3. Principe de la méthode : Il s'agit de
procéder en six étapes.
A. Stationnarisation de la série :
L'analyse des séries chronologiques est basée sur
l'hypothèse de stationnarité.
Effectivement, nous ne pouvons identifier clairement les
caractéristiques d'une chronique que si elle est stationnaire.
Pour cela, on commence tout d'abord par la détection de
la saisonnalité (à l'aide du test graphique et/ou du test
d'ANOVA). Dans le cas où il s'avère que la série est
affectée de celle-ci, il convient (d'après Box & Jenkins) de
l'enlever. Vient ensuite la détection de la tendance. Si les tests de
stationnarité de Dickey-fuller augurent que la série est
déjà stationnaire, on entamera dans ce cas la phase
d'identification. Sinon, notre série est affectée d'une tendance
de type DS ou TS. Dans ce cas, on doit la stationnariser.
Une fois la série stationnaire, on passe à la
deuxième étape.
B. Identification du modèle :
On détermine une valeur plausible pour l'ordre des
parties AR et MA, ainsi SAR et
SMA s'il existe une composante saisonnière, cette phase
est fondée sur l'étude des fonctions d'autocorrélation
simple et partielle.
C. Estimation des paramètres du modèle :
Pour cela, les méthodes les plus utilisées sont :
méthode du maximum de vraisemblance méthode des
moindres carrés ordinaires
d. Validation du modèle :
Afin de s'assurer de la robustesse et la pertinence du
modèle, on vérifie ses qualités prédictives au
moyen de tests :
1) Test concernant les paramètres : (test de
Student)
Afin que le modèle soit valide, il faut que tous les
coefficients soient significativement différent de zéro (leurs
probabilités critiques soient inférieures à 0,05). Pour
vérifier cela, on applique le test de Student. Si un coefficient n'est
pas significativement différent de zéro, on envisage une nouvelle
spécification du modèle en supprimant l'ordre AR ou MA qui n'est
pas valide et en vérifiant à chaque fois les conditions de
stationnarité et d'invérsibilité.
Chapitre VI Méthodologie de Box & Jenkins
? i ; = 2(n ? 2) ; =16 n
? 29
La règle de décision :
Si (au seuil = ), on acceptera l'hypothèse , tel que
var( p )
H 1 : « Les paramètres significativements
déférents de zéro »
2) Tests concernant les résidus :
· Test de points de retournement :
Il teste la nature aléatoire des résidus, on dira
que la suite des données
,,..., présente un point de retournement à la date
i si :
où
Soit la variable aléatoire tel que :
?
?
=
|
S'il présente un point de retournement à la date
S'il présente un point de retournement à la date t ?
??
|
|
inn Sinon
La variable aléatoire suit la loi Bernoulli de
paramètre 2/3.
Si T désigne le nombre total des points de retournement
alors on a :
3 90
.
1
n
T=
2
i?
Sous l'hypothèse que () forment une suite de variables
aléatoires Indépendantes et identiquement distribuées :
T ?
E(T)
La statistique U=
var(T
N (0,1) , pour n>50
Donc on accepte l'hypothèse : « les sont non
corrélés» si U 1.96 et cela au
?
Soit
?E(? )?m seuil
· Test de nullité de la moyenne
:
var(?t)??
2 et ? :la moyenne
calculée des résidus
?
t
.
USTHB Page 75
L'hypothèse à tester est :
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
Pour n suffisamment grand ce qui implique que :
? tn ? 1
|
:
si :
|
à
|
|
|
|
Et comme est inconnue, on l'estime par
|
|
D'où
:
|
|
On accepte l'hypothèse au seuil
|
|
|
|
S
n
?
|
1
|
|
? Test de Box Ljung :
Ce test est basé sur la statistique définie par
:
5%
?
Où : n : la taille de la série
h : l'écart entre les résidus
L'autocorrélation empirique d'écart h entre les
résidus.
Avec Q suit asymptotiquement une loi Khi-deux à (h-p-q)
degré de Liberté où : ( ? ??) ( ?
? ? )
t t?h
n?h
(? ? ? )
H :" F ? F
" contre H :" F ? F
"
0 0 1 0
n?h
?
t
?
à
? ?
1
(h)
?
USTHB Page 76
?
1
t
?
