Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche scientifique

	N° Attribué par la bibliothèque
	Année Univ.: 2015/2016

Phénomènes induits par le bruit dans les

systèmes dynamiques décrits par des

équations différentielles.

Mémoire présenté en vue de l'obtention du diplôme de

Master
Universitaire de Saida
Discipline : MATHEMATIQUES
Spécialité : Analyse stochastique, statistique des processus et
applications

par

Oussama Bounani

Sous la direction de

Encadreur : Dr. A.Kandouci

Soutenu le 30/mai/2016 devant le jury composé de Dr.F. Madani Université de Saida Président

Dr.A. Kandouci Université de Saida Directeur de thèse

Mlle.F. Benziadi Université de Saida Examinatrice

Me.FBenziadi Université de Saida Examinatrice

Table des matières

Introduction 1 Équations Différetielles Stochastiques			8 12
	1.1	Définitions et propositions	12
	1.2	Exemples	13
	1.3	Théonème d'existence et d'unicité	15
	1.4	Exemple	21
	1.5	Théorème de Yamada-Watanabe	23
	1.6	Difusions d'Itô	24
		1.6.1 Définitions et propositions	24
2	Systéme lent-rapide stochastique		29
	2.1	Résultats généraux sur les systèmes lents-rapides déterministes . . . .	29
	2.2	Système lentement dépendant de temps avec une dimension	31
	2.3	Branches d'équilibre stables	31
		2.3.1 Hypothèse (cas stable)	31
		2.3.2 Cas linéaire	33
	2.4	Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo	34
		2.4.1 Système découplé : cas b = 0	35
	2.5	Systèmes lents-rapides stochastiques	48
		2.5.1 Variété lente	49
		2.5.2 Concentration des trajectoires	49
		2.5.3 Bifurcations dynamiques	53
		2.5.4 Bifurcation selle-noeud	53
		2.5.5 Bifurcation Hopf	54
	2.6	Résonance stochastique	57

TABLE DES MATIÈRES 3

2.6.1 Présentation des systémes dynamiques non linéaires bistables . 60

2.6.2 Quelques résultats antérieurs 62

2.6.3 Description des trajectoires 64

3 Étude qualitative des systèmes de FitzHugh-Nagumo 68

3.1 Limite inférieure du régime bruit fort 68

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle 71

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible . . . 75

3.3.1 Transformation de l'équation stochastique 76

3.4 Commentaire 81

4 Simulation avec R 85

4.1 Le modèle de Hull-White,Vasicek 85

Bibliographie 93

Table des figures

2.1 Quelques trajectoires solution de l'équation (2.8) pour différentes

conditions initiales et pour E = 0.05, a = 0.37, b = 0 et c = 1 37
2.2 Graphique du potentiel V défini en (2.11) avec E = 0.01 et en (a)

a = 0.6, en (b) a = -2/3v3 et en (c) a = 0.37. 39

2.3 Exemples de solutions de l'équation de FitzHugh-Nagumo (2.6). Les courbes bleues montrent la solution en coordonnées (x, y) et les courbes noires la cubique telle que x = 0 et la droite telle que y = 0. Les valeurs de paramètres sont E = 0.01 et en (a) 8 = -0.05, (b) 8 = 0, (c)

8 = 0.01, (d) 8 = 0.11 43
2.4 Exemples de trajectoires de l'équation de Fitzugh-Nagumo (3.0.1) en coordonnées (x, y) (colonne de gauche) et (t; x) (colonne de droite). Les valeurs des paramètres sont " E = 0, 01eta =

0, 58.L'intensitdubruitestdonneparó1 = ó2 = 0, 001, 0, 003, 0, 007. . . 50
2.5 Potentiel bistable quartique à double puits de l'Eq. (2.2) présentant deux minima en _+-Xb séparés par une barrière de potentiel de hauteur

U0 61
2.6 [[16]] Une trajectoire (trait fin) de l'équation (2.67) présentant le phénomène de résonance stochastique. La trajectoire saute presque périodiquement d'une variété stable à l'autre (courbes en gras) en passant

par dessus la barrière de potentiel (en traitillé). 63

TABLE DES FIGURES 5

2.7 [16] Trajectoires prés d'une bifurcation selle-noeud évitée. (a) Pour u <

_a3/4

0 V å³/⁴, les trajectoires restent confinées, avec grande probabilité,

dans un voisinage B(h) de la solution détermiste xdet

t . (b) Pour u =

_a3/4

0 Vå³/⁴, les trajectoires ont toutes les chances de traverser la barrière

	de potentiel en x^?0(t) durant l'intervalle [-u^2/^3, u^2/^3]	64
3.1	Exemples de représentation de î en fonction du temps. Les paramètres sont c = 0, 01 , 8 = 3.10^-3pour la ligne du haut et 8 = 5.10^3pour la ligne du bas. L'intensité du bruit est u1 = u2 = 1, 46.10^-4
	, 1, 82.10^-4, 2.73.10^-4et3, 65.10^-4.	80
4.1	Trajectoire du modèle de HWV avec = 2.5, r = 4, u = 1.2	87
4.2	Trajectoire du modèle de HWV avec = 2.5, r = 4, u = 0.1	88
4.3	Trajectoire du modèle de HWV avec = 2.5, r = 4, u = 0.01	89
4.4	Trajectoire du modèle de HWV avec = 2.5, r = 4, u = 1.2	90
4.5	Trajectoire du modèle de HWV avec = 0.05, r = 0.01, u = 0.01 . .	90

Dédicaces

Je dédie ce travail à ma famille (au sens large) pour leur soutien et sa patience durant

ces années de formation.

A mes soeurs Kaouthar et Imen

A ma grand-mère-père

A eux, j'exprime ici toute ma gratitude et ma franche reconnaissance.

A mes collègues et mes amis

Le dernière dédicace, le plus important, va à mes parents (Khadidja et Berrezoug)

pour leur dévouement, leur compréhension et leur grande tendresse.

Je souhaite que Dieu leur préserve une longue vie.

OUSSAMA

Remerciements

Je remercie chaleureusement mon Directeur de mémoire M^r A.Kandouci, pour la façon de m'avoir encadré, orienté, aidé et conseillé. Je le remercie pour la deuxième fois.

Je remercie M^r. F.Madani, qui m'a fait l'honneur de présider le jury de ce mémoire. Je tiens à remercier aussi M^lle F.Benziadi et M^me F.Benziadi, qui ont accepté d'évaluer mon travail.

Je tiens à remercier M^r D.Djebbouri, pour m'avoir suivi et encourager dès le début.

Je remercie particulièrement les enseignants de master Probabilités et statistique, sans oublier les membres du laboratoire de Modèles stochastiques, statistique et Applications.

Je saisi cette occasion pour remercier l'ensemble des enseignants qui m'ont initié aux mathématiques.

je pense aussi à ceux et celles avec qui j'ai étudié. Pour finir, je remercie tous les amis et collègues qui m'ont soutenu et encouragé.

Introduction

Les équations différentielles stochastiques servent de modèle mathématique à des systèmes faisant intervenir deux types de forces, l'une déterministe et l'autre aléatoire. Par exemple, le mouvement d'une particule macroscopique dans un fluide ou un gaz peut être décrit par une équation de la forme

,, mx

= Fext + Fstoch

Ici _Fext décrit une force extérieure deterministe, par exemple la gravite ou une force électromagnétique. _Fstoch décrit l'effet des collisions erratiques des molécules du fluide avec la particule macroscopique. Le mouvement des molécules n'étant pas connu en détail, nous voulons modéliser le second terme par une force aléatoire, ou un bruit. La manière de modéliser le bruit dépend évidemment de la nature du fluide et des échelles de temps et de longueur en jeu. La situation la plus simple apparaît lorsque le temps de de corrélation des molécules est négligeable par rapport à l'échelle de temps caractéristique de la particule, on parle alors de bruit blanc.

les équations d'évolution sont des itérations d'applications (Collet et al. [1980]) ou des équations différentielles (Hirsch et al. [1974h]). Dans le premier cas, la terminologie consacrée est un système dynamique à temps discret, dans le second, à temps continu. Ce mémoire concerne plus particulièrement les systèmes dynamiques à temps continu, i.e, les systèmes d'équations différentielles dans lesquelles le temps n'apparaît pas explicitement, lorsque de tels systèmes font intervenir plusieurs échelles de temps caractéristiques, ce qui se traduit par la présence d'un ou plusieurs petits paramètres facteur dans l'une ou plusieurs des composantes de leur champ de

vecteurs vitesse, ils sont qualifiés de lents-rapides. Les systèmes dynamiques lents-rapides ont, dans un premier temps, été étudiés à l'aide de la théorie des perturbations

TABLE DES FIGURES 9

singulières (Andronov et al. [1966]) qui a permis de mettre en évidence une dichotomie du mouvement en trajectoires lentes et rapides. Le qualificatif "singulier" fait référence au fait que lorsque l'on fait tendre " vers zéro, le nombre de degrés de liberté du système change. Ses solutions convergent alors de façon exponentiellement rapide (Tihonov [1952]) vers voisinage de variétés lentes,

Le plus célèbre système lent-rapide est l'équation de van der Pol dont l'analyse peut aller retour au travail de van der Pol dans le 1920 [1] De nouveaux phénomènes (tels que des oscillations d'éclatement) peuvent être induite par une perturbation aléatoire impact sur un système en temps multiples échelles [2][43] et stochastiques réonance.[44][45] Freidlin et Wentzell [46] considérés comme le travail classique sur les perturbations systèmes dynamiques stochastiques Berglund et al.[47] [48] discuté des systèmes dynamiques lent-rapide avec gaussien bruit blanc et le bruit additif. Les résonnace stochastique est une des phénomènes qui se découlet des systémes lents-rapide

Le phénomène tres surprenant de résonnance stochastique est etudie par les physiciens depuis une vingtaine d'années et s'est récemment impose de façon évidente dans de nombreux domaines des sciences naturelles : les lasers, les systèmes électroniques, les transmissions neuronales, la climatologie, Le point commun des problèmes étudies est la présence d'un système Dynamique (plus ou moms complexe) qui subit deux perturbations extérieures :

1. une perturbation déterministe et périodique en temps généralement de faible intensité

2. une perturbation aléatoire lie soit a un source aléatoire soit a une agrégation d'erreurs de toutes sortes (erreurs de mesures, simplifica- tion de modèle,...)

Une combinaison optimale de ces deux perturbations cree le phenomene de résonance: la solution du système dynamique comporte alors une forte composante périodique qui ne peut provenir uniquement de la perturbation déterministe. C'est ainsi notamment que certains climatologues expliquent les grands changements climatiques qui apparaissent tous les 100 000 ans (changements amplitude 10 degres) et qui seraient une conséquence d'une très faible vari- ation de la constante solaire associées a une perturbation aléatoire de la température de la terre lie notamment au temps, aux saisons

TABLE DES FIGURES 10

Je passe à l'étude générale de l'équation de FitzHugh-Nagumo stochastique dans le

Le plan de ce travail est une conséquence des préoccupations pédagogique déjà énoncées.

Dans le premier chapitre

On donne une définition mathématique d'une équation différentielle stochastique accompagnée de quelques exemples. On citera ensuite l'un des théorèmes les plus importants, à savoir le théorème d'existence et d'unicité de la solution d'une EDS. On finira ce chapitre par l'énoncé d'un grand théorème qu'on doit aux mathématiciens Yamada et Watanabe

.

Dans le deuxième chapitre

Dans une premire partie bref survol de résultats connus sur les EDO rapides-lentes déterministes, on rappele d'abord le théorème de Tikhonov [10] et celui de Fenichel [11] sur la dynamique au voisinage de variétés lentes; puis nous discutons la notion de bifurcation dynamique, en particulier les cas de la bifurcation noeud-col et de la bifurcation fourche

Dans la deuxième partie on commençe par l'effet du bruit sur une classe particulière de systèmes singulièrement perturbés puis j'ai établir un résultat général sur la concentration des trajectoires au voisinage d'une variétés lente stable d'une EDS rapide-lente. Ensuite, nous examinons la précision d'une approximation de la dynamique par sa projection sur la variétés lente. Les résultats présentes ont été publies dans l'article [12]. après avoir donné des résultats généraux sur les équations lent-rapides, (section 1) j'ai étudié le comportement des solutions du système déterministe associé au modèle de FitzHugh-Nagumo en introduisant des coordonnées adaptées que je utilisé par la suite

Ensuite on passe de résultats connus sur les EDO rapides-lentes stochastique puis on donne une description détaillée de l'effet du bruit sur une bifurcation Noeud-col dynamique [12], puis d'une bifurcation fourche dynamique [12]. On finira ce chapitre par le phénomène de la résonance stochastique et les système potentielle bistable sont également étudies en détail

Dans le troisième chapitre

TABLE DES FIGURES 11

cas général .puis en utilisant des résultats généraux sur les systèmes lents-rapides stochastiques. Ensuite, à l'aide de différents changements de variables, nous obtenons des premières approximations pour les frontières

entre les différents régimes de comportement des solutions. Nous distinguons trois régimes

1. un régime où les spikes sont isolés et rares, pour un bruit faible

2. un régime où il y a une suite de spikes sans période de repos, pour un bruit fort,

3. un régime intermédiaire où il y a des trains de spikes espacés par des période de repos, pour un bruit intermédiaire. La transition entre les régimes de bruit fort et de bruit faible

Dans le dernier chapitre on traitera le modèle de Hull-white/Vasicek qui sera un exemple illustratif, on va tracer quelques trajectoires pour ce processus moyennant le langage de programmation R

Chapitre 1

Équations Différetielles Stochastiques

1.1 Définitions et propositions

Le but des équations différentielles stochastiques est d'étudier l'évolution d'un sys-thème physique perturbé par un bruit aléatoire. Partons d'une équation différentielle ordinaire de la forme.

dyt = b(yt)dt

On rajoute, pour exprimer ce bruit et définir son intensité un terme qui sera de la forme udBt où Bt est un mouvement brownien et une constante, on obtient une équation différentielle stochastique de la forme

dyt = b(yt)dt + udBt.

On généralise cette équation en permettant à u de dépendre de l'état de y à l'instant t :

dyt = b(yt)dt + u(yt)dBt.

On peut encore généraliser cette équation en permettant à b et u de dépendre aussi du temps t pour avoir enfin une équation différentielle stochastique de la forme

dyt = b(t, yt)dt + u(t, yt)dBt.

Cela conduit à la définition suivante.

On note par _(M)d×m(R) l'ensemble des matrices d × in à coefficients réels.

1.2 Exemples 13

Définition 1.1.1. Soient d et m deux entiers positifs et soient u et b des fonctions mesurables localement bornées définies sur R x R^d et à valeurs respectivement dans (M)dxm(R) et R^d . On note u = (uij)1<i<d,1<j<m et b = (bi)1<i<d.

Une solution de l'équation :

E(u,b) :

dXt = u(t, Xt)dBt + b(t, Xt)dt

est la donnée de :

- Un espace de probabilité filtré (Ù, F, (Ft)t = 0, P) satisfaisant les conditions habi-

tuelles.

- Un (Ft) mouvement brownien défini sur cet espace et à valeurs dans R^m,

B = (B¹,...,B^m).

- Un processus (Ft)-adapté continu X = (X¹,..., X^d) à valeurs dans R^d tel que :

Z t Z t

Xt = X0 + u(s, X_s)dB_s + b(s, X_s)ds

0 0

- Lorsque X0 = x E R^d , on dira que le processus X est solution de E_x(u, b).

Il existe plusieurs notions d'existence et d'unicité pour les équations différentielles stochastiques. On les cite dans la définition suivante.

Définition 1.1.2. Pour l'équation E(u, b), on dit qu'il y a

- existence faible si pour tout x E R^d il existe une solution de E_x(u, b).

