On verra que
moyennant quelques approximations, cette deuxième approche revient
à extraire les passages par zéro du
Laplacien.
III.1.3.1.1 Les détecteurs de gradient :
Dans la pratique, il est possible d'utiliser des
détecteurs de gradient pour repérer les contours d'une image. Ces
méthodes sont réalisées par un filtrage linéaire,
dont les filtres sont obtenus à l'aide de masques appliqués sur
des fenêtres de 3x3 pixels. Parmi les filtres classiques les plus
utilisés, on peut citer ceux de Sobel,
Prewitt, Robert. Dans notre projet on a
travaillé avec les operateurs de «Sobel et Prewitt». Ces
méthodes, combinées à un post-traitement adéquat
(seuillage, fermeture des contours, etc...) sont nécessaires afin
d'avoir un contour bien défini et complet pour nos traitements
ultérieurs.
a. Formulation mathématique :
Dans le cas discret, les dérivées dans
les directions horizontales et verticales au point de coordonnées (x, y)
approchées par de simple différences finies :
(III.1)
Pour l'axe horizontal x, le gradient noté, est
donné par :
(III.2)
Pour l'axe vertical y, le gradient noté, est donné
par :
(III.3)
On calcule la norme du gradient donnée par :
(III.4)
b. Opérateurs de Sobel, Prewitt et
Robert :
Ø Prewitt qui estime un maximum du gradient en
utilisant les masques de convolution suivants :
Et
Ø Sobel qui estime aussi un maximum du gradient en
utilisant les masques de convolution suivants :
Et
Ø Les filtres de Roberts sont une approche
discrète de la dérivée partielle d'ordre 1 il est
exprimé par les masques suivants :
Et
Le calcul du gradient sur une image peut être obtenu par
deux convolutions : l'une mettant en évidence les contours
horizontaux, l'autre les contours verticaux :
(III.5)
(III.6)
III.1.3.1.2 Les opérateurs dérivatifs du
deuxième ordre (le Laplacien) :
Dans la pratique, lorsqu'on utilise une
méthode dérivative de seconde ordre, c'est le `'Laplacien'' qui
est utilisé car il permet de simplifier les calculs et donc il est moins
couteux en temps de calcul.
a. Principe:
Extraire les maxima locaux du gradient revient
également à chercher les zéros de la dérivée
seconde directionnelle. C'est-à-dire :
= 0
(III.7)
Où :
I(x, y) : est l'intensité
lumineuse du point de coordonnées (x,y)
g : la direction du gradient G.
Le Laplacien d'un signal bidimensionnel continu est
défini par :
(III.8)
Après une approximation de la dérivée
seconde :
On aura :
(III.10)
Donc, pour calculer le Laplacien en chaque pixel de l'image, nous
pouvons filtrer l'image par le filtre linéaire suivant :
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