5. Processus bruit blanc:
Un processus bruit blanc, noté est une suite de variables
aléatoires
non corrélées telles que :
? ? B ? Xt ? ?
t
5. Classes des modèles ARMA:
p
D B = 1 _ Ø B
_ Ø B 2
( ) _ ? _ Ø B Ø E IR
, V i = 1, ? ,
1 p
2 p i
a. Modèle autorégressif AR d'ordre p: 1)
Définition :
Un processus est dit autorégressif d'ordre p, noté
AR (p) s'il admet la
représentation suivante :
est un bruit blanc de variance .
En utilisant l'opérateur de retard , on obtient :
avec :
2) Chapitre VI Méthodologie de Box &
Jenkins
Condition nécessaire et suffisante de
causalité et d'inversibilité d'un AR
Une condition nécessaire et suffisante pour que le
modèle autorégressif
soit causal (annexe 1) est que les
racines de la fonction caractéristique : soient en
valeurs absolues supérieurs à 1
c'est-à-dire
|
.
|
|
D'après la définition d'inversibilité
(annexe 1), un modèle autorégressif d'ordre fini est toujours
inversible.
3) Les caractéristiques des processus AR (p)
:
· Fonction d'autocovariance :
La fonction d'autocovariance d'un processus AR (p) satisfait
une
relation de récurrence de la forme :
I ?1?1 ?
?2?2 ? ? S ? ?£
k ? 0
? ? ,/ ,/ p p avec :
k 0
1?k?1 ? 028k?2 ?
·
·
· + ? s
pk k 0
p
?
?
· Fonction d'autocorrélation simple
:(FAC)
La fonction d'autocorrélation, notée ou pk
, d'un processus AR (p)
Satisfait une relation de récurrence de
la forme :
0
?
1 k=0
0:1)(B)P(k) = 0
=Pk = b'kE Z'
0
?
1Pk-1 +
2Pk-2 +
+0pPk-p
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Ces relations sont connues sous le nom d'équation de
Yule-Walker.
La FAC est une exponentielle et /ou une sinusoïde amortie
(lorsque le processus est causal).
· Fonction d'autocorrélation partielle
:(FAP)
Les autocorrélations partielles, notées d'un
processus AR (p)
Xt =c + 01
Xt_1 +02 Xt_2 +
·
·
· +0p Xt p +Et
sont nulles pour tout ordre supérieur à p
(Pk ? 0,? k?
p) et non nulles pour tout ordre inférieur à
p. De plus on a = .
Seuls les p premiers termes de la FAP sont significativement
différents de 0.
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
b. Modèle moyenne mobile d'ordre q MA
(q):
1) Définition:
On appelle un processus moyenne mobile d'ordre q, noté MA
(q) s'il
admet la représentation suivante :
Avec : est un bruit blanc de variance
2) Condition nécessaire et suffisante
d'inversibilité et de causalité d'un MA (q):
Une condition nécessaire et suffisante pour que le
modèle moyenne mobile
soit inversible est que les racines de la fonction
caractéristique soient en valeurs absolues
D'après la définition de causalité (annexe
1), un modèle moyenne mobile d'ordre fini
est toujours causal, car c'est une combinaison linéaire
finie de processus stationnaire
.
3) Les caractéristiques des processus MA
(q):
? Fonction d'autocovariance :
2 2
(1 ? ? ? ? ? ?
2 2 ? ? ? k?
q
)
1 2 ?
La fonction d'autocovariance d'un processus MA (q) est
donnée par la relation :
( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k
?
?
?
?
?
?
?
? k
0
q
k k ? q k q )
0
1 1 ? ?
2
E(? ? ) ? 0 si j
? 0
t t ? j
E ( 2 ) 2
? ? ?
t ? j ?
?j
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? Fonction d'autocorrélation simple :
(FAC)
La fonction d'autocorrélation d'un processus MA (q) est
donnée par la relation :
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
?k
?
?k ?
? ? 1 ? ? ? ? ? ?
0 1 2 q
? 1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
k 1 k ? 1 q ?
k q
? 2 2
2 ? ?
? ? 0
|
?
Soit sous la forme MA (?) :
|
a?
avec
|
x:
?
i=1
|
|
<x:
et
|
|
a0
|
1
|
k ? 0
0?
k
k
?
La fonction d'autocorrélation simple d'un MA (q) s'annule
à partir de l'ordre q+1. c. Fonction d'autocorrélation
partielle : (FAP)
La fonction d'autocorrélation partielle d'un processus MA
(q)
défini par se comporte comme une exponentielle ou une
sinusoïdale
amortie.
c. Processus autorégressif moyenne mobile d'ordre
(p, q) ARMA(p,q):
Les processus ARMA se définissent par l'adjonction d'une
composante
autorégressive AR et d'une composante moyenne mobile
MA.
1) Définition:
On appelle un processus autorégressif moyenne mobile
d'ordre (p, q)
noté ARMA (p, q) s'il s'écrit sous la forme
suivante :
avec: : est un bruit blanc de variance .