- existence et unicité faibles si de plus toutes les solutions de E_x(u, b) ont mème loi - unicité trajectorielle si l'espace de probabilité filtré (Ù, F, (Ft)t = 0, P) et le mou-

vement brownien B etant fixes, deux solutions X et X^' telles que X0 = X' 0 P.p.s.

sont indistinguables.

On dit de plus qu'une solution X de E_x(u, b) est une solution forte si X est adapté par rapport à la filtration canonique de B.

La solution d'une équation différentielle stochastique, si elle existe, n'est pas forcément unique et si elle l'est dans un sens, elle ne l'est pas forcément dans l'autre.

1.2 Exemples

1.2 Exemples 14

Quelques exemples pour illustrer ceci sont donnés suivis d'un théorème qui assure, sous certaines conditions sur b et ó, l'existence d'une unique solution forte.

Unicité faible mais pas trajectorielle Soit â un mouvement brownien standard On pose

Z t

Wt = sgn(â_s)dâ_s.

0

On a alors:

Z t

ât = sgn(â_s)dW_s

0

En effet:

Z0	Z t t sgn(âs)dWs = sgn^2(âs)dâs (1.1) 0

Z t

= dâ_s (1.2)

0

= ât (1.3)

W est une martingale issue de 0 telle que < W, W >t= t ainsi, par la caractérisation de levy, W est aussi un mouvement brownien. On voit alors que â est solution de

l'EDS

dXt = sgn(Xt)dWt, X0 = 0

On a l'unicité faible. Par la caractérisation levey, toute solution doit être un mouve-

ment brownien.

Par contre, on n'a pas d'unicité trajectorielle pour cette équation. En effet,â et -â

sont toutes les deux des solutions correspondant au méme mouvment brownien. Aussi, â n'est pas solution forte : par la formule de Tanaka , la filtration canonique de ù coincide avec la filtration canonique de |â| qui est strictement plus petite que

celle de â. En effet, l'événement {ât < 0} appartient a Fâ mais pas à F|â|

1.3 Théonème d'existence et d'unicité 15

1.3 Théonème d'existence et d'unicité

Théorème 1.3.1. (Existence et unicité)

On suppose qu'il existe une constante K positive telle que pour tout t > 0, x, y E Rd

1. Condition de Lipschitz

|b(t, x) - b(t, y)| + |ó(t, x) - ó(t, x)| < K|x - y|

2. Croissance linéaire

|b(t, x)| < K(1 + |x|), |ó(t, x)| < K(1 + |x|)

Alors il y a unicité trajectorielle pour E(ó, b).

De plus, pour tout espace de probabilité filtré (Ù, F, _(Ft)t>0, P) et tout (Ft)t>0- mouvement brownien, il existe pour chaque x E R^d, une (unique) solution forte pour E_x(ó, b).

Preuve

Afin d'alléger les notations, on traitera uniquement le cas d = m = 1. Commençons par établir l'unicité trajectorielle. Sur le même espace et avec le même mouvement brownien B, on se donne deux solutions X et X^' telle que X0 = X^'₀. Pour M > 0 fixé, posons

ô = inf{t > 0,|Xt| > M ou |X^'_t| > M}. On a alors, pour tout t > 0,

_ftAT _ftAT

Xt?ô = X0 + J u(s, X_s)dB_s + J b(s, X_s)ds

0 0

Vu que X^' est aussi une solution, nous avons l'équation analogue

tAT tAT

f I XXAT = X^'₀ + J o'(s, X^'_s)dB_s + b(s, X^'_s)ds
o

1.3 Théonème d'existence et d'unicité 16

Remarquons que X et X^' sont bornées par M sur l'intervalle ]0, ô]. En faisant la

différence membre à membre de ces deux équations et par passage à l'espérance, on aura :

h(t) : = E[(Xtnô - X⁰tnô)²] (1.4)

=

EJ[[ rtnT (u(s, X₅) -- u(s, X8))dB8 + /~t/~T b((s, X₈) -- b(s, X0s))d( ² )

o Jo

En utilisant le fait que (a + b)² = 2a² + 2b², on aura :

h(t) = 2E[(~^tnô(ó(s, X_s)-ó(s, X⁰_s))dB_s)²]+2E[(~^tnô b((s, X_s)-b(s, X⁰_s))ds)²].

o o

Par la propriété,isometrie on a

2E[(J(u(s, X₈) -- u(s, X_s))dB₈)²] = 2E[(~^tnT(u(s, X₈) -- u(s, X⁰_s))d_s)²].

o o

En utilisant l'inégalité de Hölder et en majorant t ? ô par T, on trouve

2E[(~tnô b((s, X_s) - b(s, X⁰_s))ds)²] = 2TE[~^tnô b((s, X_s) - b(s, X⁰_s))²ds]

o o

Ce qui donne

tnô

h(t) = 2TE[~ ó((s, X_s) - ó(s, X3))²ds] + 2TE[~^tnô b((s, X_s) - b(s, X3))²ds]

o o

tnô

o 0

= 2E[f K²|X_s - X:|²ds] + 2TE[~ K²|X_s - X:|²ds]

tnô

= 2K²(1 + T)[ f K²|Xsnô - X⁰_snô|²ds]

o

où l'avant dernière inégalité provient du fait que b et ó soient lipschitziennes. La fonction h vérifie

t

h(t) = C ^J h(s)ds

0

1.3 Théonème d'existence et d'unicité 17

avec C = 2K²(1 + T²).

h est bornée par 4M² et vérifie les conditions du lemme de Grönwall avec a = 0 et b = C ce qui donne alors h = 0 donc P-p.s Xt?ô = X't?ô. En faisant tendre M vers +oo, on aura Xt = X^'_t pour tout t.

X est alors une modification de X', mais comme ces processus sont continus, alors ils sont indistinguables. Ce qui achève la preuve de l'unicité trajectorielle. Passons à présent au deuxième point.

On construit la solution par la méthode d'approximation de Picard. On pose

X⁰_t = x (1.6)

t

X¹_t = x + J u(s, x)dB_s + J t b(s, x)ds (1.7)

0 0

t

Xⁿ_t = x + J u(s, X3 ^-1)dB_s + J t b(s, X3 ^-1)ds (1.8)

0 0

Par récurrence pour chaque n, Xⁿ_t est continu et adapté, donc le processus

u(t, Xⁿ_t ) l'est aussi. Fixons T > 0 et raisonnons sur [0, T] vérifions d'abord par récurrence sur n que

WC_n : Vt E [0, T] E[(Xⁿ_t )²] <_ C_n. (2.2)

Pour n = 0, il n'y a rien à montrer.

Supposons à présent que ceci est vrai à l'ordre n - 1 et vérifions que cela reste vrai à l'ordre n.

Le cacul du moment d'ordre deux de l'intégrale stochastique se justifie par le

fait que E[f₀^t u(s, Xn-1

s )²ds] < oo, ce qui découle de la croissance linéaire et de

l'hypothèse de récurrence.

En utilisant encore la croissance linéaire, on écrit

E[(Xⁿ_t )²] <_ 3(x² + E[(f0 ^t u(s, _sX^n-1)dB_s)²] + E[(f0 ^t b(s, Xn-1

s )ds)2])

<_ 3(x² + E[f0 ^t u(s, Xn-1

s )²ds] + tE[f₀^t b(s, Xn-1

s )2ds])

<_ 3(x² + E[f0 ^t (K + K|X^n-1

s |)²ds] + tE[f0 ^t (K + K|X^n-1

s |)2ds])

<_ 3(x² + (1 + t)E[f₀^t (K + K|X^n-1

s |)2ds])

<_ 3x² + 3(1 + t)E[f₀^t (2K² + 2(KX^n-1

s )2)ds]]

<_ 3x² + 6T(1 + T)(K² + 4Cn-1) := Cn.

1.3 Théonème d'existence et d'unicité 18

La majoration (2.2) et l'hypothèse de croissance linéaire sur u entrainent que la martingale locale (f₀^t u(s, Xⁿ_s )dB_s) est une vraie martingale bornée dans L2 pour tout n. On utilisera ceci pour majorer par récurrence

On a

E[ sup 0<t<T

|X^n+1 t - X^nt |^2]

Xn+1 - Xⁿ = f(u(s,

Xⁿ_s) - u(s X^n-1_s))dB + f(b( s X) - b(s X^n-1_s))ds

,_s ,

d'où

E[ sup 0<s<t	|X^n+1 s - X^ns |^2]
< 2E[ sup 0<s<t

sup 0<s<t

s |f(b(u, X^nu) - b(u, X^n-1u))du|^2]

t

< 2(4E[(f (u(u, Xⁿ_u) - u(u, X~^-1))dB_u)²] +

E[(f

^t |b(u, Xⁿ_u) - b(u, X~^-1)|du)²]) 0

< 2(4E[(u(u, Xⁿ_u) - u(u, Xn-1

u ))²du] +

TE[

ft (b(u, Xⁿ_u) - b(u, X,n^-1))²du])

t

< 2(4 + T)K²E[f |Xⁿ_u - X,n^-1|²du] 0

t

< CTE[ f sup |Xr - XT ^-1|²dr] 0 0<r<u

Avec CT = 2(4 + T)K², posons

gn(u) := E[ sup 0<r<u

| fs (u(u, Xnu) - u(u, Xr1))dBu|2 + |X^nr - Xn-1 r |2].

1.3 Théonème d'existence et d'unicité 19

Ainsi on vient de montrer que

_f

t

gn+1(t) < CT g_n(u)du (I)

D'autre part, Vn, g_n est bornée sur [0, T]. En effet, pour n > 0 :

_ft

g_n(u) < 2(4 + T)K²E[J IXⁿ_u - X:^-1 |²du] (1.9)

T)K²E[f

< 2(4 + T)K²E[J(2(Xⁿ_u)² + 2(X_u^-1)²du] (1.10)

o

< 4T(4 + T)(C²_n + C²n-1) (1.11)

g0(t) = x² qu'on appelle C⁰_T.

Une récurrence simple sur (I) donne :

n

g_n(t) < C⁰_T(CT)ⁿ_!.

Et, en vertu du critère de D'alembert, on obtient

00 E n=0

gn(T)^1/^2 < oc.

Comme la norme de L¹ est dominée par la norme de L², on aura

00 E n=0	E[ sup 0<t<T		|X^n+1 t - Xn t |] < oc.
00 E n=0	sup 0<t<T	|X^n+1 t - X^nt | < oc.

Le théorème de la convergence monotone nous permet de dire que

00 E[E n=0

sup 0<t<T

|X^n+1 t - X^nt |] < oc.

Ce qui entraîne que p.s.

1.3 Théonème d'existence et d'unicité 20

Mais si n,m ? N avec n < m :

sup 0=t=T

|X^mt - X^nt | =

m-1E k=n

sup 0=t=T

|X^k+1 t - X^kt | -? 0 quand n, m ? 8.

Par suite, p.s. la suite (Xⁿ_t , 0 = t = T)_n converge uniformément sur [0, T] vers un processus limite X = (Xt)t=0 qui est continu et adapté. En effet, on vérifie par récurrence que chaque processus Xⁿ est adapté par rapport à la filtration canonique de B, et donc X l'est aussi.

On a P - p.s.

sup 0=s=T	|Xs - X^ns | = lim m?8	sup 0=s=T		|X^ms - X^ns | (1.12)
E8 = k=n+1			sup 0=s=T		|X^ks - Xk-1 s | (1.13)

En introduisant la norme L², on trouve que

E[ sup 0=s=T

|Xs - X^ns |^2] = (

8 E k=n

gk(T)^1/^2)^2 -? 0 quandn ? 8

= T²K²E[ sup

0=s=T

|X_s - Xⁿ_s |²] -? 0(1.16)

et on en déduit que

Z0

et

Z0

^t ó(s, X_s)dB_s = lim J t ó(s, Xⁿ_s )dB_s dansL²

n?+8 0

^t b(s, X_s)dB_s = lim ft b(s, Xⁿ_s )dB_s dansL².

n?+8

En effet

E[(f

t t
(u(s, X₃) -- u(s, ^X3 ))dB_s)²] = E(f (u(s, X_s)u(s, Xⁿ_s ))²ds) (1.14) t

= E(K2 ^f |X_s - Xⁿ_s |²ds) (1.15)

0

1.4 Exemple 21

1.4 Exemple 22

et on procède de la mème manière pour b.

En passant à la limite dans l'équation de récurrence pour Xⁿ(2.3), on trouve que X est une solution (forte) de E_x(ó, b) sur [0, T].

1.4 Exemple

Dans cette section, on donne trois exemples de résolution d'EDS. Exemple 1

Soit l'EDS suivante :

dXt = -Xtdt + exp^-t dBt, X0 = x

Les conditions du théorème d'existence et d'unicité sont vérifiées, on cherche alors l'unique solution de cette EDS.

On a

exp^t dXt = - exp^t Xtdt + dBt

ou encore

exp^t dXt + exp^t Xtdt = dBt

D'un autre côté, la formule d'intégration par parties assure que :

d(exp^t Xt) = exp^t dXt + Xt exp^t dt

Ce qui donne :

d(exp^t Xt) = dBt

et donc, la solution s'écrit :

Xt = x + exp^-t Bt.

Exemple 2 : Equation d'Ornstein Uhlenbeck On cherche à résoudre l'EDS suivante :

dXt = uXtdt + ódBt X0 = x.

où u et u sont deux réels.

Le théorème d'existence et d'unicité assure qu'il existe une unique solution. On multiplie les deux côtés de cette équation par exp^-u^t, on obtient :

exp^-ut dXt = uXt exp^-ut dt + u exp^-ut dBt.

ou encore

exp^-ut dXt - uXt exp^-ut dt = u exp^-ut dBt.

D'un autre côté, la formule d'intégration par parties donne :

d(Xt exp^-ut) = exp^-ut dXt - uXt exp^-ut dt En remplaçant dans l'équation précédente, on trouve :

d(Xt exp^-ut) = u exp^-ut dBt,

d'où, la solution

t

Xt = x + u exput / exp^-us dB_s.

0

Exemple 3(Modèle de Black et Scholes)

Le modèle de black et Scholes est, à l'origine, un modèle à deux actifs : l'un risqué et l'autre pas. Dans cet exemple, on traite le cas de l'actif risqué, à savoir le prix d'une action à l'instant t. Il vérifie l'équation différentielle stochastique suivante :

dSt = St(udt + udBt), S0 = x.

La solution est

2

St = x exp⁽ uBt - 2 t) exp^ut .

En effet, il suffit d'écrire u(t, x) = ux et b(t, x) = bx pour voir qu'elles vérifient les conditions du théorème (1.3.1). On applique ensuite la formule d'Itô à

2

f(t, x) = x exp⁽ ux - 2 t) exput

1.5 Théorème de Yamada-Watanabe 23

on aura

St = f(t, Bt) (1.17)

2_f

= f(0, 0) + Jot at (s, B_s)ds + J t af (s, B_s)dB_s + J t a (_s) B_s)4 .18)

J_ó

t 2_ft ft= )S_sds + óJ S3dBs + _J S_sds. (1.19)

2 o 2 0

d'où

dSt = St(udt + ódBt), S0 = x.

1.5 Théorème de Yamada-Watanabe

Les conditions du théorème d'existence et d'unicité ne sont pas optimales.Toshio YAMADA et Shinzo WATANABE ont montré qu'on peut les affaiblir dans le théorème suivant :

Théorème 1.5.1. Soit d = m = 1 Supposons que b et ó sont à croissance linéaire, que b vérifie la condition de Lipschitz locale et |ó(t, x) - ó(t, y)|² = ñ|x - y| pour tout t = 0, où ñ est une fonction borélienne de ]0, 8[ dans lui mème telle que

1

dz = E> 0

L_<€ñ²(z)⁺⁸

Alors E_x(b, ó) admet une unique solution forte.

