Sommaire
Dédicaces
Remerciements
Introduction
Problématique
Méthodologie
Exploitation des données
I. Dépouillement des questionnaires
A. Représentations des mathématiques chez les
instituteurs
B. Représentations des mathématiques chez les
professeurs de collège
II. Collectes des données
A. Recueil des données
B. Analyse des données
III. Evolution des représentations de
l'élémentaire au collège
IV. Transition entre l'élémentaire et le
collège
V. Difficultés de l'enseignement des mathématiques
à l'élémentaire
VI. Difficultés de l'enseignement des mathématiques
au collège
VII. Ressemblances entre les conceptions et perceptions de leurs
représentations
VIII. Dissemblances entre les conceptions et perceptions de leurs
représentations
CONCLUSION
Dédicaces
A chacune de nos très chères Mamans :
Mère sachez que jamais nous n'oublierons les sacrifices et
soutiens que vous avez dus consentir pour qu'on arrive à ce stade.
A chacun de nos très chers Papas :
Pères ce geste ne saurait jamais suffire pour vous
remercier et vous magnifier notre fierté ne serait-ce que pour
l'éducation que vous nous avez donnée mais aussi pour vos
soutiens et vos encouragements de tous les jours.
A chacune de nos très chères épouses .Elles
ont consenti des sacrifices pour nous attendre pendant 2 ans, le temps de
terminer notre formation.
A tous les amis et collègues qui nous ont manifesté
leurs soutiens indéfectibles.
REMERCIEMENTS
Louange à DIEU, le clément, le
Miséricordieux qui, par sa grâce, nous a donné force et
courage pour pouvoir effectuer ce travail fastidieux et passionnant.
En conformité aux exigences de la reconnaissance, nous
tenons à remercier tous ceux qui n'ont ménagé aucun effort
pour contribuer à l'heureux aboutissement de ce travail. Vous êtes
nombreux à nous apporter votre assistance technique ou
financière. Certes, nous ne pouvons pas vous citer tous ici, car la
liste est trop longue. Que toutes ces personnes reçoivent ici nos
profondes gratitudes.
Néanmoins, nous tenons particulièrement à
témoigner tous nos sincères remerciements :
-A Monsieur Moustapha Sokhna, notre professeur encadreur pour sa
disponibilité permanente tout au long de ce travail, son concours
très précieux
Et ses conseils, malgré ses occupations professionnelles.
Qu'il retrouve ici nos sincères reconnaissances.
-Aux professeurs de la FASTEF et à l'ensemble des
élèves- professeurs de la section
F1C2M/SVT.
-A l `ensemble des principaux et professeurs des
établissements concernés par notre étude. Pour leur
disponibilité ; recevez ici notre profonde gratitude.
-A l'ensemble des instituteurs et directeurs d'écoles
concernés par notre études recevez ici nos remerciements.
-A nos parents pour leur soutien permanent.
Merci à tous et à toutes !
Thème : ETUDE COMPARATIVE DES
REPRESENTATIONS DES INSTITUTEURS ET DES PROFESSEURS DE MATHEMATIQUES DE
COLLEGES DE MATHEMATIQUES
Référence : Théories
contemporaines de l'éducation, Yves BERTRAND, 4e
édition « profil pédagogique et enseignement des
mathématiques » cf. TOURISSON, (1988/1995)
INTRODUCTION
L'enseignement des mathématiques est devenu l'un des
volets les plus importants du système éducatif
sénégalais. De par les difficultés d'ordre conceptuel et
pédagogique les enseignants proposent des activités
différentes au moment des situations d'enseignement-apprentissage. Ceci
est du aux différences dans leurs représentations des
mathématiques et de son enseignement.
C'est la raison pour laquelle nous voulons faire une étude
succincte des représentations des professeurs de collège et
celles des instituteurs de l'élémentaire sur les
mathématiques et la manière de les en recherche s'articule autour
de trois parties essentielles :
-La première partie consiste à interroger
un certain nombre d'enseignants(25) des deux catégories comme
échantillon :
1- Quel est votre point de vue sur les
mathématiques ?
2- -Quel est votre point de vue sur l'enseignement des
mathématiques ?
-la deuxième partie s'intéresse aux
représentations de concepts mathématiques selon le thème
choisi.
-La troisième partie s'intéresse aux
documents et matériels didactiques choisis par chacun des deux
catégories d'enseignant.
-La dernière partie synthétise l'évolution
de la continuité et/ou complémentarité de ces
représentations en phase de transition de l'élémentaire au
collège.