.
.
Nous avons : ARMA (p, 0) = AR (p) et ARMA (0, q) = MA (q).
2) Condition d'inversibilité et de
causalité d'un ARMA (p, q):
Une condition nécessaire et suffisante pour que le
modèle autorégressif moyenne
mobile soit inversible est que les racines de
l'équation
caractéristique soient à l'extérieur du
cercle unitaire.
De même, il est causal si et seulement si les racines de
l'équation caractéristique
soient à l'extérieur du cercle unitaire.
? ( B )
X t ? ? ( ) ? ? 0
B i ?
i t ? i
a i
Remarque : Siet ont leurs racines à
l'extérieur du disque unité, on peut écrire
un modèle ARMA (p, q) :
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Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
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Soit sous la forme AR (?) : avec
? ? 0 : Xt
: X t ? X t ?1 ?
? t
3) Les caractéristiques des corrélogrammes
des modèles ARMA (p, q):
Les corrélogrammes simple et partiel d'un processus
ARMA (p, q) synthétisent ceux des processus AR (p) et MA (q), ils sont
un mélange de fonctions exponentielles et sinusoïdales amorties.
7. Processus non stationnaires:
Ces processus sont représentatifs de la plupart des
phénomènes aléatoires dans la mesure où d'autres
facteurs ne sont pas pris en compte en dépit de leur importance ou de
leur imprévisibilité (grève, catastrophe,...). Les cas de
non stationnarité sont représentés par :
? ? 0
X t
=X t ?1
+fl +s
t
a. Processus TS:
Les processus TS représentent une non
stationnarité de type déterministe et s'écrivent comme
suit :
Où:est une fonction du temps, linéaire ou non est
un processus stationnaire.
Soit le processus TS :
dépend du temps, ce qui implique qu'il n'est pas
stationnaire.
Pour le stationnariser, on soustrait de la valeur de en t la
valeur estimée en
utilisant la méthode des moindres
carrés ordinaires (MCO).
b. Processus DS:
Les processus DS représentent les processus non
stationnaires aléatoires
(Differency Stationnary). Ils s'expriment par
l'équation suivante :
Où un processus stationnaire.
On distingue deux types de processus :
Pour s'écrit .
Le processus DS est dit sans dérive, il est
appelé aussi marche aléatoire (Random walk). Il s'agit d'un
processus autorégressif d'ordre 1.
.
Pour : s'écrit
Le processus DS est dit avec dérive, il s'agit d'un
processus autorégressif d'ordre 1 avec constante.
Pour stationnariser ces deux processus, on utilise le filtre aux
différences.
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Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
1 2 q
? B ? ? ? B ? ?
B ? ? ? ?
( ) 1 1 2 qB
Pour :
Pour : Avec d l'ordre de différenciation
ou d'intégration.
2 Qs
® ( ) 1 1
B s = - 0 - 0 -
- 0
s s B 1 s B
? Qs B
c. Processus autorégressif moyenne mobile
intégré d'ordre (p, d,q):
Ce sont des modèles ARMA intégrés
notés ARIMA. Ils sont issus des séries stationnarisées par
l'application du filtre aux différences et ceci, bien entendu dans le
cas des processus DS détectés par le test de Dickey-Fuller
(défini dans le chapitre 3).
Le processus suit un ARIMA (p, d, q), c'est-à-dire qu'il
est solution d'une
équation aux différences stochastiques du type
.
(1 ? B )
d. Processus autorégressif moyenne mobile
intégré saisonnier:
Il est possible de trouver que certaines séries
chronologiques peuvent être caractérisées par une allure
graphique périodique, pour cela il est important de les analyser en
tenant compte de l'effet saisonnier. Box et Jenkins (1970) ont proposé
une classe de modèles particulière appelée : classe de
modèles ARIMA saisonniers.
? t ? BB ??
1) Modèles saisonniers mixtes : SARIMA
Ce sont des extensions des modèles ARMA et ARIMA. Ils
représentent généralement des séries
marquées par une saisonnalité comme c'est le plus souvent le cas
pour des séries économiques voire financières. Ces
séries peuvent mieux s'ajuster par des modèles saisonniers. Ce
sont les modèles SARIMA (p, d, q) (P, D, Q) qui répondent au
modèle:
(1 ? B)d
S D
où
:polynôme autorégressif non saisonnier d'ordre p.
: polynôme autorégressif saisonnier d'ordre P.
: polynôme moyenne mobile non saisonnier d'ordre q.
( 0, 2 )
2
: polynôme moyenne mobile saisonnier d'ordre Q.
: opérateur de différence d'ordre d.
: opérateur de différence saisonnière
d'ordre D.
, s correspond à la saisonnalité.
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
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2) Modèles saisonniers purs : (SARMA)
Un processus stochastique est dit processus autorégressif
moyenne
mobile intégré saisonnier pur d'ordre , si son
évolution satisfait la forme
suivante :
, s correspond à la saisonnalité.
| 