En effet, les conditions du théorème de Yamada et Watanabe sont plus faible que la condition de Lipschitz. Si ó est lipschitzienne, alors on a pour tous x et y réels, si

|ó(x) - ó(y)| = c|x - y|.

alors

|ó(x) - ó(y)|² = c²|x - y|².

Il suffit alors de prendre ñ(x) = x². On a bien

dz= +8 E > 0

L|<6

ñ2(z)dz

1.6 Difusions d'Itô 24

.

Exemples

Soit a E R. On considère l'EDS

/

dXt = aXtdt + XtdBt, X0 = 0.

f(x) = -Jx n'est pas lipschitzienne mais elle vérifie la condition du théorème de Yamada et Watanabe. La solution unique de cette équation est appelée processus de Feller.

1.6 Difusions d'Itô

Dans ce chapitre, on s'intéresse aussi au cas où les coeffcients b,ó dépendent de l'état a `linstant mais pas du temps lui mème ó(t, y) = ó(y). On montrera que la solution d'une telle équation posséde, en autre les propriétés de Markov

1.6.1 Définitions et propositions

Définition 1.6.1. On dit que (Yt) = (Y_t^x)t un processus d'Itào dans Rⁿ s'il

s'ecrit

Z t Z t

(Y x

t )t = x + u(s, ù)ds + v(s, ù)dB_s

0 0

avec,pour tout t ~ 0

- f 0 t v(s,ù)²ds <oc presque sûrement

- f 0 t |u(s, ù)|ds < oc presque sûrement - u(t,.) et v(t,.) sont Jt -mesurables.

Définition 1.6.2. Une diffusion d'itô(homogéne) est un processus stochastique X = (Xt)t=0) de Rⁿ satisfaisant l'EDS de la forme

dXt = b(Xt)dt + (ó(Xt)dBt, t ~ s, X_s = x

1.6 Difusions d'Itô 25

Ou s = 0 donné, B un mouvment brownien de dimension m, b :IR,ⁿ -? IR,ⁿ et ó : IR,ⁿ -? IR,^n*m satisfont les conditions du théoréme d'existence et d'unicité qui se réduisent dans ce cas à la condition suivante :

?D > 0; |b(x) - b(y)| + |ó(x) - (y)| = D|x - y|;

pour tous x,y ? IR,ⁿ

Ou |ó|² = E |ói,j|. Dans ce chapitre, On notera

- Xt = Xs,x

t ; t = s la solution(unique)de (3,1) Quand s = 0 on note X^x_t au lieu

de X0,x

t

- P_x désigne la loi de B sous B0 = x et E^x l'espérance sous P_x.Qaund x = 0,P0 = P

- P^x désingne la loi de X sous X0 = x et E^x l'espérance sous P_x.Qaund x = 0, on note E au lieu E0

- (F^m_{t )t>0} la filtration canonique de mouvement brownien m-dimensionnel Précision que puisque X est la solution de(3,1) ,elle est obligatoirement adap-tèè á _(Ft)t>0. Donnons maintenant une expression mathématique á P_x et

Px :Pour tous boréliens E1, , Ek de IR,ⁿ et tous réels positifs t1, , tk; K =
1 on a :

Px(Bt1 ? E1, , Btk ? Ek) = P[(Bt_l + x) ? E1, , _(Btk + x) ? Ek]

et

P^x(Xt₁ ? E1, , Xtk ? Ek) = P[(X^x_t1 ? E1, , X^xtk ? Ek]

Une diffusion d'ITô est homogéne dans le temps, chose que l'on voit dans la

proposition suivante :

Proposition 1.6.1. les processus (X^ô,x

ô+t)t>0) et (X^,x_{t )t>0)} sont de méme loi sous

P

Preuve

On a

_f

^T+t fT+tXT+ = x + b(X^ô,x

_u)du + J u(Xô,x

_u)dB T

1.6 Difusions d'Itô 26

En effectuant un changement de variabl, v = u - r,on trouve

t t

XT+_t = x + J b(XT+_v)du + J ó(XT+v)dBô+v

o o

En posant B^ô_v = Bô+v - B_ô, on aura

Irt f

t

X

ô,x ô+t = x + b(X_ô+_v)dv + u(X_ô+_v)d(Bô+v - B_ô) (1.20)
0 o

t

= x + Jo b(XT_v)dv + J t ó(XT+v)dBv

o o

(1.21)

D'un autre côté,

x_t^,x = x + J t b(x°^,x)dv + f

^t ó(x°,x)dBv

0

Comme B et B^ô sont de même loi, par l'unicitè faible, on a :

(X^ô,x

ô+t)t>0 = (X^,x

t )t>0 en loi.

On est désormé en mesure de vérifier les proppriétés de Markov.

Proposition 1.6.2. (Propriété de Markov faible) Si f une fontion mesurable

bornée de Rⁿ dans, Rⁿ,alors

Vt, h > 0 E^x[f(Xt+h)/y^(m)_t ](ù) = E^Xt(ù)[f(Xh)] P - ps

Enonçons à présent la propriété de Markov forte, la preuve de la propriété de Markov faible découlera directement de celle-ci.

Proposition 1.6.3. (Propriété de Markov fort)

Si f une fontion mesurable bornée de Rⁿ dans, Rⁿ et r un temps d'arrêt par rapport à (y^(m)

ô ) averc r < oo P-ps. alors

1.6 Difusions d'Itô 27

en effet :

?h = 0 E^x[f(X_ô+h)/F^(m) ô ](w) = E^Xô(ù)[f(Xh)] P-ps Preuve : On veut montrer que

Ex[f(Xô+h)/F(m) _ô ](w) = E^{Xô (ù)}[f(Xh)]

Remarquons que puisqu'on a la propriété de Markov forte pour un mouv-ment brownien, l'homogéniété dans le temps pour une diffusion d'Itô reste vraie si l'on change un temps déterministe de t par un temps d'arrêt r (fini P-p.s).

On a

on a donc			X0 t = Xx t - x
	E[f(Xô+h)/Fô]	=	E[f(Xô+h + x)/Fô]	(1.22)
		=	E[f(Xô+h - Xô + Xô + x)/Fô]	(1.23)
		=	E[G(Xô+h - Xô, Xô + x)/Fô]	(1.24)
		=	g(Xx ô )	(1.25)
avec
	g(á)	=	E[G(Xô+h - Xô,á)]	(1.26)
		=	E[f(Xô+h - Xô + á)]	(1.27)
		=	E[f(Xh + á)]	(1.28)
		=	E^á[f(Xh)]	(1.29)

ou G(x,y) = f(x + y)

Afin de pouvoir effectuer ces calculs, on a utilisé la proposition suivante. Soient une sous-tribu de I, Y un vecteur aléatoire - mesurable et X une variable aléatoire indépendante de . Alors, pour toute fonction mesurable h,

E[h(Y, X)/ ] = ö(Y ), P - ps

où

ö(t) = E(h(t, X))

1.6 Difusions d'Itô 28

- Xô+h - X_ô est indépendant de F_ô

- X_ô est F_ô mesurable

- G est une fonction mesurable bornée En remplaçant á par X_ô, on obtient

Ex[f(Xô+h)/F(m) _ô ](ù) = E^Xô(ù)[f(Xh)] P - ps

Ce qui termine la preuve.

La propriété de Markov faible est obtenue en posant, pour chaque t fixé, r = t

a^*(y) = f(x*(y),y)

Chapitre 2

Systéme lent-rapide stochastique

2.1 Résultats généraux sur les systèmes lents-rapides déterministes

Nous considérons le système lent-rapide de dimension deux de la forme

?

??

??

x,

z,

(2.1)

=	1 f(x, y) ~

= g(x,y).

avec f et g deux fonctions suffisamment régulières de R² dans R et c un paramètre petit. La variable x est alors la variable rapide et y la variable lente. Nous définissons les branches d'équilibre par

Définition 2.1.1. Supposons qu'il existe un intervalle I C R et une fonction continue x^* : I -+ R telle que

Vy E I,f(x^*(y),y) = 0

On appelle branche d'équilibre du système (1.1) l'ensemble

M0 = {(x^*(y),y) : y E I}

De plus, soit

2.1 Résultats généraux sur les systèmes lents-rapides déterministes 30

Nous étudions ensuite la dynamique au niveau d'un point de bifurcation noeud-col.

la linéarisation du champ de vecteur correspondant à la variable rapide au point (x^*(y), y). La branche d'équilibre est dite stable (respectivement instable) si a^*(y) est négatif (respectivement positif),borné et ne s'annule pas, uniformément pour y E I.

Exemple 2.1.1. (Equation déterministe de FitzHugh-Nagumo)

?

??

??

x,

z,

1 = (x - x^3+ y) E

(2.2)

= a - bx - cy.

Dans le cas de l'équation de FitzHugh-Nagumo, il est plus simple d'exprimer les branches d'équilibre en fonction de x. Nous avons alors y^*(x) = x³ - x et

a^*(x) = 1-x³ La branche d'équilibre (x, x³-x) est donc stable pour x < -1/iJ3 et x > 1/iJ3 et instable pour x E] - 1/iJ3, 1/iJ3[

Nous avons deux résultats sur les orbites qui commencent suffisamment près de la branche d'équilibre stable. Le premier, de Tikhonov [10] dit que les orbites qui commencent suffisamment près de la branche diéquilibre stable, suivent cette branche à distance d'ordre E Le deuxième, de Fenichel [11] précise ce résultat en disant que toutes les orbites, commençant près de la branche d'équilibre stable, convergent vers une courbe invariante.

Théorème 2.1.1. ([10]) Toute orbite commençant dans un voisinage suffisamment proche de la branche d'équilibre stable M0 est attirée de façon exponentiel-lement rapide dans un voisinage d'ordre E de M0

Théorème 2.1.2. ([11]) Si la branche d'équilibre M0 est stable, il existe alors une courbe M qui est E proche de M0 et invariante sous le flux, c'est à dire que si (x(0), y(0)) E M alors (x(t), y(t)) E M tant que y(t) E I La courbe M attire les orbites voisines exponentiellement rapidement.

La courbe invariante M admet une équation paramétrique de la forme

x = x(y, E) , avec x(y, E) = x^*(y) + o(E).

2.2 Système lentement dépendant de temps avec une dimension 31

Définition 2.1.2. Un point(x^*, y^*) est un point de bifurcation noeud-col si le champ de vecteurs rapide vérifie les conditions

f(x^*,y^*)	=	0
?xf(x^*,y^*)	=	0
?xxf(x^*,y^*)	=6	0
?yf(x^*,y^*)	=6	0

2.2 Système lentement dépendant de temps avec une dimension

Dans ce chapitre, nous examinons l'effet du bruit sur une classe particulière de systèmes singulièrement perturbés, en utilisant des équations à savoir lentement en fonction du temps avec une dimension

2.3 Branches d'équilibre stables

Nous considérons dans cette section le système de la forme

1 ó

dxt = f(xt, t)dt + _p F(xt, t)dWt

~ (~)

dans le cas où f admet une branche d'équilibre asymptotiquement stable x^*(t). Ceci équivaut à supposer que le potentiel U(x, t) est strictement minimum locale en tout temps t. Plus précisément, nous aurons besoin de ce qui suit

2.3.1 Hypothèse (cas stable)

domaine et différentiabilité : f E C²(D, R) et F E C²(D, R) où D est un domaine de la forme D = {(x,t) : t E Id1(t) < x < d2(t)} ou interval I = [0,t]

et deux fonctions continues d1(t),d2(t) tel que d2(t) - d1(t) est positif et borné loin de 0 E I Nous supposons en outre que f,F et tous leurs dérivées partielles jusqu'à ordre 2 respectivement 1, sont uniformément bornée dans D par un M. constant

-

2.3 Branches d'équilibre stables 32

branche d'équilibre : Il existe une fonction continue x^* : I ? IR et une partie constante d > 0 tel que d1(t) + d < x^*(t) < d2(t) - d}, et

f(x^*(t), t) = 0 ?t ? I

- La stabilité : Soit a^* = ?_xf(x^*(t), t) il existe une constante a^*₀ > 0 tel que a^*(t) = -a^*₀ ?t ? I

- Non-dégénérescence du terme de bruit : il y a une constante F_ > 0 tel que F(x, t) = F_ ?(x,t) ? D

Depuis la variété lente du système déterministe

M = {(x,t) : x = x^*(t),t ? I}

est un uniforme asymptotiquement stable d'aprais le théoreme[Fenichels] implique l'existence d'une variété invariable M_E à une distance de l'ordre E de M

x^*(t)

x(t, ~) = x^*(t) + ~a*(t) + O(E²)

Notre objectif principal sera de caractériser la déviation ît entre xt et le trajectoire invariant x(y(t), E) tel que

ît = xt -x(yt,å)

d = 1 [f (x(t, E) + (t), t) -- f (x(t, E), t)]dt + E

t F(x(t, E) + 6, t)dWt

1 = E [a(t, 6)ît + b(ît, t, E)]dt + ^ó_vE[F0(t, E) + F1(ît, t, E)]dWt

ou

a(t, E) = ?_xf(x(t, E)) = a^*(t) + O(E)

F0(t, E) = F(x(t, E), t)

On notera que -a(t) est la courbure du potentiel et -a(t, E) est la courbure a la solution adiabatique.

Les restes satisfont |b(y, t, E)| < M|y|² et |F1(yt, t, E)| < M|y| pour tout y suffisamment petit

2.3 Branches d'équilibre stables 33

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 34

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 35

2.3.2 Cas linéaire

Dans cette section, nous étudions le l'EDS linéaire non autonome dy⁰_t = 1 a(t)y⁰_tdt + ó F0(t)dWt

_v

_E

E

avec l'état initial y0 = 0 où l'on suppose que a et F0 sont des fonctions continues et differentiable dans IR avec F0(t) minorée par F0 > 0 et a(t) majorée par -a0 < 0.

Sa solution et un processus gaussien et peut être representée par les intégrales d'Itô

ó ft y 0-- J ^t/c 0

e^a(t,s)/^EF0(s)dWs

avec a(t, s) = f t a(u)(la courbure cumulée entre les instants s et t), y⁰_t est caractèrisée par sa valeur moyenne égale à zéro et sa variance donnée par

~2 t

var(y⁰_t) = f e^2a(t,s)/^Eds. (2.3)
E 0

La varaince peut être calculée. En principe, on évalue deux integrales. Cependant, l'expression (2.3) n'est pas facile à manipuler. Une autre expression se

trouve en notant que var(y⁰_t ) = ó²v(t) où v(t) est une solution de l'équation différentielle ordinaire

Ev^. = 2a(t)v + F0(t)² (2.4)

avec une condition initiale v(0) = 0.

Le côté droit de (2.4) disparait sur la variété lente de léquation

F0(t)²

v(t) = v^*(t) = (2.5)
2|a(t)|

ce qui est uniformément asymptotiquement stable

Nous conclurons donc par le théoréme de Tikhonov que (2.11) admet une solution particulière de la forme

F0(t)²

î(t) = + O(E)
2|a(t)|

Remarque, en particulier que pour E suffisamment petit, il existe des constantes î+ > î_ > 0 telles que

î_ < î(t) < î+.

La relation entre î(t) et la variance de y⁰_t est donnée par

var(y⁰_t ) = ó²v(t) = ó²[î(t) - î(0)e^2a(t)/^E]

F0(t)²

où î(0) = + O(E) et a(t) = a(t, 0) < -a0 Vt > 0.

2|a(t)| --

Ainsi la variance s'approche de ó²î(t) exponentiellement rapide.

Notre objectif est de montrer que les trajectoires de y⁰_t sont concentrées dans des ensembles de la forme

_1/

B(h) = {(y, t), t E I, |y| < h î(t).

