Section 3 Modélisation du risque en Assurance
vie
1 Définition du taux instantané de
mortalité
Le taux instantané de mortalité résulte de
la probabilité conditionnelle que l'individu d'âge x
décède entre ' et ' ( ) (avec
h strictement positifs). On désigne qx cette
probabilité conditionnelle *+,' - T+ - ' ( ). = *+,T+
> '. " *+,T+ > ' ( ).. On pose ) = 1 ce qui
nous donne *+,' - T+ - ' ( 1. et qui
représente le taux annuel de mortalité.
0*+ =
|
1231245
|
7 7 7 912 9 :~ 12
? 0 Si ) ? 0 on a
lim0?6 * 0*+ ~ lim0?6 * 1231245 ~ " * ~ "
~
0 12 0 12 9+ 9+
|
|
12
|
;+ (Taux instantané de
mortalité).
a) Relation entre probabilité de survie et taux
instantané de mortalité
|
;++< =
|
9 :~ 124= ?
9< , Integral: > ;+~< ~ "@ln
B+~<CD ? ~ "ln B+? " ln B+ ~ " ln 124E
12
6
|
>
? ;+~< ~ "ln 0F+ 6 2 Lissage des taux
instantanés de mortalité
Les estimations des taux de décès annuels
forment une courbe de mortalité qui se révèle, en
général, assez irrégulière. Ces
irrégularités sont dues aux fluctuations d'échantillonnage
et ne sont pas représentatives de la réalité. Alors que
les taux de décès évoluent avec l'âge et afin
d'améliorer les estimations brutes, il est possible d'utiliser les
connaissances que nous avons a priori sur la forme des courbes de
mortalité. De nombreuses méthodes permettent de répondre
à cet objectif ; les estimations corrigées sont nommées
estimations lissées des taux de décès.
Même si la plupart des données que nous avons
sont des taux de mortalité annuel il est évident que la
mortalité est un phénomène continu dans le temps ce qui
nous amené a au taux instantané de mortalité.
2.1 Estimations lissées des taux de
décès
Pour des commodités de calculs d'assurance, il convient
souvent d'avoir une formule dans le but de déterminer lx
en fonction de x (l'âge). Toutefois cet ajustement
par une loi analytique des observations, doit se faire sur les taux annuels de
mortalité qx plutôt que lx
(Petauton 1996).
Nous présentons quatre catégories de
méthodes permettant d'obtenir des estimations lissées des taux de
décès et, ainsi, de construire une table de mortalité :
> les modèles paramétriques
> les lissages paramétriques
> les lissages non paramétriques
> les modèles relationnels
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Chapitre I : Les Risques liés à
l'assurance-vie
2.2 Modèle paramétrique
Une hypothèse est posée a priori sur la forme de
la courbe de mortalité. Pour cette raison, la fonction
mathématique qui exprime le taux de mortalité en fonction de
l'âge doit être une fonction dont la capacité à
retracer la courbe de mortalité a déjà été
éprouvée sur d'autres populations.
Elle doit permettre de capturer des caractéristiques
fondamentales et persistantes des courbes de mortalité ; ce qui conduit
à privilégier les fonctions contenant peu de
paramètres.
Cette particularité conduit à un certain manque
de souplesse dans la fidélité aux données. En contrepartie
elle permet théoriquement d'étendre l'estimation des taux de
mortalité à des âges où il n'y a pas encore
d'observations. La partie II de ce chapitre présente plusieurs
modèles paramétriques de référence.
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