Pour mieux étudier cette situation, nous allons
recueillir les données des questionnaires concernant les
représentations des mathématiques et de l'enseignement des
mathématiques chez les instituteurs puis chez les professeurs
decollège afin de déceler les ressemblances et les
dissemblances. Les principaux outils dont nous disposons pour ce travail sont
les questionnaires (Réf : Annexe 1-2-3 et 4) adressés aux
instituteurs(10) de l'élémentaire dont 05 retenus comme
échantillons. Un dépouillement sera fait puis une exploitation
sera nécessaire pour commenter et comparer leur point de vue sur les
questions posées.
Par ailleurs des outils scolaires utilisés comme
matériels ou documents didactiques choisis par ces différents
enseignants seront étudiés puis comparés afin de justifier
concrètement les représentations qu'ont ces enseignants des
mathématiques et de leurs enseignement.
*
PROBLEMATIQUE
L'enseignement des mathématiques est l'un des volets les
plus importants du système éducatif au Sénégal. Les
mathématiques permettent aux apprenants de résoudre des
problèmes liés à leur vécu quotidien, en ce sens
qu'elles se présentent comme un art, une activité
créatrice, un produit de l'imagination, de beauté et d'harmonie.
C'est aussi une discipline qui influence sur la culture car le travail en
mathématique est amusant et procure du plaisir. Mais malheureusement,
malgré qu'elles soient intéressantes, elles semblent être
difficiles quand à son apprentissage et à son enseignement.
Cette situation est liée aux représentations que les enseignants
de l'élémentaire comme ceux du moyen secondaire ont des
mathématiques.
De façon générale, l'enseignant est
guidé par ces choix didactiques influencés par un certain nombre
de facteurs. Entre autres facteurs on peut retrouver son amour pour la
discipline (mathématique) en tant que telle, son appréhension sur
les compétences à enseigner, sa représentation du
processus d'apprentissage (Thompson 1984) et son
appréciation de ses propres élèves par rapport à
leurs conceptions des mathématiques.
Selon Cobb et Steffe (1983), les
représentations des enseignants à propos de leur discipline, son
apprentissage et son enseignement déterminent les choix didactiques que
font les enseignants et provoquent ainsi différentes activités
chez les élèves et de là, différents apprentissages
potentiels. Par exemple, l'enseignant qui voit les mathématiques comme
une suite rigoureuse de règles privilégiera un enseignement
linéaire et des exercices de mises en application de ces règles.
Alors que l'enseignant qui voit les mathématiques comme une
activité d'exploration mettra plus facilement ses élèves
dans une situation de résolution de problèmes avec des
retombés sur l'apprentissage différents dans chacun de ces deux
cas.
De la même façon, à l'école
élémentaire, l'Instituteur aborde de manière superficielle
certaines notions qui ne trouvent pas leurs sens au collège. Par exemple
pour le calcul en géométrie, on parlera durant tout le cycle
primaire de calculs de surface alors qu'au
collège la surface représente un espace et non une mesure comme
pour parler d'aire.
Dans un autre registre, l'apprenant de
l'élémentaire trouve «
impossible » l'opération du genre
(10 - 305 = ?). Il sera catégorique
devant un collégien qui lui proposera un résultat
dans l'ensemble Z, car la seule explication qu'il a
reçu de son maître c'est qu'il est impossible de traiter cette
opération sans émettre de réserve. Des exemples de ce
genre très multiples posent bien la perception et la conception qu'a
cette catégorie d'enseignant pour les mathématiques.
Cette phase transitoire entre l'élémentaire et le
collège doit être prise en compte dans l'approche, pour mieux
cerner la problématique des représentations des
mathématiques aussi bien chez l'Instituteur que chez le professeur de
collège.
<<Les élèves qui réussissent ou qui
échouent en mathématiques font des gestes qui conditionnent leurs
succès ou leurs échecs ; mais ces gestes sont invisibles et
mentaux. Pourtant la connaissance de ces gestes de réussites
permettrait à l'enseignant d'aider avec précision
l'élève en difficultés en lui enseignant ses propres
moyens d'apprendre »selon TAURISSON, 1988/1995. Mais l'Instituteur de
l'élémentaire et le professeur de collège ont-ils les
mêmes méthodes d'enseignement ? La même perception des
objets mathématiques ? Comment vont-ils identifier ces gestes
mentaux ? Et comment les déterminent-ils ?