Chaque fois que nous choisissons h > ó en tout instant t E I fixé, la probabilité que (y⁰_t , t) ne fait pas partie de B(h) peut être exprimée en termes de distribution de fonction de la loi normale ö(x) = (2ð)_¹/² f _{x_~} e_u2/2du

P{(y^0t , t) E B(h)} = 2ö(

-h (t)) < 2ö(^-^h) < e_h2/2ó2 ó v(t) ó

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo

Dans le section 1 , on a commencé par des résultats généraux sur les systèmes d'équations lents-rapides . Ces résultats décrivent le comportement des solutions au voisinage des branches d'équilibre et des points de bifurcations. Nous appliquerons ces résultats au cas qui nous intéresse. Nous allons utiliser la notion de système excitable. On dit qu'un système est excitable s'il possède un point d'équilibre asymptotiquement stable et que des orbites peuvent passer proche du point d'équilibre mais faire une grande excursion dans le plan avant de retourner au point d'équilibre. Nous étudions d'abord le comportement des

solutions de l'équation de FitzHugh-Nagumo déterministe, introduite dans les articles [66] et [67], en faisant varier les différents paramètres de l'équation

?

??

??

x. =

(2.6)

1 (x - x³ + y) E

y. = a-bx-cy

où a, b et c sont des réels et E > 0 est un petit paramètre. Nous supposerons c > 0 pour avoir des solutions bornées. Pour l'étude de ce système, nous allons différencier les cas b = 0 et b =6 0 . Dans ces deux cas, nous étudierons les points d'équilibre. Dans le cas où b = 0, le système a entre un et trois points d'équilibre. Quand il y a un seul point d'équilibre, celui-ci est stable et le système n'est pas excitable alors qu'il l'est dans les autres cas. L'équation étant découplée, nous pouvons calculer directement y et le système se ramène alors à l'étude d'une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 avec potentiel. Dans notre cas, le potentiel peut avoir deux puits et la solution est attirée dans un de ces deux puits. Dans une troisième partie, nous considérons le cas b =6 0. Nous commençons par étudier le cas particulier où c = 0 . Dans ce cas, nous pouvons calculer facilement les valeurs propres de la matrice jacobienne au point d'équi-libre et dresser les différents cas suivant les valeurs d'un paramètre dépendant de a.

On peut trouver une étude plus détaillée des différents cas dans l'article[69].

2.4.1 Système découplé: cas b = 0

Nous étudions maintenant l'équation de FitzHugh-Nagumo (2.6) dans le cas où b = 0. Dans le cas où b = 0 et c = 0, la deuxième équation s'écrit alors y^. = a. Si a =6 0, il n'y a pas de point d'équilibre et les trajectoires partent à l'infini le long de la cubique. Si a = 0, alors y est constant et il y a entre un et trois points d'équilibre suivant la valeur de y. Les trajectoires sont parallèles à l'axe des abscisses et se terminent en l'un des points d'équilibre. Nous supposons ensuite c =6 0 et nous pouvons donc diviser les deux équations par c, faire le

changement de temps t^' = ct et définir les constantes a^' et E^' telles que a^' = a

c

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 36

'

et c= cE.

Nous obtenons alors le système

?

??

??

(2.7)

1

x. = ' (x - x³ + y) ~

y. = a' - y

où le point désigne alors la dérivée par rapport au nouveau temps t^'. Quitte à faire ce changement de temps et renommer les paramètres, nous pouvons prendre c = 1. Nous étudions alors le système

?

??

??

x. =

(2.8)

1 (x - x³ + y) ~

y. = a - y

Ce système est découplé. Nous pouvons résoudre la deuxième équation qui ne porte que sur la variable y. Nous remplaçons ensuite y par son expression dans la première équation pour obtenir une équation différentielle non-linéaire sur x. Commençons par étudier les points d'équilibre de ce système.

Proposition 2.4.1. Le système (2.8) a :

- un point d'équilibre P stable si a > 2/3iJ3 ou a < -2/3iJ3

- deux points d'équilibres, P et B^' ou P et B,si a = +^-2/3iJ3 pour a = -2/3iJ3 le point B est dégénéré et l'autre point est un noeud stable. Pour a = 2/3iJ3

le point B^' est dégénéré et l'autre point est un noeud stable.

- trois points d'équilibres, P^', P1 et P2 (voir figure), si -2/3iJ3 < a < 2/3iJ3

Le point dont l'abscisse (P1 sur la figure) est compris entre -2/3iJ3 et 2/3iJ3 est dégénéré et les deux autres sont des noeuds stables.

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 37

Nous avons à nouveau trois cas pour l'allure du potentiel. Si a > 2/3iJ3 la dérivée V ^'(x) s'annule en un seul point et V admet un minimum global qui

FIGURE 2.1 - Quelques trajectoires solution de l'équation (2.8) pour différentes conditions initiales et pour E = 0.05, a = 0.37, b = 0 et c = 1.

Le système (2.8) étant découplé et l'équation portant uniquement sur y étant simple, nous pouvons la résoudre et remplacer y dans la première équation. La solution de y^. = a - y est

y(t) = a + (y0 - c)e^-t (2.9)

où y0 est l'ordonnée initiale de la trajectoire. En remplaçant dans la première équation de (2.8), nous obtenons

1 x. - E		v^'(x) = y0 - a ~			e-t (2.10)
où V est le potentiel	v(x) =		x4 x2 4 2	ax (2.11)

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 38

correspond à un puits de potentiel qui correspond à l'unique point d'équilibre que nous avons vu pour ce cas (figure 2.2 (a)). Si a = 2/3iJ3 figure 2.2 (b))

, la dérivée V ^'(x) s'annule en deux points, mais en un des points il n'y a pas

d'extremum local Enfin, si a < 2/3iJ3 (figure 2.2 (c)), la dérivée V ^'(x) s'annule en deux points _xP- ^et _xP+. L'un correspond au minimum global et l'autreà un minimum local. Quand a est négatif, le minimum global est obtenu pour une abscisse négative x_ Plus a augmente, plus la différence xP+ - xP- est petite. Pour a = 0, les deux minimum sont les mêmes. Quand a devient positif, le minimum global est atteint pour une abscisse positive x+. Sur la représentation graphique du potentiel V de la figure 1.2 (c), nous définissons les points P_ et P+ de coordonnées respectives (x_; V (x_)) et (x+; V (x+)). Le premier correspond au minimum global de la fonction V et le second à un minimum local. Nous avons donc deux puits de potentiel qui correspondent aux deux points d'équilibre du système (2.8). Le puits correspondant à P_ est beaucoup plus profond que celui de P+. Il est ainsi difficile d'en sortir : si nous prenons une condition initiale x0 un peu écarté de x_ nous revenons en x_ Le puits associé à P+ est, en revanche, très peu profond sur la gauche : le maximum local et le minimum local sont très proches. Prenons une condition initiale x0 plus petite que x+. Si x0 est suffisamment proche de x+, la faible pente ramène au niveau du point P+. Dès que x0 passe l'abscisse du maximum local, nous tombons dans le puits plus profond vers le point P_

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 39

FIGURE 2.2 - Graphique du potentiel V défini en (2.11) avec E = 0.01 et en (a) a = 0.6, en (b) a = -2/3iJ3 et en (c) a = 0.37.

Cas b6= 0

'

a

Dans le cas où b =6 0, nous pouvons diviser les deux équations par b, faire le changement de temps t^' = bt et définir les constantes a', c^' et E^' telles que = a/b, c^' = c/b et E^' = bE. Nous obtenons alors le système

x. =

?

??

??

y

1 (x - x³ + y) E

'

y. = a^' - x - c

(2.12)

où le point désigne alors la dérivée par rapport au nouveau temps t^'. Quitte à faire ces changements, nous pouvons donc prendre b = 1 dans le système (2.6)

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 40

et étudier le système

1 x. =

?

??

??

E

(x - x³ + y)

y. = a - x - cy

(2.13)

Cas particulier où c = 0

Afin de limiter le nombre de variables, nous fixons dans un premier temps c = 0. Nous allons calculer le point d'équilibre et étudier sa nature suivant la valeur des paramètres a et E

Proposition 2.4.2. Le système (2.13) a un unique point d'équilibre P(x^*;y^*) qui a pour coordonnées

(x^*,y^*) = (a : a - a³) (2.14)

Soit

3a² - 1

8 = (2.15)
2

1. si 8 < --,/E < 0 où 8 > -,/E > 0, P est un noeud instable.où instable

2. si 8 = 0, P est un point de bifurcation de Hopf.

3. si --,/E < 8 < -,/E, P est un foyer stable. où instable

Preuve

Nous pouvons réécrire le système sous la forme

X. = F(X) (2.16)

où X est le vecteur ligne (x, y) et F une fonction de R² dans R² définie par

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 41

F (X) = F (x, y) = (1 ~

(x-x^3+y),a-x) (2.17)

Les points d'équilibre (x^*; y^*) vérifient l'équation F(x^*; y^*) = 0. Ce système a une unique solution

(x^*, y^*) = (a, a³ - a) (2.18)

Pour déterminer la nature de ce point d'équilibre, nous calculons les valeurs propres de la matrice jacobienne au point d'équilibre. La matrice jacobienne est

? \

1 c (1 - 3x2) 1

DF (x, y) = ? ~ )

-1 0

(2.19)

Nous calculons le polynôme caractéristique de la matrice puis ses racines pour déterminer les valeurs propres. Le polynôme caractéristique de DF(x^*, y^*) est

La jacobienne au point d'équilibre est donc

(2.20)

? 1 DF (x^*, y^*) = ? ~

\(1 - 3a2) 1 ) -1 0

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 42

P(X) = X² - ¹(1 - 3a²)X + 1 (2.21)

E E

Les valeurs propres sont donc

u+- =

/1 - 3a^2+- (1 - 3a^2- 4E (2.22) 2E

Posons

3a² - 1

8 = (2.23)
2

Les valeurs propres se réécrivent alors :

u+- =

(2.24)

E

-8 +- -/8² - E

Nous avons alors cinq cas différents

1. si 8 < --/E < 0 où 8 > -/E > 0 les deux valeur propres sont réelles

Si les deux valeur propres sont positif (respectivement négatif), P est un noeud instable (respectivement stable)

2. si 8 = 0 les deux valeurs propres sont imaginaires pures. Le point d'équi-libre est un centre.

3. si --/E < 8 < -/E, les deux valeur propres sont complexes

Si la partie réelle positif (respectivement négatif), P est un foyer instable (respectivement stable)

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 43

FIGURE 2.3 - Exemples de solutions de l'équation de FitzHugh-Nagumo (2.6). Les courbes bleues montrent la solution en coordonnées (x, y) et les courbes noires la cubique telle que x = 0 et la droite telle que y = 0. Les valeurs de paramètres sont c = 0.01 et en (a) 8 = -0.05, (b) 8 = 0, (c) 8 = 0.01, (d) 8 = 0.11

Nous illustrons ces résultats sur la (figure 2.3). En (a), nous avons toute la trajectoire alors qu'en (b), (c) et (d), nous avons un gros plan sur le comportement au voisinage du point d'équilibre. Quand le point d'équilibre est instable (8 < 0), la trajectoire tend vers un grand cycle limite (figure 2.3 (a)) . Nous pouvons voir que la variable x est la variable rapide: quand la trajectoire s'éloigne de la cubique, la courbe est presque parallèle à

l'axe des x. Quand le point d'équilibre est stable (8 = 0), nous avons trois comportements différents. Si 8 = 0 (figure 2.3 (b)) , le point d'équilibre est un point de bifurcation de Hopf et la trajectoire tend vers un petit cycle limite autour

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 44

du point d'équilibre. Si 0 < ä < -vc

(figure 2.3 (c)), la trajectoire s'enroule autour du point d'équilibre. Dans le dernier cas, le point d'équilibre est très attractif et la trajectoire va directement sur le point d'équilibre (figure 2.3 (d)).

Nous allons étudier l'allure de la trajectoire au voisinage du point d'équilibre. Nous commençons par translater l'origine des coordonnées au point d'équilibre P de coordonnées (x^*, y^*). Nous faisons donc le changement de variables :

x = x^* + u

(2.25)

y = y^* + v

Le système (2.13) avec c = 0 s'écrit alors :

cu^. = (1 - 3a²)u + v - 3au² - u3

(2.26)

v. = -u

Le point d'équilibre P a alors pour coordonnées (u, v) = (0, 0). Regardons une approximation valable au voisinage du point d'équilibre. Si u et v sont petits, nous pouvons, en première approximation, négliger les termes en u² et u³ car u3 = u² = u = 1. Le système (2.26) se comporte alors comme le système

cu^. = (1 - 3a²)u + v

(2.27)

v. = -u

Nous allons montrer que dans le cas où la matrice jacobienne DF(x^*, y^*) a deux racines complexes conjuguées avec une partie réelle négative, la solution de (2.27) est une spirale logarithmique

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 45

Proposition 2.4.3. Il existe un changement de variables (u, v) ? (r, è) en coordonnées de type polaire tel que le système (2.27) avec la condition initiale r0e^iè0 ait pour solution

r = r0e^-uRt

(2.28)

è = è0 + uIt

où uR, uI sont deux réels strictement positifs définis en fonction du paramètre ä par

uR =

ä E

u1 =

v~ - ä2 (2.29) E

Preuve

La matrice jacobienne DF(x^*, y^*) au point d'équilibre a deux racines réelles complexes avec une partie réelle négative. Nous avons donc

0 < ä < vE (2.30)

Nous pouvons alors écrire les valeurs propres de la matrice DF(x^*, y^*) sous la forme

u+- = uR +- iuI (2.31)

Nous avons en particulier la relation entre uR et uI

u2 R + u2 I = 1 (2.32)

~

Les vecteurs propres associés aux valeurs propresu+_- sont les vecteurs

	v -8+- -8^2+€		)(2.33)
v+- =	€ 1

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 46

Prenons alors la matrice de changement de base Q qui permet d'obtenir la réduction de Jordan J de la matrice DF(x^*, y^*) dans R. Q est définie par

Q =

E _Eä .I0+ )= 1R o ) ⁽2.34)

L'inverse de la matrice Q est donnée par :

0 B i_ 1 Q-1 .IE - ä2 B @

1 E -ä

1

= 1 0 uI (2.35) uI 1 uR

Nous obtenons l'équation :

La matrice DF(x^*; y^*) dans cette base est alors :

J = Q^-1DF(x^*, y^*)Q = -uR -uI (2.36)

uI -uR

Le système (2.27) peut s'écrire

U. = DF(x^*,y^*)U (2.37)

où U est le vecteur colonne

U = v ) (2.38)

Nous pouvons écrire ce système linéaire

Q^-1U = jQ^-1U (2.39)

En faisant le changement de variable

= ) = Q^-1U (2.40)

Si c² < 1/c, le système (2.13) admet un point de bifurcation de Hopf pour a = a+-

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo

	47
Ö. = JÖ	(2.41)
En posant, z = î + iæ nous trouvons l'équation z. = (-uR + iuI)z	(2.42) (2.43)
La solution générale de cette équation est :
z(t) = z0e^-uRte^iuIt	(2.44)

En coordonnées polaires, si nous posons z0 = r0e^iè0 , nous obtenons la courbe donnée par le système (2.28). Le réel uR est positif et non nul. Nous avons alors une spirale logarithmique.

Remarque

Les coordonnées d'un point d'équilibre P peuvent se mettre sous la forme (a, a³- a) avec a qui vérifie la relation

a + c(a³ - a) = a

Remarque Soit

_r

1 - c

a_* = 3

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 48

Proposition 2.4.4. (Changement de coordonnées) L'équation de FitzHugh-Nagumo (2.6) peut se mettre sous la forme

{

î' = 2 1 - z + .VE(cî -1 9a² *î3 )

(2.45)

'

/ 2 1 2

z= u + 2zc + V E(9a2 î4 + c(₂ - 3 -- z))

où u est une constante définie par

u =	3a*(a - a* - c(a^3* - a*)) .VE

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques

Nous considérons,dans ce chapitre,des perturbations stochastique de l'EDO lente-rapide(2.1) de la forme

ó

f(xt,yt)dt + ._VåF(xt,yt)dWt

å

1

dxt =

(2.46)

dyt = g(xt, yt)dt + ó⁰G(xt, yt)dWt.