Ce test concerne les K premières autocorrélations ,
où K est égale au quart de la taille de la sérier (K=n/4)
, un modèle est cohérent si ces résidus se comportent
comme une réalisation d'un bruit blanc , il s'agit de tester
l'hypothèse nulle :
: " Les résidus sont un bruit blanc "
Contre : " les résidus ne forment pas un bruit blanc ".
On accepte au seuil si Q X (K-p-q-P-Q)
? Test de normalité : (test de
Kolmogorov-Smirnov)
Pour calculer des intervalles de confiance prévisionnels
et aussi pour effectuer les tests de Student sur les paramètres, il
convient de vérifier la normalité des erreurs.
On veut tester , où est la fonction de répartition
de la
Loi normale.
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
?
D ? ? max ? F 0 ( x
i ) ?
n i ?
i ? ? n ?
Soit l'écart maximum entre la fonction de
répartition empirique et la fonction de
Répartition . Où :
si x
(1
si x
(
~ x < x
) (2)
~ x < x
i ) ( i ~
1)
1
n
F X
n ( )
I ? I I I
1
i
n
si x
? x
(n)
USTHB Page 77
Etape du test :
Ranger les n observations par ordre croissant soit :
On calcule la fonction de répartition empirique .
.
Calculer
Déterminer à partir de la table, la valeur critique
C en fonction de n et du risque. Règle de décision
:
Si
Et si
? Test de Von-Neuman : (indépendance)
C'est un test valide dans le cas où les résidus
sont gaussiens, sous les hypothèses : H0 : « les résidus
sont indépendants et identiquement distribués » contre
H1 : « au moins deux observations successives tendent
à être corrélées » Il est fondé sur les
deux estimateurs suivants :
1 n ? 1 n
2 2 2
? ?? 1 ?
D ? ( ) 2
( ? ? S
) ? ? ?
t ? 1 t t t
n ? 1 n ? 1
t ? 1 t ? 1
? D ?
E ? ? ? 1
? 2 2
S ?
(D2 n-2
2 2
? 2 S ) n -
1
,
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
|
La statistique utilisée est :
|
D 2
? ?
? ? ? 1
2
I 2 S ? asymptotiquement suit
une
VN ?
|
|
n
|
?
|
2
|
|
n
|
2 ?
|
1
|
|
Si
|
< avec on accepte H0.
|
? Test de Durbin et Watson :
Les modèles ajustés à des séries
chronologiques manifestent parfois un certain degré de
corrélation entre les valeurs successives des erreurs. En terme
probabiliste, cela signifie que les erreurs sont autocorrélées,
ou encore qu'une erreur produite en t-1 à une influence sur l'erreur en
t. Le test de Durbin et Watson (1951) permet
de détecter
l'autocorrélation des résidus pour un ordre un
(corrélation entre et ) sous la forme :
où on teste
H0 : « » (absence d'autocorrélation à
l'ordre 1 des résidus).Contre
H1 : « » (présence d'autocorrélation
à l'ordre 1 des résidus).
La statistique de Durbin et Watson, notée DW,
est donnée par :
avec : sont les résidus de l'estimation du
modèle.
(S ? S
t t ? 1)
2
?
t
?
2
DW
n
2
t
1
n
?
S
t
?
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De par sa construction, cette statistique varie entre 0 et 4
et nous avons DW=2 lorsque (est l'estimateur de) on a :
, il existe une autocorrélation positive ;
, il existe une autocorrélation négative ;
, indique l'absence d'autocorrélation.
? Test d'hétéroscédasticité
: (l'existence d'effet ARCH)
Pour ce faire, on utilise les corrélogrammes des
carrés des résidus, si un ou plusieurs termes sont
significativement différents de zéro, on déduit qu'il y a
effet ARCH qui est détecté par la statistique de Box et Ljung,
ceci est confirmé par la statistique du Multiplicateur de Lagrange LM=n
R2 avec n = le nombre d'observations servant au calcul de la
régression.
R2= le coefficient de détermination.
Soit une spécification de type ARCH pour les erreurs tel
que :
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
USTHB Page 79
avec et Soit
l'hypothèse H0 : « » contre H1 : « non tous
nul »
Si LM < on accepte H0, la variance de l'erreur est
constante
Dans le cas contraire LM > à p degrés de
libertés compris entre 1 et 3, on rejette
H0 et le processus est justifiable d'un modèle ARCH
(p).
Si p >3 le modèle sera justifié d'un
modèle de type GARCH.
| 
