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Marchandage et partage d'objets


par Bastien Ibanez - Lucas Bugeaud
Université Paris Dauphine - Master 1 - Mathématiques appliquées 2021
  

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1

Mémoire - Marchandage et partage d'objets

Bastien Ibanez - Lucas Bugeaud - (Valentin Autie)
5 mai 2021

Table des matières

1

2

Introduction au principe de marchandage

1.1 Motivations

1.2 Quelques exemples de marchandages

1.3 Exemple d'étude

Les jeux de marchandage selon J.F Nash

3

3

3

4

5

 

2.1

Mise en place du modèle

5

 
 

2.1.1 Notations

5

 
 

2.1.2 Théorie de l'utilité

5

 
 

2.1.3 Définition du modèle

6

 
 

2.1.4 Les propriétés de Nash

6

 

2.2

Existence et unicité de la solution de Nash

7

 

2.3

Exemple d'application réelle de cette théorie

9

 

2.4

Conclusion sur la partie théorique de la solution de Nash

10

3

Développement numérique du jeu de marchandage

11

 

3.1

De la théorie au numérique

11

 

3.2

Exhibition de la frontière de Pareto

11

 

3.3

Solution du jeu de Nash

14

4

Étude numérique : voiture partagée "uberisée"

19

 

4.1

Rappel introductif

19

 

4.2

Notations

20

 

4.3

Choix de la dimension 1

20

 

4.4

Perspectives d'études

20

 

4.5

Application de l'algorithme à un cas simple

21

 

4.6

La problématique du mensonge

23

 
 

4.6.1 Jeu à information parfaite

23

 
 

4.6.2 Nombre d'occurrence de chaque solution en information parfaite

25

 
 

4.6.3 Jeu à information imparfaite

26

 

4.7

Étude statistique de la nature de la solution de Nash dans notre modèle

29

 

4.8

Conclusion de la partie numérique sur la solution de Nash

32

2

5

 

La solution de Nash : une solution faisant débat

5.1 Remise en cause de la solution de Nash via l'axiome d'indépendance aux alterna-

tives non pertinentes

5.2 Axiome de monotonicité de Kalai-Smorodinsky

34

34

37

6

Conclusion

 

42

7

Bibliographie

 

43

8

Appendice

 

44

 

8.1 Codes et résultats consoles annexe de la partie 4

44

 

8.2 Code réalisé tout au long de ce mémoire

48

 

8.2.1 Fichier

Nash_solver.py

48

 

8.2.2 Fichier

Fonctions_distances.py

54

 

8.2.3 Fichier

Etude_probleme_voiture_partagee

56

 
 

8.2.4 Fichier

Applications_theorie_des_jeux.py

72

 

8.2.5 Fichier

Applications_statistiques.py

82

3

Ce mémoire traite la notion de jeu de marchandage apparue en 1950 suite aux recherches faites par le mathématicien J.F Nash qui s'intéressait à la collaboration pour un profit mutuel entre deux individus. Il se décompose en trois parties majeures. Dans la première, nous introduisons, expliquons et démontrons la démarche suivie par J.F Nash pour trouver une solution à cette collaboration entre deux individus. La deuxième partie nous donne l'occasion d'implémenter une telle solution et de la mettre en pratique dans un problème que nous avons imaginé. Le problème consiste à étudier une situation lors de laquelle une voiture doit rendre service à deux usagers en les amenant à la destination qu'il souhaite tout en ayant la possibilité de les prendre conjointement. L'enjeu de cette partie est d'étudier la viabilité de la solution de Nash appliquée à une problématique actuelle. Enfin dans la troisième partie, nous allons voir que la démarche consistant à se reposer sur l'utilisation d'axiomes pour trouver une solution n'est pas unique et qu'il est possible de proposer d'autres axiomes permettant de trouver une solution différente et dans certains cas plus pertinente.

1 Introduction au principe de marchandage

1.1 Motivations

Un jeu de marchandage s'intéresse à la manière dont deux agents (ou plusieurs par extension du jeu initial) se partagent leurs biens. Il peut s'agir d'une production agricole, d'un bien matériel tel que du mobilier, un objet de valeur,... voire d'un bien "immatériel" tel que de l'argent, du temps, de l'énergie... Un jeu de marchandage est donc un jeu de négociation, où chacun des agents a un intérêt pour ce que l'autre possède et est prêt à céder tout ou une partie de ce qu'il possède. Un exemple simple est le cas d'un acheteur et d'un vendeur négociant le prix d'un objet auquel le premier attribut plus de valeur que le second. Il n'existe alors pas qu'un prix sur lequel les joueurs peuvent trouver un arrangement "convenable".

Plus généralement, on se posera la question de savoir s'il est possible, lorsque les agents ont une multitude de partages possibles, de parvenir à une répartition unique qui ne souffre pas de meilleures alternatives possibles.

Cette première partie présente la solution proposée par John Nash en 1953. La démarche entreprise est axiomatique, elle consiste donc à poser un certain nombre d'axiomes que la solution doit satisfaire. Bien choisis, ces axiomes permettent de révéler l'existence voire l'unicité d'une solution.

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