Chapitre 2
par rapport aux coordonnées des noeuds
géométriques de l'élément réel
Vr.
( ) , ( )-* +
De plus les fonctions de transformation sont choisies
identiques pour les trois coordonnées :
( ) < ( )>* +
( ) < ( ) >* +
( ) < ( ) >* +
Par exemple pour un triangle à 3 noeuds xi, xj, xk
:
( ) ( ) ( ) ( ) < ( )> {
( ) ( ) ( ) ( ) < ( )>{
<N > < ( ) ( ) ( )>
Où ( ) appartient à Vr
Les fonctions , sont habituellement des polynômes en
appelées
fonctions de transformation
géométrique.
Elles sont construites de la même manière que les
fonctions d'interpolation N( ).
Grâce à la transformation géométrique
?? nous remplaçons la définition analytique de chaque
élément Ve dans l'espace des x par la
définition analytique, plus simple, de son élément de
référence Vr dans l'espace
Chapitre 2
des . Par la suite nous travaillerons systématiquement
dans l'espace des .
2.5.2. Formes d'éléments de
référence classiques
Nous présentons ci-dessous la forme et la
définition analytique des éléments de
référence correspondant aux éléments classiques [4]
:
Elément de référence à une
dimension :
47 /176
Figure 2.16 : Exemple d'éléments de
référence à une dimension
Elément de référence à deux
dimensions :
Figure 2.17 : Exemple d'éléments de
référence à deux dimensions
48 /176
Chapitre 2
Elément de référence à trois
dimensions :
Figure 2.18 : Exemple d'éléments de
référence à trois dimensions
- Dans les éléments de référence
quadratiques, les noeuds situés sur les côtés sont aux
milieux ( ) de ceux-ci. Dans les éléments
cubiques, ils sont situés au tiers (1/3) et aux
deux tiers (2/3) des côtés ;
- Les fonctions de transformation géométrique (
) n'ont pas été données explicitement pour les
éléments de référence ci-dessus. En effet la
construction de ces fonctions est identique à celle des
49 /176
Chapitre 2
fonctions d'interpolation N( ) qui sera
détaillée dans les lignes à suivre.
2.6. Approximation sur un élément de
référence
2.6.1. Expression de la fonction approchée
( )
Nous choisissons sur le domaine V un ensemble de n
noeuds
d'interpolation de coordonnées xi
confondues ou non avec les noeuds
géométriques.
Sur chaque élément Ve nous utilisons une
approximation nodale de la
fonction exacte ( ).
( ) ( ) < ( ) ( ) ( ) > { < ( )>* +
où : x appartient à
Ve,
sont les valeurs de aux e
noeuds d'interpolation de
l'élément, ou variables
nodales,
( ) sont les fonctions d'interpolation sur
l'élément réel.
e ( ) ( ) < ( )>* +
Avec :
( ) , ( )-* +
où : * + sont les variables
nodales de l'élément ;
( ) sont les fonctions d'interpolation sur
l'élément de référence. Remarque :
? En général les fonctions
N(x) ne sont utilisées que pour des
éléments simples. Elles sont le plus souvent remplacées
par les fonctions N( ) où x et sont
liés par la transformation ?? ;
Chapitre 2
? Les mêmes fonctions N( )
peuvent être utilisées pour tous les éléments
possédant le même élément de référence
caractérisé par
:
· sa forme ;
· ses noeuds
géométriques;
· ses noeuds d'interpolation.
2.6.2. Propriétés de la fonction
approchée ( )
2.6.2.1. Propriété fondamentale de
l'approximation nodale
La fonction approchée ( ) coïncide avec la fonction
exacte ( ) en
tous Les noeuds d'interpolation de
l'élément, de coordonnées xi
:
( ) ( ) < ( ) ( ) > {
}
De même, en utilisant l'approximation sur
l'élément de référence
D'où:
Une
( ) ( ) < ( ) ( ) > { }
D'où :
50 /176
( ) {
51 /176
| 
