II. Processus stochastique:
1. Définition:
Soit un espace probabilisé et soit un espace
probabilisable.
Un processus stochastique (aléatoire) noté est une
famille de variables
aléatoires indicées par le temps, définies
sur le même espace , et à valeur dans
l'espace , appelé espace d'états du processus
stochastique.
t est l'instant d'observation, est l'espace
des indices.
Si est dénombrable ( ou ou ), le processus est dit
à temps discret.
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Si est non dénombrable (par exemple T = ), le
processus est dit à temps continu.
(t,s)-*8(t,s)=
cov(Xt,Xs )=
E? (Xt --pt)(Xs --ps
)]
a. Caractéristiques d'un processus stochastique :
La moyenne :
La moyenne d'un processus est définie par l'application
suivante :
6 2x
La variance :
La variance d'un processus est définie par l'application
suivante :
62
x
t-*
(t). E(Xt --
pt)2
La fonction d'autocovariance :
La fonction d'autocovariance d'un processus est définie
par l'application suivante :
8:TxT-*IR
La fonction d'autocorrélation :
La fonction d'autocorrélation d'un processus est
définie par l'application suivante :
p:TxT-*IR
(t,s)-*p(t,s)
2. Processus stationnaire
Dans une acceptation générale, on dit qu'un
processus est stationnaire si sa distribution de probabilité est la
même par translation au cours du temps. On distingue deux types de
stationnarité :
(Xt 1 , , Xtn)
a. Stationnarité stricte : (forte)
Un processus est dit strictement stationnaire si
V nE IN* ,(t
1 , t2 ,
?,t n )E
Z n , V hE Z
, la suite (Xtl+h
,.......Xtn+h) a la même
probabilité que la suite . Autrement dit :
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
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La stationnarité stricte implique que tous les moments,
s'ils existent, soient indépendants du temps.
b. Stationnarité faible :
Le processus est dit stationnaire au sens
faible, ou stationnaire au second
ordre si les premiers (moyenne ou
espérance mathématique) et second (variance et autocovariance)
moments du processus existent et sont indépendants de t :
(indépendante de t)
? X1 , 1
? T?
(indépendant de t)
: ? k ? ou si n ?
150
6 3 5
Remarque :
Si le processus est du second ordre ( ) alors la
stationnarité stricte
implique la stationnarité faible.
3. Caractéristiques d'un processus
stationnaire
n n n
A. Corrélation, autocorrélation,
corrélogramme :
La corrélation est un moyen utilisé pour
comparer l'évolution de deux ou plusieurs phénomènes.
L'autocorrélation est un concept lié à celui de la
corrélation, il s'agit d'une corrélation entre les composantes du
processus à différents décalages dans le temps. En
pratique, les coefficients d'autocorrélation sont calculés pour
des ordres allant de 0 à k,
k étant le décalage maximum tel que .
Le corrélogramme est une représentation
graphique des coefficients d'autocorrélation de retards successifs d'une
série chronologique.
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