De cette façon, ó² et (ó⁰)² mesurent le rapport entre taux de diffusion et de dérive, respectivement, pour la variable rapide x et lente yNous pouvons envisager, ó = ó(å) et ó⁰ = ó⁰(å) comme étant des fonctions de å, pourvu que le rapport ñ(å) = ó⁰(å)/ó(å) soit borné supérieurement lorsque å -+ 0.

avec Les coefficients de dérive f E C²(D,1[8ⁿ) et g E C²(D,1[8^m), et les coefficients de diffusion F E C¹(D,1[8^n×k) et G E C¹(D,1[8^m×k) seront uniformément bornés, ainsi que leurs dérivées, dans un ouvert D C 1[8ⁿ x 1[8^m ; et {Wt}t=0 est un processus de Wiener k-dimensionnel standard dans (Ù, F, (Ft), P), et les

intégrales stochastiques sont définies dans le sens d'Itô ;

- les coefficients de dérive et de diffusion satisfont les conditions usuelles de croissance et de Lipshitz garantissant l'existence d'une unique solution forte

(xt, yt)t=t0 de (3.1), admettant une version continue.

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 49

Pour (x0, y0) E D, nous dénotons par ^Pt0,(x0,y0) la loi du processus de Markov homogène (xt, yt)t>t0 , de condition initiale (xt0, yt0) = (x0, y0), et par Et0,(x0,y0) les espérances relativement à Pt0,(x0,y0).

2.5.1 Variété lente

Définition 2.5.1. - Soit D0 E R^m d'ouvert connexe et une fonction continue x* : D0 ? R^m tel que l'ensemble

M = {(x,y) E D : x = x^*(y),y E D0l

et f(x^*(y), y) = 0 est une variété lente du système.

- La stabilité :La variété lente est uniformément asymptotiquement stable,si, tout valeurs propres de la matrice jacobienne

A^*(y) = ?_xf(x^*(y), y) (2.47)

sont des parties réelles négatives, uniformément bornée loin de 0 pour y E D0

2.5.2 Concentration des trajectoires

Afin de définir le domaine de la concentrationB(h) nous considérons d'abord l'approximation linéaire du système (1.3) à proximité du variété adiabatique M_E

Nous introduisons la déviation ît entre xt et la trajectoire invariante x(y(t), E) tel que

ît = xt -x(yt,å)

Nous rappelons que avec x(y(t), E) = x^*(y)+o(E) Nous obtenons alors l'équation

1

dît =

[a(yt, E)ît + O(î2 _t ) + O(E(ó2)²)]dt

E

=

(2.48)

ü _E

= -ó2?_yx(y(t), E)[G0(y(t), E) + O(î(t))]dW_t²

[F0(yt, E) + O(ît)]dWt ¹

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 50

FIGURE 2.4 - Exemples de trajectoires de l'équation de Fitzugh-Nagumo (3.0.1) en coordonnées (x, y) (colonne de gauche) et (t; x) (colonne de droite). Les valeurs des paramètres sont " E = 0, 01eta = 0, 58.L'intensitdubruitestdonneparó1 = ó2 = 0, 001, 0,003,0, 007.

Où a,F0, et G0 sont définis par a(y,E) = ?xf(x(y,E),y) = a^*(y) + O(E) F0(y,E) = F(x(y,E) = (x^*(y),y) + O(E) G0(y, E) = G(x(y, E), y) = G(x^*(y), y) + O(E)

(2.49)

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 51

Notez que le nouveau terme de dérive disparaît lorsque ct = 0 et ó⁰ = 0 par ce que l'equation E?_xx(yt, E)g(x(yt, E) satisfaite par f(x(yt, E), yt)

Nous approchons y(t) par y⁰(t) solution de l'équation déterministe associée et nous considérons l'approximation linéaire c⁰_t de ct Nous obtenons alors le système

1 dc^0t = a(y^0t, E)c^0tdt + ^ó1vEF0(y^0t, E)dWt^1 E = -ó2?yx(y^0(t), E)G0(y^0(t), E)dWt^2 dy^0t = g(x(y^0t , E), y^0t )dt

(2.50)

En supposant que x(t) part de la trajectoire invariante x(y(t), E) au temps= 0 nous avons alors ct = 0 et nous pouvons supposer c0 t = 0 le procesuus {c⁰(t)}test un processus gaussien, centré et une variance

ó1v(t).la fonction v(t) et solution du systéme lent-rapide déterministe :

Ev^. = 2a(y⁰(t), E)v(t) + F0(y⁰(t), E)² + E[^ó1 ?_yx(y⁰(t), E)G0(y⁰(t), E)]²

ó2

dy⁰_t = g(x(y⁰_t , E), y⁰_t )dt

(2.51)

par le théoréme de Tikonove,nous deduison que v(t) peut être approchée par une fonction v(y⁰(t), E) qui vérifie

F(x(y, E), (y⁰(t))²)

v(y⁰(t), E) = + O(E) (2.52)
2?_xf(x(y, E), y⁰(t))

Cela signifie que la variance de la déviation c⁰(t) est proportionnelle à la variance du terme de bruit et inversement proportionnelle à l'attractivité de la branche d'équilibre stable.

Nous introduisons ensuite le domaine

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 52

B(h) = {(x, y) : y E I, |x - x(y, E)| < h²v(y, c)}

où I est un intervalle sur lequel la branche d'équilibre x^*(y) est stable. Nous définissons les deux temps de sortie :

ôB(h) = inf{t > 0 : (x(t), y(t)) =6 B(h)}

Le domaine B(h) est un tube centré autour de la courbe invariante x et correspond à l'ensemble dans lequel nous supposons que la trajectoire va rester. Le temps ôI donne le premier temps pour lequel la variable lente y sort de l'inter-valle correspondant à une branche d'équilibre stable. Le temps _ôB(h) correspond au premier temps de sortie du domaine B(h). Nous avons alors le résultat suivant :

Théorème 2.5.1. ([12]) Supposons que la condition initiale (x(0), y(0)) soit sur la courbe invariante,ie x(0) = x(y(0), E) pour un y(0) E I Il existe alors des constantes h0, c,l > 0 telles que pour tout h < h0

P{ôB(h) < min(t, ôI)} < C(t, E) exp(-kh²/2ó²) où l'exposant k ne dépend pas du temps et vérifie

k = 1 - O(h) - O(E(ó1/h)² - O(exp -c/E/h) et le préfacteur est donné par

C(t,c) = _L(1 + t)²

h2 (1 + h2

ó2 )

Pour une valeur de h suffisamment grande, pour h >> ó, la trajectoire a une probabilité très faible de quitter le domaine B(h), avant que y(t) ne quitte l'in-tervalle I sur lequel la branche d'équilibre est définie. En particulier si nous prenons h suffisamment plus grand que ó, de l'ordre de ó| log ó|, le majorant de l'inégalité (3.2.10) devient très petit, même si nous attendons un temps assez long. La trajectoire reste donc avec une grande probabilité dans le domaine B(ó| log ó). Nous donnons ensuite un résultat pour le comportement au voisinage d'un point de bifurcation

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 53

2.5.3 Bifurcations dynamiques

Nous considérons toujours le système lent-rapide stochastique

1 ó

dxt = f(xt, yt)dt + F(xt, yt)dWt

å./å

(2.53)

dans le cas où le système associé admet un point de bifurcation Plus précisément, nous ferons les hypothèses suivantes

Hypothèse

- Domaine et dérivabilité : Les coefficients de dérive f E C²(D, 1[8ⁿ) et g E C²(D, 1[8^m), et les coefficients de diffusion F E C¹(D,1[8^nxk) et G E C¹(D, 1[8^mxk) seront uniformément bornés, ainsi que leurs dérivées, dans un ouvert D C 1[8ⁿ x 1[8^m ; et _{Wt}t>° est un processus de Wiener k-dimensionnel standard dans (Ù, T, (Tt), P)

- point de bifurcation : supposons que f(0, 0) = 0 et que ?_xf(0, 0) admet q valeurs propres sur l'axe imaginaire, les autres n - q valeurs propres ayant partie réelle négative. Nous pouvons alors introduire des coordonnées (x^-, z) E 1[8q x 1[8^n-q dans lesquelles le système s'écrit

(2.54)

dx^-_t = 6 f (x^-_t , zt, yt)dt + .V_EF₍x^-_t , zt, yt)dWt 1

dzt = f°(x- _t ,zt,yt)dt+ ^ó F°(x-t,zt,yt)dWt å./å

On discuterons la dynamique réduite le cas particulier avec q = 1 : la bifurcation selle-noeud

2.5.4 Bifurcation selle-noeud

dyt = g(xt, yt)dt + ó'G(xt, yt)dWt.

dyt = g(x?t , zt, yt)dt + ó'G(x?t , zt, yt)dWt,

Nous considérons ici un système réduit dans le cas d'une bifurcation selle-noeud

à l'origine (en particulier q = 1). Pour simplifier, nous discutons le cas où m = 1,

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 54

et où la dynamique lente est triviale :

1 ó

dxt = f(xt, yt)dt + dWt

(2.55)

6v6

Nous pouvons donc admettre que yt = t (avec t0 pas nécessairement nul), et considérer le processus homogène _{xt}t=t0 . Une bifurcation selle-noeud (indirecte) a lieu en (0, 0) si

f(0, 0) = 0, ?_xf(0, 0) = 0, ?_yf(0, 0) < 0, ?_xxf(0, 0) < 0. (2.56)

Dans ce cas, la variété lente est formée d'une branche stable {x = x^*(y), y = 0}, avec x^*(y) ~| y |¹/², et une variété instable {x = x^*_-(y), y = 0}, avec x^*_-(y) ~ - | y |¹/².

2.5.5 Bifurcation Hopf

Dans cette section, nous considérons le cas où le système rapide admet un point de bifurcation de Hopf. Afin de garder la discussion raisonnablement simple, plutôt que de considérer le cas le plus général, nous restreindrons notre attention aux situations dans lesquelles

· le coefficient de diffusion pour la variable rapide ne dépend que de la variable lente,

· Il n'y a aucun terme de bruit agissant sur la variable lente,

· la variable lente est unidimensionnelle, tandis que la variable rapide et le mouvement brownien sont 2-dimensionnels.

Nous examinerons donc un système lent-rapide d'EDS de la forme

6 f(xt, yt)dt + ₆F(yt)dWt

1

dxt =

dyt = 1.

(2.57)

dyt = g(xt, yt)dt,

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 55

S(h) = {(x, y) : y > vå, y ? I,k x k= hñ(y)}, (2.60)

sous les hypothèses suivantes. Hypothèse(Bifurcation Hopf).

· Domaine et dérivabilité : Il y a un ensemble ouvert D ? R²×R et un intervalle ouvert I ? R tel que f : D ? R², g : D ? R et F : I ? R^2x2 sont real-analytique et uniformément bornées dans la norme par une constante M.

· Variété lente : Il existe une fonction x^* : I ? R² telle que (x^*(y), y) ? D et f(x^*(y), y) = 0 pour tout y.

· Bifurcation de Hopf : la matrice jacobienne A^*(y) = ?_xf(x^*(y), y) a valeurs propres complexe conjugué a^*(y) = #177;iw^*(y). Il y a un y0 ? I tel que a^*(y) a le même signe que y - y0 et d_ya^*(y0) est stictement positif. La partie imaginaire w^*(y) est bornée loin de 0 dans I. Enfin, g(0, y) > 0 pour y ? I.

· Non-dégénérescence du terme de bruit : F(y)F(y)^T est définie positive pour tout y ? I.

[15][théorème 5.3.8]. On va fixer la condition initiale (0, y0) ? B(h) avec y0 = vå. Il existe des constantes å0, D0, h0, c1, L > 0, tel que pour tous å = å0, D = D0 et tout ã ? (0,1) et pour tout h = h0vå,

P^0,y0{ôB(h) < ô(vå)} å 1 < D 1 - ã e-k+h2/2ó2 (2.58)

où l'exposant k+ satisfait

k+ = ã[1 - c1(D + h²/å)]. (2.59)

Considérons maintenant la dynamique après yt a atteint vå, toujours en supposant que u = vu. Nous attendons maintenant des chemins d'échantillon de quitter les environs de la direction de l'équilibre au x = 0 exponentiellement rapide. L'évasion est dominée par diffusion dans un ensemble de forme

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 56

où la définition de ñ(y) est donné par

ñ(y) = Tr(F(y)F(y)T) (2.61)

2a(y)

[15][théorème 5.3.9]. Soit u > 0, et l'ensemble C_u = (2 + u)-(1+u/2). Alors, pour tout y et pour tout condition initiale (x0, y) ? S(h) telle que ó < h < (y²₀C_uó¹⁺u)¹/⁽³⁺u⁾, et tout y ? I avec y = y0 ? vå,

(h)2u ~a(y m )

P^x°'^y°{ôS(h) = ô(y)} = J

óå

exp -- ku (2.62)

où á(y, y0) = go a(z)dz, et l'exposant k_u est donnée par

ku = 1+u[1 - O(å^1u^u

(O

)~ 1 . u log(1 + h/ó)

(2.63)

La probabilité en (3.37) devient petite dès que y est telle que á(y, y0) »

å(1+ u) log(h/ó). Étant donné que á(y, y0) croît quadratiquement avec y, Nous pouvons conclure que les chemins de l'échantillon sont susceptibles de quitter

_V

le domaine après un moment d'ordre å log(h/ó).

Pour compléter la discussion, Nous devons montrer que les chemins de l'échan-tillon laissent un voisinage d'ordre vy de la branche d'équilibre dès qu'y atteint

_V

ordre å | log ó |, et puis, si la bifurcation de Hopf est supercritique, approcher

l'orbite périodique originaires de la bifurcation. Cette analyse n'ayant ne pas encore été travaillée en détail, nous allons nous limiter à ce qui donne une idée de comment on pourrait procéder.

Selon la formule de Itô passer à coordonnées polaires, on obtient un système de la forme

1 ó

drt = [a(yt)rt + b_r(rt, èt, yt)]dt + _?åFr(èt, yt)dWt å

(2.64)

1 ó Fè(èt, yt

dèt = [w(yt) + bè(rt, èt, yt)]dt + _?å dWt
årt

2.6 Résonance stochastique 57

2.6 Résonance stochastique 58

oÙ b_r contient des termes d'ordre r² et ó²/r, et b0 contient des termes d'ordre r et ó²/r², tandis que F_r et Fè sont d'ordre 1. Notons, en particulier, qui en dehors de la S(ó) les termes d'ordre ó²/r et ó²/r², qui résultent de l'expression de second ordre dans la formule d'Itô deviennent négligeable en ce qui concerne le rôle de premier plan de l'expression correspondante de la dérive.

Dans l'analyse, nous nous intéressons principalement à la dynamique de la rt. Comme le mouvement de èt se produit sur une échelle de temps plus rapide que le mouvement de rt pour yt petit, nous attendons le système (3.39) soit bien approchées par sa version moyenne

1 drt = [a(yt)rt + å

br(rt, yt)]dt + ó vå Fr(yt)dWt. (2.65)

2.6 Résonance stochastique

Description générale de la résonance stochastique

La résonance stochastique est un phénomène non linéaire dans lequel la transmission par certains systèmes non linéaires d'un signal utile ou cohérent, peut être améliorée par l'ajout de bruit au système [43], [55], [57]. Ce phénomène paradoxal a été introduit il y a une quinzaine d'années dans le contexte de la dynamique des climats [43], [59]. Au cours des diverses études qui ont suivi, le cadre de la résonance stochastique s'est progressivement élargi. Aujourd'huit, la résonance stochastique apparaît comme un phénomène non linéaire général, observable dans de nombreux systèmes, et qui désigne un effet de transmission du signal favorisé par le bruit [57]. On peut maintenant inscrire ce phénomène dans le cadre général des signaux et systèmes dynamiques complexes (non linéaires) oÙ il se présente comme un paradigme illustrant la possibilité dans de tels processus d'extraire de l'ordre hors du désordre, ou de l'information utile hors du bruit.

