IV. Analyse spectrale :
1. Introduction:
L'objet de l'étude précédente d'une
série temporelle a été la détermination de ses
composantes et de leurs importances respectives. Pour cela, on a principalement
utilisé la fonction d'autocorrélation. Cette fonction, a comme
inconvénient majeur d'être un indicateur sommaire de
détection des différentes composantes.
En effet, quand les influences saisonnières se
combinent, la fonction d'autocorrélation reflète ces deux
phénomènes. De plus sa précision dépend directement
de la taille de la série qui diminue quand le nombre de retards tend
vers le nombre total d'observation.
Pour vérifier cette imprécision, les
statisticiens ont voulu transposer l'idée générale de
l'autocorrélation de l'espace des temps à l'espace des
fréquences.
2. Le périodogramme:
Le spectre principale fonction d'intérêt dans le
domaine des fréquences, est
essentiellement une décomposition harmonique de la
variance. Pour découvrir les périodicités cachées
de la série des taches solaires, Shuster a
proposé pour estimer le spectre la méthode du
périodogramme qui est une transformation du corrélogramme (ou
fonction d'autocorrélation) dans le domaine des
fréquences. Bartlett a suggéré une
approche basée sur l'utilisation d'une fonction d'autocovariance
pondérée cette approche est appelée : analyse
spectrale.
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3. Objectif de l'analyse spectrale:
L'analyse spectrale est une opération de moyenne sur le
périodogramme,elle détermine l'évolution de la variance
d'un processus stochastique aux différentes fréquences, elle
décompose d'une façon différente l'information contenu
dans la fonction d'autocovariance, et permet d'identifier distinctement les
influences qui gouvernent le comportement de chaque série, pour ensuite
adopter une spécification correspondante aux phénomènes
cycliques et la recherche des composantes périodiques d'une
série, plus particulièrement de composante périodique la
plus importante.
L'objectif premier de l'analyse spectrale est donc
l'identification d'une série temporelle aux principales
fréquences, l'application de cette analyse se fait sur les séries
stationnaires.
4. Concepts de l'analyse harmonique de Fourier:
Soit un vecteur F dans le plan complexe, qui s'écrit
où a et b sont des
réels, a étant la partie réelle et ib la
partie imaginaire, avec la convention i2 = -1. Pour
définir les paramètres et , oùest
l'argument, phase ou angle de phase, et est
le module ou amplitude.
Si on multiplie F par i, on a iF = ia - b, c'est un nouveau
vecteur de coordonnées (-b,
a), donc faisant un angle de avec le vecteur original. En
général en suppose que
l'amplitude est constante et que la phaseest une fonction
linéaire du temps :
où est la fréquence angulaire constante
exprimée en radians etest l'angle de
la phase initiale au temps zéro.
La fréquence angulairepeut être exprimée en
fréquence circulaire v par la relation : , ou v est exprimée en
cycle par unité de temps. La
fréquence v est donc l'inverse de la période T. la
phase peut être exprimée en fonction de
la fréquence circulaire : .
A la base de l'analyse harmonique de Fourier se trouve une
opération appelée transformation de Fourier, qui prend des formes
distinctes en fonction du type de série analysée. Ces
différentes formes ont en commun de supposer que chaque série est
constituée d'un ensemble de composantes sinusoïdales à
différentes fréquences, chacune ayant une certaine amplitude et
une phase initiale.
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Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
= 1/ 2 a + ? a w fl w
t t
cos + sin )
j j j j
? j et ? j
A titre d'exemple, on peut représenter une composante
sinusoïdale typique
d'amplitude A, de phase initiale et de fréquence v.
j = 1
La projection dans le plan complexe représente la
position des vecteurs au temps zéro d'amplitude (A/2) qui trouvent en
sens opposé l'un de l'autre, de phase et -. La somme vectorielle est
toujours réelle et retrace la courbe sinusoïdale. L'amplitude A est
la valeur maximale de l'oscillation, la période T d'une série
temporelle sera l'intervalle de temps a partir duquel l'observation se
répète.
Enfin la phase, précise l'intervalle de temps entre
l'origine des temps et le moment où l'oscillation est nulle. Ainsi une
série temporelle assimilée à une oscillation peut
s'écrie :
X t
( ) 0 (
( W E [ 0,
r ] ) en utilisant
= 1/ 2 a + ? a co fl
co
II vient :
j = 1
Où
En généralisant cette relation, on obtient pour une
fonction de période
X t
t
cos + sin )
j j j j
= 2rj / T
?
( ) 0 (
L'expression définissant X(t) est appelée fonction
trigonométrique polynomiale de
degré infini et de période T. est appelée
fréquence fondamentale. Les
fréquences (j >1) sont appelées harmoniques
d'ordre j.
Les harmoniques sont des multiples de la fréquence
?
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t
fondamentale. La série :
|
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est appelée
|
série de Fourier, et les coefficients
coefficients de Fourier.
La densité spectrale d'un processus stationnaire
décrit la répartition de la variance suivant différentes
fréquences angulaires
L'intérêt des représentations spectrales
est la mise en évidence de cycles et/ou de fluctuations d'une
série.
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
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En effet, les variances associées aux
différentes fréquences ont des amplitudes décroissantes au
fur et à mesure que l'on passe des basses fréquences aux hautes
fréquences. Pour interpréter la densité spectrale, en
termes de cycles, on s'intéresse aux pics les plus importants. Si la
densité spectrale est parallèle à l'axe des abscisses, il
n'y a aucun pic, et donc il n'existe pas de cycle : c'est le cas du bruit
blanc.
Donc si on observe un pic proche des hautes fréquences,
il peut exister un cycle de court terme, et si on observe un pic proche des
basses fréquences ; il peut exister un cycle de long terme.
Un pic sera considéré comme significatif si,
dans l'intervalle de confiance, on ne peut pas tracer une droite
parallèle à l'axe des fréquences. On peut également
considérer les valeurs spectrales multiple de.
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