1.6)Problèmes d'estimation des variables
intégrées.
Plusieurs problèmes se posent lorsqu'on veut
vérifier l'existence d'une relation linéaire entre plusieurs
variables dont certaines ont une tendance stochastique (donc une racine
unitaire), et lorsqu'on veut estimer les paramètres de cette
relation.
Même si, dans la réalité, aucune relation
linéaire ne lie ces variables, une estimation par MCO peut donner des
résultats qui font croire faussement qu'une telle relation existe et
qu'elle est importante (R2 élevé,
t-stats des paramètres estimés significatifs...). C'est
le phénomène bien connu de régression fallacieuse
ou régression factice (spurious regression en
anglais) [GRA 1974] et [PHI 1986]. En fait, l'existence d'une réelle
relation a long terme entre des variables intégrées est soumise a
certaines conditions, appelées cointégration entre les
variables intégrées. En d'autres termes, si les
variables sont intégrées (ce que l'on vérifie avec les
tests de racine unitaire), il faut vérifier leur éventuelle
cointégration pour savoir si elles entretiennent réellement une
relation à long terme. Ces conditions de cointégration sont
détaillées dans ce chapitre, ainsi que des méthodes
permettant de vérifier empiriquement une éventuelle
cointégration entre des variables intégrées
observées.
En cas de cointégration entre les variables
explicatives et la variable dépendante, les tests d'hypothèse
usuels ne suivent pas les lois Student ou asymptotiquement normales, toutefois,
d'autres techniques d'estimation permettent de générer des tests
d'hypothèse sur les coefficients cointégrants, qui utilisent des
distributions connues.
1.6.1)Définition de la cointégration :
Des processus stochastiques  intégrés du même ordre d sont
cointégrés s'il existe une combinaison linéaire de ces
processus qui est intégrée d'un ordre inférieur à
d. il faut qu'il existe une b > 0 et des valeurs  vérifiant :
 est  et ;
Chaque variable est 
Le vecteur  est le vecteur de cointégration
1.6.2)Test de cointégration d'Engle et Granger
Le test d'Engle et Granger est une méthode de
vérification de l'existence d'une relation de cointégration entre
des variables intégrées et d'estimation de cette relation. Cette
méthode est valable sous l'hypothèse arbitraire qu'il existe un
seul vecteur de cointégration entre les variables utilisées, et
que b=d.
Le raisonnement est le suivant : en cas de
cointégration entre les variables  , il existe des valeurs  telles que ;
 est 
Est donc tel que :  est aussi 
Et donc telles que :  est aussi 
Où les coefficients sont normalisés :  .
Tout processus  est forcément égal à une constante plus un
processus  d'espérance nulle. La stationnarité de  implique que :
Où u est une constante et í est un processus
stochastique stationnaire  d'espérance nulle, la cointégration implique que :
 , les coefficients cointégrants normalisés  sont les seuls pour lesquels í possède les
propriétés suivantes :
Il est stationnaire  ;
· Il n'a pas de tendance stochastique ;
· Il n'a pas de racine unitaire et ;
· Il a une variance constante
Les coefficients cointégrants de l'équation
précédente sont susceptibles d'être estimés par
MCO.
Tester la cointégration entre les variables revient
donc à estimer par MCO une équation linéaire où
l'une de ces variables est régressée sur les autres et à
tester si le résidu a une racine unitaire. Si l'on ne rejette pas
l'hypothèse de racine unitaire pour le résidu estimé, les
variables de l'équation ne sont pas cointégrées ; si
on la rejette, elles le sont.
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