La résonance stochastique peut revêtir diverses formes, selon les types considérés pour le signal utile, le bruit, le système de transmission et la mesure de performance qui se voit améliorée par l'ajout de bruit. Les signaux utiles ou cohérents impliqués dans la résonance stochastique peuvent être des signaux

de forme connue ou des signaux porteurs d'information. Ces signaux peuvent prendre par exemple la forme de signaux périodiques, on parle alors de résonance stochastique périodique. Ils peuvent aussi être des signaux apériodiques déterministes ou aléatoires, on parle alors de résonance stochastique apériodique. Les signaux de bruit considérés peuvent être de distributions statistiques et de structures de corrélation diverses. Ils peuvent être par exemple de type gaussien, blanc ou coloré. Les systémes présentant la résonance stochastique sont de types variés mais ils sont tous non linéaires. La résonance stochastique se manifeste par une amélioration de la transmission du signal utile, obtenue grâce à une augmentation du niveau de bruit. Selon le contexte, on peut définir différentes mesures pour caractériser cet effet. Dans le cas de Signaux utiles périodiques, on peut définir par exemple un rapport signal sur bruit dans le domaine fréquentiel à partir de la densité spectrale de puissance du signal de sortie [55]. Pour des signaux utiles apériodiques, on peut calculer par exemple un coefficient de corrélation entrée sortie , ou une information mutuelle entrée sortie . En présence de résonance stochastique, ces mesures suivent une évolution non monotone, passant par un maximum, en fonction du niveau de bruit. Dans la suite, nous allons revenir en détails sur les propriétés des signaux et systémes qui participent au phénomène de résonance stochastique.

Aperçu historique de l'étude de la résonance stochastique :

La résonance stochastique a été introduite pour la première fois dans le contexte de la dynamique des climats, au début des années 1980. Il s'agissait d'expli-quer la récurrence régulière des ères glaciaires [43],[2],[59] par la proposition du schéma suivant. Une ère glaciaire résulte de variations importantes de l'enso-leillement terrestre. Ces variations peuvent provenir de deux sortes de causes. La première est une cause périodique due à des variations d'excentricité de l'orbite terrestre, que l'on considère comme un signal cohérent du fait de sa périodicité. La deuxième est une cause aléatoire due à des fluctuation du rayonnement solaire, que l'on considère comme un bruit incohérent du fait de son caractère. erratique. La cause périodique est d'iflnuence insuffisante et elle n'est pas la seule qui provoque une ère glaciaire. Cependant, l'intéraction de la cause aléa-

2.6 Résonance stochastique 59

2.6 Résonance stochastique 60

toire avec la cause périodique permet la survenue d'une façon régulière des ères glaciaires. Il apparaît donc que

d'influence sur le résultat de la cause périodique cohérente peut être renforcée par la cause aléatoire.

A partir de cette première introduction, la résonance stochastique a progressivement été étendue à différents types de systèmes non linéaires. Elle a été étudiée tout d'abord dans le cas de la transmission de signaux périodiques par des systèmes dynamiques non linéaires bistables ou plus généralement multi stables [2],[59] Les systèmes de ce type sont gouvernés par des champs de potentiel possédant des états stationnaires stables, séparés par des barrières de potentiel qui peuvent être franchies sous l'influence conjointe du signal et du bruit.

La résonance stochastique a été ainsi mise en évidence dans différents systèmes dynamiques bistables tels que des systèmes mécaniques [63],[52], des circuits électroniques [1], des systèmes optiques à lasers ,[55], des systèmes magnétiques.

Par la suite, il a été montré [65] que la bistabilité n'était pas indispensable pour l'apparition de résonance stochastique. Celle-ci peut en effet avoir lieu dans des systèmes dynamiques non linéaires gouvernés par des potentiels monostables, c'est-a-dire présentant un seul état stable [64], [52].

L'effet a aussi été étendu aux systèmes excitables, [47], [50], [53]. Ces systèmes présentent un état de repos stable dont ils ne peuvent sortir que sous l'influence d'une excitation suffisamment forte. Celle-ci provoque alors une excursion déterministe qui entraîne le système loin de son état de repos et l'y ramené ensuite. Pour certains de ces systèmes excitables, l'excursion déterministe peut être réalisée par l'émission d'une impulsion en sortie, suivie du retour a l'état de repos du système.

Plus récemment, la résonance stochastique a été observée pour des systèmes sans une dynamique excitable avec retour spontané à l'état de repos, et gouverné uniquement par une dynamique à seuil . Dans ce cas, la sortie du système ne dépend à chaque instant que de l'amplitude du signal bruité en entrée, par

rapport à un seuil, Enfin dans des études encore plus récentes, des systèmes sans retour spontané à l'état de repos et sans seuil ont également été étudiés comme présentant de la résonance stochastique [44].

L'ensemble de ces développements a progressivement élargi le cadre de définition de la résonance stochastique. Une avancée supplémentaire a été de montrer les liens de ce phénomène avec d'autres situations où le bruit peut jouer un rôle bénéfique notamment avec le "dithering noise" utilise lors de la conversion analogique numérique d'un signal ou dans le codage d'une image[49].

2.6.1 Présentation des systémes dynamiques non linéaires bistables

Considérons un signal sinusoidal s(t) = Asin(2ðt/T_s) et un bruit stationnaire ç(t) appliqués en entrée d'un systéme dynamique non linéaire dont l'état x(t) évolue suivant

x³(t)

Ex^.(t) = x(t) - + s(t) + ç(t) (2.66)

_x2

b

avec les paramètres xb > 0 et E > 0.

Une telle évolution caractérise un système forcé par l'entrée s(t) + ç(t) et dont la relaxation libre Ex^. = -dU/dx est gouvernée par le potentiel "quartique"

x2	c4
2 +		4

Ce potentiel à double puits est représenté sur la Fig. 2.5 Un tel système possède deux états stationnaires stables _+-Xb correspondant aux deux minima du potentiel U(x = +-Xb) = -Xb/4 séparés par une barrière de potentiel de hauteur U0 = X2 b /4

Si on interprète mécaniquement l'évolution du système, l'Eq. (2.66) décrit le mouvement en régime suramorti (l'inertie x^.. est supposée négligeable devant les forces de frottements visqueux x^.) d'une particule dans le potentiel U(x)

2.6 Résonance stochastique 61

FIGURE 2.5 - Potentiel bistable quartique à double puits de l'Eq. (2.2) présentant deux minima en _+-Xb séparés par une barrière de potentiel de hauteur U0.

soumise à la force extérieure s(t) + ç(t)

En présence de l'excitation périodique s(t) seule et d'amplitude trop faible, la particule ne peut pas franchir la barrière de potentiel située autour de l'origine. Elle oscille alors périodiquement en restant confinée dans l'un des deux puits situés autour des minima du potentiel.

Si l'on ajoute un bruit ç(t) de faible amplitude, celui-ci pourra permettre occasionnellement à la particule de franchir la barrière de potentiel. Il en résulte alors en sortie une succession de transitions entre les deux puits du potentiel. Ces transitions sont corrélées avec le signal périodique en entrée s(t) car elles sont produites par l'action conjointe du signal s(t) et du bruit. En augmentant l'amplitude du bruit on augmente d'abord la probabilité de survenue de transitions cohérentes et on renforce ainsi la corrélation du signal de sortie (un signal binaire qui indique dans quel puits se trouve la particule) avec le signal s(t) d'entrée. En continuant d'augmenter l'amplitude du bruit, les transitions produites par la seule influence du bruit deviennent de plus en plus fréquentes, ce qui provoque progressivement une diminution de la corrélation de la sortie avec l'entrée périodique. jusqu'à un niveau optimal de bruit. Puis il provoque ensuite une décroissance de cette corrélation

2.6 Résonance stochastique 62

2.6.2 Quelques résultats antérieurs

Le phénomène de résonance stochastique a été initialement introduit dans [29] (voir aussi [25] dans le but de proposer une explication de l'apparence régulière d'époques glaciaires (c.f. [14] pour une description de leur modèl). Depuis, la résonance stochastique a été observée dans de nombreux systèmes physiques et biologiques, voir par exemple [27], [28], [26].

Pour être concrets, considérons l'équation

1 dxt = [xt- x3 t + A cos(yt)]dt + u vådWt å dyt = 1

(2.67)

Elle décrit le mouvement suramorti d'une particule dans un potentiel V (x, y) = -₂x² + 1

1 ₄x⁴ +Acos(y)x, où le dernier terme agit comme une force déterministe
périodique. Si A < A_c := 2/(3v3), alors la variété lente, d'équation x - x³ = Acosy, comporte deux branches stables, que nous noterons x^? _-(y) < x^?₊(y),

séparées par une branche instable x^? ₀(y). Soit H = V (0, H/2) - V (1, H/2) = 1/4 la hauteur de la barrière de potentiel pour cos y = 0. Les cas suivants peuvent se présenter :

1. si u = 0 et 0 < A < A_c, les trajectoires restent toujours voisines de l'une des variétés stables (c'est-à-dire l'un des puits de potentiel), sans jamais visiter l'autre variété stable;

2. si u > 0 et A = 0, on a affaire au problème bien connu du passage stochastique par-dessus une barrière de potentiel : les transitions ont lieu à des temps aléatoires, dont la loi converge, pour u ? 0, vers la loi exponen-

tielle [31], d'espérance d'ordre ^åe2H/ó2 (ceci reste vrai pour des potentiels multidimensionnels);

3. si u > 0 et 0 < A < A_c, la loi des transitions aléatoires sera infuencée par le terme périodique -A cos(y)x, qui rend ces transitions plus probables à certains instants qu'à d'autres; c'est cette trace du caractère périodique

2.6 Résonance stochastique 63

FIGURE 2.6 - FF1611 Une trajectoire (trait fin) de l'équation (2.67) présentant le phénomène de résonance stochastique. La trajectoire saute presque périodiquement d'une variété stable à l'autre (courbes en gras) en passant par dessus la barrière de potentiel (en traitillé).

du forçage dans le comportement de xt que l'on dénomme résonance stochastique

Les premières approches mathématiques à ce problème se sont concentrées sur des versions simplifiées de l'équation (2.67). En particulier, le cas où le potentiel V (x, y) est une fonction constante par morceaux de y a été considéré dans F291, et plus récemment dans F321. Le cas d'une variable x discrète, i.e. d'une chaîne de Markov, a été étudié dans F331,F341, puis dans F351. Enfin, les physiciens ont passablement étudié les propriétés spectrales du générateur de (2.67) et la densité de probabilité F361, F371. Ces difféerentes approches montrent en particulier que le phénomène de résonance est le plus prononcé pour une période 1/å proche du temps de Kramers e2H/ó2.

Une description du comportement des trajectoires a été donnée pour la première fois par Freidlin dans F381, en utilisant la théorie des grandes déviations. Ses résultats montrent que les trajectoires convergent en probabilité, au sens de la norme Lp, vers une fonction périodique P(t) :

lim ó?0å=e^-2H1/^ó2

~ Z T ) P | xt - P (t) |^pdt > ä = 0 (2.68) 0

2.6 Résonance stochastique 64

pour H1 > H, tous 8 ; T > 0 fixés et p ~ 1. La fonction P(t) suit le fond d'un puits de potentiel, en changeant de puits deux fois par période. Ce résultat s'applique à une classe de systèmes trés générale, en revanche il ne donne pas d'informations sur la vitesse de convergence, ni sur sa dépendance de 8 et p.

2.6.3 Description des trajectoires

Nous considérons ici le cas où a0 = A_c - A est un petit paramètre, ce qui a pour effet de rendre probables les transitions sur des échelles de temps sous-exponentielles.

FIGURE 2.7 - [16] Trajectoires prés d'une bifurcation selle-noeud évitée. (a) Pour u < a3/4

0 V å³/⁴, les trajectoires restent confinées, avec grande probabilité, dans un voisinage B(h) de la solution détermiste xdet

t . (b) Pour u ~ a3/4

0 V å³/⁴, les trajectoires ont toutes les chances de traverser la barrière de potentiel en x^? ₀(t) durant l'intervalle [-u²/³, u²/³]

Pour simplifier la présentation, nous nous concentrons sur l'équation (2.67), bien que les résultats de [16] s'appliquent à des équations plus générales.

Si a0 est petit mais positif, on est dans une situation de bifurcation selle-noeud évitée. Lorsque cosy = -1, la variété stable x^?₊(y) et la variété instable x^? ₀(y) s'approchent à une distanc e d'ordre /a0, et la barrière de potentiel a une hauteur d'ordre a3/2

0 . Nous choisissons l'origine du temps de manière que cos yt = -1 en t = 0.

2.6 Résonance stochastique 65

Dans le cas déterministe ó = 0,donne (c.f.[16][Théorème 2.5])

xdet t- x^?+(y) , å |yt | pouryt = -c0(va0 ? vå) xdet t- xc va0 ? vå pour | yt |= c0(va0 ? vå) xdet t- x^?+(y) ^ - å |yt | pouryt = c0(va0 ? vå)

(2.69)

pour une constante c0 > 0, où x_c = 1/v3 est le "centre" de la bifurcation évitée. Nous pouvons en définissant à nouveau

B(h) = {(x,t) .

. (x æ(t)ett)2 < h²}, (2.70)

avec ici,

1 1 æ(t) ~ (2.71)

| ?xf(xdet _t ,t) | ~ | t | ?va0 ? vå

Alors il existe une constante h0 telle que pour h = h0[| t |³/² ?a^3/4

0 ? å³/⁴] et

t = c0(va0 ? vå),

6

P^t0,x0{ôB(h) < t} = const (t 2t0 + 11 e-kh2/ó2, (2.72)

avec,k = 1 - O(å) - O(h/[| t |³/² ?a^3/4

0 ? å³/⁴]). Comme précédemment, nous avons

donc deux cas à considérer :

1. si ó < a3/4

0 ? å³/⁴, alors les trajectoires restent concentrées dans un voisinage

/

d'ordre ó æ(t) de la solution déterministe, et des transitions vers l'autre variété

stable sont peu probables

2. si ó = a³₀^/4 ? å³/⁴, alors le résultat ne s'applique que pour t = -ó²/³. Il suit du théorème (3.3.1) que le temps de premier passage ô⁰, disons, en x = 0, satisfait

P^t0,x0{ô⁰ < t} = const(t -2t°

to k[( t3)U ^3/2U 3/2]/ 2

å

-

₀å^ó

2 + 1 e

-- a

, (2.73)

2.6 Résonance stochastique 66

pour tous les t dans un voisinage de 0 dans le premier cas, et pour t < -u²/³ dans le second cas. Le comportement pour t > -u²/³ dans le second cas est alors décrit par l'analogue suivant du théorème (2.6.1).

Théorème 2.6.1. [16][Théorème 2.7]. Si u > a^3/4₀ Vå³/⁴, alors il existe une constante k > 0 telle que

P^t0,x0{ô⁰ > t} < 2 exp { - ku2 ⁱ (ogui /3)1 + e-k/ó2 (2.74)

pour -u²/³ + O(å) < t < u²/³.

Par conséquent, le système a une probabilité d'ordre 1- _e-kó⁴/³/å|log ó| d'effectuer une

transition dans l'intervalle de temps -u²/³ < t < u²/³. Une fois le niveau 0 atteint, le processus a une forte probabilité d'atteindre rapidement la variété lente en x^?_-(t), qu'il suit pendant une demi-période jusqu'à la transition suivante

Il est à relever que le seuil a3/4

0 V å³/⁴ de l'intensité du bruit rendant des transitions probables ne tend pas vers 0 avec le paramètre a0 contrôlant la hauteur minimale de la barrière de potentiel. Ceci est un effet purement dynamique, dû au fait que même si la barrière de potentiel disparait, elle le fait durant un intervalle de temps trop court pour augmenter la probabilité de transition.

