2.3 La convergence des méthodes
numériques
2.3.1 L'erreur locale et l'erreur globale
Définition 2.3.1 "L'erreur locale"
Soit y (xn) la solution exacte de l'équation
différentielle et y, sa solution approchée. On appelle l'erreur
locale d'étape n la quantité
2.3 La convergence des méthodes numériques
15
Erreur globale l'erreur globale est
définit par la formule suivante :
e = max jyn - y (xn)j 0~n~N
2.3.2 Définition de la convergence
La méthode numérique est dite convergente si
|
lim
h--!0
|
e = lim
h--!0
|
max jenj = 0
0<n<N
|
Exemple 2.3.1 Om calcule l'erreur comise
dans le calcul de la solution approchée du problème de Cauchy
(2.1.1)
1. Par la méthode d'Euler
Pour n = 0, on a
e1 = jy(x1) - y1j ~
e(_(0;05)2 - 1
~~~~
=
= j0;9975 - 1j
= 0;0025
pour les autres ordres, on a
n
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
en
|
0
|
0:0025
|
0:0050
|
0:0073
|
0:0095
|
0:0115
|
0:0132
|
0:0146
|
0:0157
|
0:0164
|
0:0168
|
|
2. Par la méthode de Runge-kutta : les erreurs
calculées sont présentées dans le tableau ci-dessous
|
n
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
en
|
0
|
0:0000
|
0:0000
|
0:0001
|
0:0001
|
0:0001
|
0:0001
|
0:0001
|
0:0001
|
0:0002
|
0:0002
|
2.3 La convergence des méthodes numériques
16
Figure 3
Remarque 2.3.1 A la lumière de
tout ce qu'on vient d'énumerer dans ce chapitre on peut conclure que la
méthode de Range-Kutta nous permet d'avoir une meilleure approximation
pour la résolution d'une équation différentielle
linéaire ordinaire que la méthode d'Euler.
| 
