Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

Chapitre 2

Systéme lent-rapide stochastique

2.1 Résultats généraux sur les systèmes lents-rapides déterministes

Nous considérons le système lent-rapide de dimension deux de la forme

?

??

??

x,

z,

(2.1)

=	1 f(x, y) ~

= g(x,y).

avec f et g deux fonctions suffisamment régulières de R² dans R et c un paramètre petit. La variable x est alors la variable rapide et y la variable lente. Nous définissons les branches d'équilibre par

Définition 2.1.1. Supposons qu'il existe un intervalle I C R et une fonction continue x^* : I -+ R telle que

Vy E I,f(x^*(y),y) = 0

On appelle branche d'équilibre du système (1.1) l'ensemble

M0 = {(x^*(y),y) : y E I}

De plus, soit

2.1 Résultats généraux sur les systèmes lents-rapides déterministes 30

Nous étudions ensuite la dynamique au niveau d'un point de bifurcation noeud-col.

la linéarisation du champ de vecteur correspondant à la variable rapide au point (x^*(y), y). La branche d'équilibre est dite stable (respectivement instable) si a^*(y) est négatif (respectivement positif),borné et ne s'annule pas, uniformément pour y E I.

Exemple 2.1.1. (Equation déterministe de FitzHugh-Nagumo)

?

??

??

x,

z,

1 = (x - x^3+ y) E

(2.2)

= a - bx - cy.

Dans le cas de l'équation de FitzHugh-Nagumo, il est plus simple d'exprimer les branches d'équilibre en fonction de x. Nous avons alors y^*(x) = x³ - x et

a^*(x) = 1-x³ La branche d'équilibre (x, x³-x) est donc stable pour x < -1/iJ3 et x > 1/iJ3 et instable pour x E] - 1/iJ3, 1/iJ3[

Nous avons deux résultats sur les orbites qui commencent suffisamment près de la branche d'équilibre stable. Le premier, de Tikhonov [10] dit que les orbites qui commencent suffisamment près de la branche diéquilibre stable, suivent cette branche à distance d'ordre E Le deuxième, de Fenichel [11] précise ce résultat en disant que toutes les orbites, commençant près de la branche d'équilibre stable, convergent vers une courbe invariante.

Théorème 2.1.1. ([10]) Toute orbite commençant dans un voisinage suffisamment proche de la branche d'équilibre stable M0 est attirée de façon exponentiel-lement rapide dans un voisinage d'ordre E de M0

Théorème 2.1.2. ([11]) Si la branche d'équilibre M0 est stable, il existe alors une courbe M qui est E proche de M0 et invariante sous le flux, c'est à dire que si (x(0), y(0)) E M alors (x(t), y(t)) E M tant que y(t) E I La courbe M attire les orbites voisines exponentiellement rapidement.

La courbe invariante M admet une équation paramétrique de la forme

x = x(y, E) , avec x(y, E) = x^*(y) + o(E).

2.2 Système lentement dépendant de temps avec une dimension 31

Définition 2.1.2. Un point(x^*, y^*) est un point de bifurcation noeud-col si le champ de vecteurs rapide vérifie les conditions

f(x^*,y^*)	=	0
?xf(x^*,y^*)	=	0
?xxf(x^*,y^*)	=6	0
?yf(x^*,y^*)	=6	0