Remarquons finalement que des résultats analogues peuvent être obtenus dans le cas d'un potentiel symétrique, dont la barrière est modulée périodiquement, comme dans le cas

1 dxt = [(a0 + 1 - cos t)xt - x3 t ]dt + u ./ådWt å dyt = 1.

(2.75)

Le petit paramètre a0 correspond à nouveau à la hauteur minimale de la barrière de potentiel. Les instants t tels que cos t = 1 correspondent à une bifurcation fourche évitée. Les résultats sont similaires aux précédents, avec d'autres exposants. Ainsi,

1. si u < u_c = a0 V å²/³, les trajectoires restent concentrées dans un voisinage d'ordre u/(| t | V./u_c) de la solution déterministe, et des transitions vers l'autre variété stable sont exponentiellement peu probables ;

2.6 Résonance stochastique 67

2. si u = u_c, les trajectoires peuvent passer d'un puits de potentiel à l'autre durant l'intervalle de temps [-vu, vu] ; aprés cet intervalle de transition, elles suivront à nouveau l'une des branches stables, et auront changé de branche avec probabilité exponentiellement proche de 1/2.

Chapitre 3

Étude qualitative des systèmes de

FitzHugh-Nagumo

Nous ajoutons maintenant les termes de bruit à l'équation (2.6) dans le cas où b =6 0. Nous considérons le système d'équations différentielles stochastiques :

? ?? ??

' 1 x= (x - x^3+ y)dt + o1dw1 t E ' y= (a - bx - cy)dt + o2dw2 t .

(3.1)

où o1 et o2 sont deux réels positifs représentant l'intensité du bruit, W ⁽¹⁾

t et W ⁽²⁾

t

sont deux mouvements browniens standards indépendants. D'après les théorèmes généraux [68], ce système admet une unique solution forte (xt, yt)t?[0,T] presque sûrement continue.

3.1 Limite inférieure du régime bruit fort

Nous cherchons à déterminer pour quels paramètres nous avons les trois comportements mis en évidence dans les simulations numériques. Nous nous plaçons dans le cas où le point d'équilibre est un foyer, c'est à dire pour ä = vå. Pour cela, nous transformons l'équation de FitzHugh-Nagumo en coordonnées polaires (r; è) introduites dans la proposition(2.4.4) après avoir transformé le système en coordonnées (î, æ) introduites dans la preuve de cette Proposition. En étudiant l'ordre de grandeur

3.1 Limite inférieure du régime bruit fort 69

des termes, nous obtenons un premier bruit de coupure ó_c. Il correspond à la limite

v

inférieure du bruit fort et est donné par ó_c = åä.

En faisant les mêmes transformations que pour la partie linéaire dans le cas déterministe, nous obtenons pour l'équation de FitzHugh-Nagumo (3.1) le résultat suivant :

Proposition 3.3.1. En coordonnées (r,è), pour 0 = ä = -vå, l'équation de FitzHugh-Nagumo (3.1) prend la forme

_r2 1

drt = [-uRrt 3a

åuI

t sinèt( Ä)² + 1 ( ó2

r3 t sinèt( Ä)³ + 1 cos²èt + ó² ₂sin²èt)]dt

åëI 2rt åë2 I

ó1

+ t
våëIsinètdW ⁽¹⁾

t + ó2cosètdW ⁽²⁾

3a

dèt = [ëI - rtcosèt(

åëI

Ä)² + 1

t cosèt( Ä)³]dt + ¹ [ ó1

r2 t

åëI rt våëI ]cosètdW⁽¹⁾ - ó2sinètdW ⁽²⁾

(3.2)

où

Ä = -uRî - uIæ

et nous rappelons la définition de uR et uI

uR = ä

å

vå - ä2

et uI =

å

Preuve. En translatant l'origine au point d'équilibre du système (x*,y*), le système de FitzHugh-Nagumo (3.1) s'écrit :

ådut = [(1 - 3a²)ut + vt - 3au²_t - u³_t]dt + våó1dW ⁽¹⁾

t

dvt = -utdt + ó2dW ⁽²⁾

t

Faisons ensuite le changement de variables qui permet d'obtenir la forme de Jordan pour la partie linéaire

uv 1R 0 æ

3.1 Limite inférieure du régime bruit fort 70

nous obtenons alors le système :

dît = = [-uRît - uIæt]dt + ó2dW ⁽²⁾

t

3a (Ät)² + ¹ (Ät)³]dt + ó1

dæt = [uIît - uRæt - dW⁽¹⁾

åuI åuI y/åuI

où

Ät = -uRît - uIæt

Passons ensuite en coordonnées polaires en posant

î = r cosè
æ = r sinè

Nous cherchons un système sous la forme

drt = ñ1(rt, èt)dt + ø¹₁(rt, èt)dW ⁽¹⁾

t + ø²₁(rt, èt)dW ⁽²⁾

^t (3.3)

dèt = ñ2(rt, èt)dt + ø¹₂(rt, èt)dW ⁽¹⁾

t + ø²₂(rt, èt)dW ⁽²⁾

t

D'après la formule d'Itô, nous avons

dît = cosètdrt - rtsinètdèt - ₂rtcosèt(dèt)²

1

(3.4)

1

dæt = sinètdrt + rtcosètdèt - ₂rtsinèt(dèt)²

où

(dèt)² = (ø²₁(rt, èt)dW ⁽¹⁾

t + ø²₂(rt, èt)dW ⁽²⁾

t )2

= [ø¹₂(rt, èt)² + ø²₂(rt, èt)²]dt

Par combinaison linéaire, nous obtenons :

drt = cosètdîtsinètdæt + 2rt[ø^1 1 2(rt, èt)^2 + ø^22(rt, èt)^2]dt rtdèt = -sinètdît + cosètdæt

(3.5)

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle 71

En remplaçant dît et dæt par les expressions du système (3.4) , nous avons :

_r2 1

drt = [-uRrt

åuI

3a

t sinèt( Ä)² + 1 ( ó2

r3 t sinèt( Ä)³ + 1 cos²èt + ó² ₂sin²èt)]dt

åëI 2rt åë2 I

ó1 + t våëI sinètdW ^(1) t + ó2cosètdW ^(2) 3a rtcosèt( Ä)^2 + 1 dèt = [ëI - r2 t cosèt åëI åëI où nous avons posé						( Ä)^3]dt + ^1 [ ó1 t rt våëI ]cosètdW^(1) - ó2sinètdW ^(2) (3.6)
1 uI	3a åuI	rcosè(	Ä)^2 ' 1 r( åu2 I	Ä)^2

Ä = -uRcosè - uIsinè

t

(rt,

t)

è

è

=ó1

cos våëIrt

ø2 2(rt, èt) = -ó2sinèt

rt

Nous n'avons plus qu'à remplacer ø¹₂(rt, èt) et ø²₂(rt, èt) dans l'équation (3.4), pour obtenir (3.2).

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle

Nous évaluons et comparons l'ordre de grandeur des différents termes de (3.2) pour étudier le comportement des solutions.

Nous considérons le cas | ä |= vå. Nous avons alors uI uR. Regardons l'ordre de

grandeur des autres termes dans l'équation (3.2). Comparons uI et 3arcosè(

Par identification entre (3.3) et (3.5), nous trouvons Ä)2/(åuI).

La constante 3a est proche de v3 donc d'ordre 1. Nous avons alors

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle 72

sinè(0)² = u²_Rsinècos²è - 2uRuIcosèsin²è + u²_Isin³è (3.7)

Nous considérons que cosè et sinè sont de l'ordre de 1. Cela donne pour 0 l'estima-tion :

(0)² 'u2 _R + u2 I = 1 å

et donc

3a 2 rcosè( åuI

0)^2 ' r å - ä2

Nous sommes dans le cas ä² « å . Pour que le terme en uI soit dominant dans la

0)²,

deuxième équation différentielle qui porte sur è, c'est à dire uI » 3arcosè/åuI( nous devons avoir

r « å

Posons

_ó2

S = ~2I cos²è + ó2 ^s2n²è.

Regardons l'ordre de grandeur de S.

4e~i2 2

S + U₂
4å - ó2

Si ä² « å, nous avons alors pour S l'estimation

S ' ó²₁ + ó²₂

Comparons maintenant les termes uRr et S/r. Dans le cas où ä² « å et r « å, uRr < vå et S/r > (ó2 ₁ + ó² ₂)/å. Pour r suffisamment petit, le champ de vecteur est horizontal donc è varie beaucoup plus vite que r et nous pouvons regarder la moyenne de r sur une période c'est à dire sur [0,2ð]. Regardons la moyennisation en èt sur [0,2ð] de l'équation sur drt du système (3.2),

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle 73

sinè(

Ä)^3 = -u^3Rsinècos^3è - 3u^2RuIsin^2ècos^2è - 3uRu^2Isin^3ècosè - u^3Isin^4è (3.8)

Calculons les différentes intégrales des termes en è qui apparaissent dans les développements (3.3) et (3.4) :

Z0	2ð 2ð cosèdè = J sinèdè = 0 0

Z0

2ð 2ð 2ð

sinècos²èdè = Jo

cosèsin²èdè = J sin³èdè = 0

Z0

0 o

2ð 2ð

o

sinècos³èdè = J sin³ècosèdè = 0

2ð

_p

4

J0 sin²ècos²èdè = ð

₁

2ð

sin⁴èdè = 3ð

4

j2ð sin²èdè = j2ð

cos²èdè = ð

Nous obtenons alors l'équation différentielle ordinaire portant sur le rayon moyen r :

dr = -uRr dt

2 2 8å(u2R + u^2I)r^3 + (2~~2I + 2) r + Vó? + ó^22dWt

1

Nous pouvons un peu simplifier en utilisant u²_{1 vå} et nous posons ó² = ó2 1 + ó² ₂,

3 1

dr = [-uRr - 8å2r3 + ó r ]dt + ódWt (3.9)
2

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle 74

Calculons la valeur à l'équilibre _req de l'équation différentielle déterministe associée à l'équation (3.5).

C'est une racine du polynôme P de degré 4 :

34 ó2

Preq = uRr²_eq - 8å2 req + 2

Le polynôme P a une unique racine réelle positive req

s4å2 2 )

30.²

req = 3 (uR + u_R + 2å2

Regardons l'ordre de grandeur de _req suivant la valeur de uR. Nous pouvons distinguer

deux cas :

si u²_R » ó²/å², ce qui revient à ó » å alors

3ó² 3ó²

u²_R + _2å2 ti uR(1 + _4å2 )

ce qui implique pour req

si u²_R « ó²/å², ce qui revient à ó « å alors

req ti å1/2ó1/2

req ti

_{s r}

ó2 åó2

=

ä

uR

3.3.2 commentaire

Nous avons travaillé dans le cas où | ä |< ./å. Nous allons comparer le rayon moyen req avec å qui est la distance du point d'équilibre à la ligne séparatrice. Nous considérons que si le rayon moyen est plus petit que å, nous ne faisons pas (ou rarement) de spike alors que si ce rayon est plus grand que å nous avons une suite de spikes.

Nous distinguons alors les deux cas que nous avons obtenus pour l'approximation de req :

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 75

_V v

1. pour le cas req ' ~ó²/ä le rayon moyen est égal à ~ pour ó_c = ~ä Dans ce

cas ä est bien plus petit que ó

2. pour le cas req ' E1/2ó1/2 et ä << ó le rayon moyen est égal à E pour ó_c = E Nous avons donc

1. 0 < |ä| << E, ó_c = E 2. ~ >> |ä| < v~ , ó_c = v ~ä

La valeur ó_c est l'intensité de coupure entre le régime sans spike et le régime avec une suite de spikes : pour ó < ó_c, nous n'avons pas de spike et pour ó > ó_c, nous avons une suite de spikes. Nous allons affiner les frontières dans la partie suivante

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible

Nous transformons l'équation (3.1) en coordonnées (îz) qui ont été introduites dans la partie sur l'équation déterministe. Ensuite nous nous intéressons à l'approximation de cette équation pour des valeurs de z petites. Nous pouvons ainsi exprimer î en fonction du temps et obtenir une EDS portant sur z que nous résolvons. En considérant que nous obtenons un spike quand z devient négatif, nous pouvons calculer la probabilité qu'il n'y ait pas de spike, c'est à dire que z reste positif. A partir de l'expression de cette probabilité , nous étudions pour quelles valeurs de ó, E et ä cette probabilité est proche de 0, proche de 1 et proche de 1/2. Nous obtenons trois bruits de coupures :

óc1 = E¹/⁴ä qui est la limite supérieure du bruit faible, óc2 = E³/⁴ qui est la limite

v

supérieure du bruit fort et une limite intermédiaire óc3 = ~ä

pour laquelle nous avons la même probabilité de faire un spike et une petite oscillation. Nous avons alors les trois cas :

1. ó << E¹/⁴ä correspond au régime où il y a de rares spikes isolés

2. ó >> E³/⁴ correspond au régime il y a une suite de spikes ininterrompus

3. < E¹/⁴ä < ó < E³/⁴ correspond au régime intermédiaire avec des trains de spikes entrecoupés de petites oscillations. Dans ce régime, nous avons le cas particulier

v

ó = åä où la probabilité de faire un spike est égale à 1/2

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 76

3.3.1 Transformation de l'équation stochastique

Nous écrivons l'équation (3.1) dans les coordonnées (î, z) introduites dans l'étude du système déterministe (2.6) Nous rappelons la définition de la variable

1 - ce

a* =
	3

Proposition 3.3.1. Dans les variables (î, z) et le temps t/\/E le système de FitzHugh-Nagumo (3.1) prend la forme

dît = (¹₂ - z + 3E i )dt + ó1 + d wt¹

dzt = (u + _2îtzt + 3^Eî⁴)dt - 2 ó1îtdwt¹ + ó2îtdwt²

(3.10)

Où

ó1 = -3a*6^-3/^4ó1 ó2 = 3a*E^-3/^4ó2				(3.11)
u = u	ó1^2 3a*	3a*(ä - ó^21/~) = \/E

Pruve

Nous allons faire les mêmes changements de variables que pour l'équation déterministe

dans la proposition (2.4.4)

\/~dW ⁽¹⁾

~dxt = (xt - x3 t + yt)dt + ó1 t

dyt = (a - xt - cyt)dt + ó2dW ⁽²⁾

t

Le premier changement de variables

x = u + a_*

(3.12)

v = v + a³_* - a*

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 77

Maintenant nous faisons le quatrième changement :

qui est le changement d'origine ne modifie pas les termes stochastiques. Nous obtenons le systéme en coordonnées (u, v) :

v~dW ⁽¹⁾

dut = (ut - 3á * u2 t - u3 t + c~ut)dt + ó1 t

dvt = (ä - ut - cvt)dt + ó2dW ⁽²⁾

t

Où le parametre ä = a-a_*-c(a³_*-a_*). A présent nous faisons le changement d'échelle

u = vEî v = Eç

(3.13)

Les termes stochastiques sont divisés par vE. Cela donnes le système en (î, ç) :

vEdît = (çt - 3á * î²_t + vE(cît - î³_t ))dt + ó1 v~dW ⁽¹⁾

t

vEdçt = ( ä _vE - ît - cvEçt)dt + ó2v~dW ⁽²⁾

t

Ensuite nous faisons le changement de temps t = vEt^, Nous avons l'égalité eb loi vaWat = Wt. Dans notre cas nous avons Wt = WvEt, = ¹/⁴W_t^,. En notant t a' la

place de t' pour alléger l'écriture, nous obtenons

dît = (çt - 3a_*î²_t + vE(cît - î³_t ))dt + E^-3/⁴ó1dW_t¹

dçt = ( ä v~ - ît - cv~çt)dt~-3/4ó2dW t 2

(3.14)

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 78

(3.20)

ç = î² + z - 1 (3.15)

2

D'après la formule d'Itô,

dç = dzt + 2îtdît + (dît)² (3.16)

et

(dît)² = ((çt - 3a_*î²_t + V ,(cît- î³_t ))dt + E^-3/⁴ó1dW_t¹)² (3.17)

avec les régles de multiplication

dt² = dt.dw¹_t = 0

(dw¹_t)² = dt

(3.18)

Dans le calcul du carré dans l'expression (3.7), il ne reste donc qu'un terme

(dî2t )² = ~^-3/²ó²₁dt (3.19)

Nous avons donc le système :

1 / t

dît = zt - 6a* + V E(c6 - î³_t ) _]dt + E^-3/⁴ó1dW¹

~ ä 1 - 6a*îtzt + V ~(6a*î4

dçt = V - ~-3/2ó2 t + c( 1 - 9a*î2 t - zt))]dt - 2~-3/4ó1dW t 1 + ~-3/4ó2dW t 2

6a_*

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 79

Nous finissons par deux renormalisations en changeant î en -î = 3a_* et z en z = 3/a_*, nous obtenons

11 1 ^{3 3}/^{4 1}

dît =

dzt =

13a_*ä

€ - 3a_*c^-3/²ó² 1- 2îtzt + v~( 2 î4 t +c(1 2 - 3a*î2 t - zt))]dt - 6a*c-3/4ó1îtdW t 1 9a2 *

+ 3a*~-3/4ó2dW t 2

(3.21)

En définissant, ó1, ó1 et u comme dans la proposition, nous avons le système d'EDS (3.4.1).

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 80

FIGURE 3.1 - Exemples de représentation de en fonction du temps. Les paramètres sont c = 0, 01 , 8 = 3.10^-3 pour la ligne du haut et 8 = 5.10³ pour la ligne du bas. L'intensité du bruit est o1 = o2 = 1, 46.10^-4 , 1, 82.10^-4, 2.73.10^-4et3, 65.10^-4.

Sur la figure( 3.1), nous avons représenté l'évolution de la variable en fonction du temps pour différentes valeurs de 8, o1 et o2. Pour un bruit faible, nous avons de rares spikes isolés. Le nombre de spikes augmente ensuite avec le bruit mais leur amplitude est presque constante. Entre deux spikes, nous observons des petites oscillations autour de la valeur d'équilibre qui est proche de -u. Quand le bruit est faible, il y a un grand nombre de petites oscillations entre deux spikes et ce nombre diminue quand le bruit augmente. L'amplitude de ces petites oscillations n'est pas constante.

3.4 Commentaire 81

3.4 Commentaire

Nous allons regarder comment évolue le comportement de la solution du système (3.6) suivant les valeurs des différents paramètres. Avant d'étudier le système (3.6), nous considérons d'abord une approximation de ce système. Nous étudierons dans une autre partie l'écart entre la solution approchée et la solution de (3.4.1) et nous montrerons que cet écart est petit. Nous pouvons séparer le comportement de la solution en deux parties :

1. la trajectoire reste au voisinage du point d'équilibre P. La variable z est alors positive.

2. la trajectoire s'éloigne du point d'équilibre en allant dans la région z < 0

Nous considérons qu'il y a un spike quand la trajectoire coupe la ligne séparatrice z = 0 Pour z petit, nous pouvons approcher la première équation par dît/dt ' 1/2 et nous approchons î par

t

ît = 2 + î0 (3.22)

En prenant î0 = 0, nous avons alors pour zt l'équation approchée

dzt = [u + tzt]dt - ó1dW¹ + ó2d W² (3.23)

Par la méthode de la variation de la constante, nous obtenons :

t

zt = e^t2/²(z0e^-t2/² + u J e^-s2/²ds - ó1 J t e^-s2/²dW_s¹ + ó2 J t e-s2/2d W_s²) (3.24)

to to to

Le processus zt suit une loi normale N(E(zt), Var(zt)). Calculons E(zt) et Var(zt) :

t

E(zt) = e^t2/²(z0e^-t2/²

+ u f e^-s2/²ds) (3.25)

to

3.4 Commentaire 82

var(zt) = E[(zt - E(zt))²]

= et2E(-ó1 ^J e^-s2/²d_s¹ + ~2 ^J e-s2/2dWs2 )2

_to W to

/t t

(3.26)

to to

= et2(-ói _J e^-32ds + ó₂²J e^-s2/²ds)

par l'isométrie 'Itô.

Regardons la probabilité qu'il n'y ait pas de spike, c'est à dire que zt est plus grand qu'une valeur seuil x :

P[zt > x] =

Zæ

+00 e-(y-E(zt))^2/2var(zt) .2ðvar(zt)

dy (3.27)

100

æ _e-y²/2

(x) = 2ð

(3.30)

En faisant le changement de variable

u =	y - E(zt) (3.28) .var(zt)
nous obtenons +00 L P[zt > x] = e--u^2/2 -E(zt))/var(zt) du ü 2ð = 1 - ö(x - E(zt) .var(zt)^) où ö est la fonction de répartition de la loi normale standard		(3.29)

3.4 Commentaire 83

Nous prenons t0 = 0, x = 0 et z0 << u et étudions alors

x - IE(zt)

limt?+8 (3.31)
Vvar(zt)

Nous avons

Z0	+82 1 f+Ô0 2 ð s^2e^-sds = 2 ,J e^-sds = 4 (3.32) 0

Nous pouvons alors approcher

lim Vvar(zt) = Vð e^t2/²ó (3.33)

t?+8 4

Cela nous donne

lim t?+8

-E(zt Vvar(zt)

ð1/4 (3.34) ó

La probabilité p de faire un spike est égal à

P = ö(-

^f...1,ð1/4) = ö(-(ðE)^1/^4ä/2 +/~2 ~ (3.35) V/ 1 2

3.4 Commentaire 84

Nous pouvons distinguer les trois différents régimes suivant la valeur de u/ó

1. u >> ó alors la probabilité p est très petite et nous sommes dans le régime où il

\/

n'y a pas de spike. Dans les variables de départ, cela donne ó2 1 + ó2 2 << €¹/⁴ä

2. u << ó, alors la probabilité p est proche de 1. Nous sommes dans le régime où il y a une suite de spikes u << ó implique que u² << ó² qui s'écrit dans les

\/

variables d'origine ó2 1 + ó2 2 >> 3/4

3. |u| = O(ó) nous avons alors le régime intermédiaire avec une alternance de suite

\/

de spikes et de petites oscillations. Cela correspond à €¹/⁴ä << ó2 1 + ó2 2 << 3/4 Dans ce régime, nous avons le cas particulier u = 0 C'est a' dire ó1 = vcä où la probabilité de faire un spike est égale à 1/2.

Chapitre 4

Simulation avec R

R est un logiciel de calcul scientifique R est un environnement intégré de manipulation de données, de calcul et

de préparation de graphiques. Toutefois, ce n'est pas seulement un " autre " environnement statistique (comme SPSS ou SAS, par exemple), mais aussi un langage de programmation complet et autonome.

4.1 Le modèle de Hull-White,Vasicek

Exemple d'application (dans chapitre 1)

L'intérêt pratique de la simulation d'équations diférentielles stochastiques est très important, car la résolution analytique n'est pas toujours facile. Cela rend difcile l'étude de l'évolution dynamique d'un phénomène, ou par exemple l'analyse statistique de la variable aléatoire : instant de premier passage (IPP) correspondant à la solution de l'équation, qui sera illustré dans ce chapitre. Aujourd'hui, le développement de l'outil informatique motive les scientifiques pour mettre au point des schémas numériques pour la résolution approchée des EDS.

Nous utilisons dans le paragraphe qui suit le Logiciel R avec le package Sim :DiffProc avec un sous programme personnel. Nous utilisons également le package Sim :Diff-ProcGui établi par Guidoum pour avoir d'autre aspects de la simulation.

Considérons le processus X à valeurs dans R solution de

dXt = r(è - Xt)dt + ódWt

4.1 Le modèle de Hull-White,Vasicek 86

ou r, è, u sont des constantes, W est un Ft-mouvement brownien. En posant

Zt = xt - è

par La formule d'Itô nous avons

dZt = dxt

= r(è - Xt)dt + udWt = -rZtdt + udWt

Le processus Z est un processus d'Ornstein-Uhlenbeck la solution sous forme intégrale est donnée par

Z t

Zt = z0e_^rt + ue_^rt e^rsdW_s

0

En remplaçant Zt par Xt - è nous obtenons

Z t

Xt - è = (X0 - è)e_^rt + ue_^rt e^rsdW_s

0

Z t

Xt = X0exp^(_rt) + è(1 - exp^(_rt)) + uexp(-rt) esp^(rt)dw_s

0

Simulation numérique des trajectoires

Nous simulons d'abord quelques trajectoires à l'aide du package Sim.DiffProcGui

Efectuons un changement de paramètres, par exemple, on prend u plus petite que 1,

pour voir l'efet du coefficient de diffusion sur la perturbation de la trajectoire

Nous remarquons que les trajectoires [4.3], [4.2] sont plus lisses que la trajectoire [4.1]

lorsque u est plus petite que 1

Nous pouvons aussi utiliser une autre méthode de simulation. La fonction "snssde"

permet de simuler numériquement la solution approchée des EDS. R> help("snssde")

R> example("snssde")

R> snssde(N, M, T = 1, t0, x0, Dt, drift, diffusion)

Détails :

N : La taille du processus.

M : Le nombre de trajectoires à simuler.

T : L'instant final.

4.1 Le modèle de Hull-White,Vasicek 87

FIGURE 4.1 - Trajectoire du modèle de HWV avec è = 2.5, r = 4, u = 1.2

t0 : L'instant initial. x0 : La valeur initiale.

Dt : La discrétisation ou le pas (par défaut T = t0 + Dt * N)

Driff : Coefficient de dérive.

Diffusion : Coefficient de diffusion

Utilisons cette méthode pour le modèle de HWV

R> f<-expression(4 * (2.5 - x))

R> g<-expression(1.2)

R> res<-snnssde1d(driff=f,diffusion=g,M=1,x0=10,t0=0,T=10,N=1000,Dt=0.01)

R> plot(res,main="Le modèle de Hull-white/Vasicek",xlab="temps",ylab="Xt", sub="Xt=4(2.5-

Xt)+1.2dWt")

4.1 Le modèle de Hull-White,Vasicek 88

FIGURE 4.2 - Trajectoire du modèle de HWV avec è = 2.5, r = 4, ó = 0.1

Ornstein-Uhlenbeck simulation

xo = 10 mu = 2.5 sig = 1.2

alpha = 4

mesh = 100

t = 10

par(mfrow = c(1, 2),mar = c(2, 1.75, 1.5, 1),tck = -.03,mgp = c(3, .5, 0),cex.axis =

0.7)

bm = c(0, cumsum(rnorm(1000)))/sqrt(100)

xlist = numeric(1001)

for (iin0 : 1000)

xlist[i + 1] = xo * exp(-alpha * i/100) + mu * (1 - exp(-alpha * i/100)) +

sig * exp(-alpha * i/100)) * sum(exp(alpha * i/100) * (bm[1 : (i + 1)] - bm[1 : (i)]))

plot(seq(0, 10, .01),xlist,type = »l»,ylim = c(-2, 10),xlab = »»,ylab = »»)abline(h = -1,lty = 2)

for (iin1 : 1)

4.1 Le modèle de Hull-White,Vasicek 89

FIGURE 4.3 - Trajectoire du modèle de HWV avec è = 2.5, r = 4, ó = 0.01

bm = c(0, cumsum(rnorm(1000)))/sqrt(100)

xlist = numeric(1001)

for (iin0 : 1000)

xlist[i + 1] = xo * exp(-alpha * i/100) + mu * (1 - exp(-alpha * i/100)) +

sig * exp(-alpha * i/100) * sum(exp(alpha * i/100) * (bm[1 : (i + 1)] - bm[1 : (i)]))

lines(seq(0, 10, .01),xlist,type = »l»)

Interprétation

Pour un w fixé de manière aléatoire la simulation nous permet de mettre en évidence l'idée que la trajectoire de Xt(w) est de plus en plus lisse "presque dérivable" quand ó est proche de 0 (réduction de la perturbation), de plus si on prend ó nul l'équation différentielle stochastique devient une équation différentielle ordinaire dont la trajectoire de sa solution est complètement lisse "dérivable".

Remarque

En peut simules le tempe de premier passage avec la commande suivants "fptsde1d"

Exemple

dX(t) = -4 * X(t) * dt + 0.5 * dW(t)

S(t) = 0 (constant boundary)

set.seed(1234)

4.1 Le modèle de Hull-White,Vasicek 90

Method:

FIGURE 4.4 - Trajectoire du modèle de HWV avec = 2.5, r = 4, u = 1.2

FIGURE 4.5 - Trajectoire du modèle de HWV avec = 0.05, r = 0.01, u = 0.01

f<-expression( -4*x)

g<-expression(1.2)

St <- expression(0)

res1 <- fptsde1d(drift=f,diffusion=g,boundary=St,x0=2)

res1

plot(res1)

Les détailles de l'excusions

Ito Sde 1D :

dX(t) = -4 * X(t) * dt + 1.2 * dW(t)

4.1 Le modèle de Hull-White,Vasicek 91

Euler scheme of order 0.5

Summary :

Size of process N = 1000.

Number of simulation M = 100.
Initial value x0 = 2.

Time of process t in [0,1].

Discretization Dt = 0.001.

boundary [1] 0

Exemple de resonoce stochastique

La résonance stochastique est un phénomène par lequel la transmission d'un signal utile ou cohérent, par certains systèmes non linéaires, peut être améliorée par l'aug-mentation du bruit appliqué au système.

dx dt

+ ît

= [x - x³ + s(t)]¹

~

ó

avec s(t) = Asin(2ðv0t) et ît = _v~dWt

simulation(R)

par(mfrow=c(1,3),mar=c(2,1.75,1.5,1),tck=-0.03,mgp=c(3,.5,0))

sig <- c(0.2,2,0.8) set.seed(20) for (k in 1 :3) sigma<- sig[k]

T <- 100 n <- 600 A <- .3 z <- 1

w <- 2*pi/40

x <- numeric(n+1)

x[1]<- 0

for (i in 2 :(n+1)) x[i] <- x[i-1] + (z*x[i-1] - z*x[i-1]³ + A * sin(w * T * (i - 1)/n)) *

T/n + sigma * sqrt(T/n) * rnorm(1)

plot(seq(0,T,T/n),x,type = »l»,ylim = c(-1.5, 1.5),xaxt = »n»,xlab = »»,ylab =

»»,yaxt = »n», lwd = 0.5)

axis(2, c(-1, 0, 1))

axis(1, c(0, 25, 50, 75, 100))

curve(A * sin(w * x), 0, 400, lty = 2, add = TRUE)

Conclusion

Dans ce mémoire, nous avons étudié les systèmes lent-rapides déterministes puis stochastique et on a introduit un exemple typique de ces système sont les résonances, nous avons donné des exemples pratiques avec simulation.

Ce mémoire est consacré à l'étude des systèmes de FitzHugh-Nagumo stochastiques qui ont été introduits pour modéliser la transmission de l'influx nerveux dans un neurone. Nous avons commencé par rappeler des résultats sur le système déterministe associé afin de trouver les valeurs des paramètres intéressants pour notre étude. Celles-ci correspondent aux cas où le système admet au moins un point d'équilibre stable et où le système est excitable.

Comme perspectives, on s'intéresse à l'étude du comportement de solutions des systèmes lent-rapides plus compliqués dans lesquels les coefficients du système de FitzHugh-Nagumo (a, b, c) sont aléatoires, et dans ce cas, on introduit d'autres approches probabilistes pour étudier ce système et voir le comportement asymptotique puis la stabilité et la stabilisation.

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