Dans certaines situations, ils ont des conceptions et des
perceptions similaires des représentations mathématiques. Les
quelles ?
Dans le domaine pédagogique, les choix didactiques se
différencient à cause de la dimension psychologique qui traduit
la rupture ou la transition entre ces deux niveaux d'étude.
Dés lors, le système éducatif
sénégalais a prévu à travers le
PDEF ; la loi d'orientation, les Etats
généraux de l'éducation et de la formation,
des occasions de formations et de renforcement de capacités des
enseignants en mathématiques. L'introduction du curriculum
dans le système est aussi un moyen d'harmoniser les
méthodes d'enseignement surtout en mathématiques, aussi bien dans
l'élémentaire que dans le moyen secondaire. Malheureusement
certains enseignants sont allergiques aux innovations et
préfèrent utiliser leurs vieilles méthodes.
Selon (Balacheff, 1988), un
enseignant mis en contact avec une théorie ou des résultats
expérimentaux contredisant une de ses conceptions ou une de ses
pratiques pourrait, après réflexion, procéder à
certaines modifications. Si, au contraire, il trouve dansla théorie une
résonance aves ses représentations et sa pratique, il y gagnerait
de la confiance et serait plus ouvert à de nouvelles
expérimentions.
Pour aborder cette réflexion consciente, il faut une nette
prise de conscience des enseignants de tout bord pour apporter de réels
changements : que l'on soit instituteur ou professeur de collège,
on a besoin de prendre conscience de ses représentations afin de les
confronter avec les pratiques de classe d'une part et, avec les contenus
d'autre part.
Robert et Robinet (1989) affirment que les
représentations ont une composante assez globale exprimable, on peut
donc essayer d'en avoir des expressions globales à travers
desquestionnaires. Ainsi nous allons adopter une approche
empirique, c'est-à-dire, partant des réponses des enseignants
(instituteurs et professeurs de collège), nous essayerons d'en
dégager des catégories de représentations, ou de
construire les profils de représentation des enseignants
consultés. Pour cet exercice, deux questions paraissent
fondamentales,
1- Qu'est ce que les mathématiques pour vous ?
2- Pourquoi enseigne t-on les mathématiques ?
METHODOLOGIE
L'objectif de notre recherche repose sur l'étude des
représentations des enseignants de l'élémentaire et
ducollège sur les concepts mathématiques et l'enseignementdes
mathématiques.A partir d'analyse de questionnaires,de documents et de
matériels nous allons élucider entre les lignes les
ressemblances et les dissemblances afin dedégager les avantages et les
inconvénients chez les enseignants selon leurs
représentations.
INDIVIDUS CIBLES :
Cette étude vise un groupe d'individus bien
déterminé à savoir :les instituteurs et les
professeurs de collège. Nous allons nous intéresser à un
nombre limité d'enseignants soit au total : 10 instituteurs et 10
professeurs proportionnellement dans 5écoles élémentaires
visitées et dans 5 collèges visités.
MATERIELS :
Il s'agit de poser des questions aux différents
enseignants ciblés à savoir :
-questionnaire1 :
représentations des mathématiques.
-questionnaire2 :
représentations de l'enseignement des mathématiques.
-questionnaire3 :
représentations des concepts mathématiques
-questionnaire4 : trier des
documents ; matériels didactiques dans ces différents
cycles d'enseignements- apprentissages et des manuels scolaires afin de
les analyser.
EXPLOITATION DES DONNEES
Cette exploitation se fera en trois(03) étapes :
-tableau1 : classification des
différentes réponses recueillies concernant les
représentations des mathématiques chez les enseignants
ciblés.
-tableau2 : classification des
différentes réponses recueillies concernant les
représentations de l'enseignement des mathématiques chez les
enseignants ciblés.
-tableau3 : analyse de documents et
matériels didactiques à l'élémentaire et au
collège.
-tableau4 : analyse de manuels
scolaires à l'élémentaire et au collège.
CONCLUSION :
Cette phase méthodologique nous permettra d'administrer
des questionnaires et de recueillir des données à exploiter et
à analyser lors de la troisième phase de notre projet de
recherche.
Au plan analyse comparative des
représentations des instituteurs et des professeurs de collège
il nous semble important d'élaborer :
1. - une catégorisation des représentations des
mathématiques qui conjugue les aspects philosophique,
épistémologique et psychologique.
2. - une catégorisation de l'enseignement des
mathématiques.
3. -une catégorisation des représentations de
concepts mathématiques
4. -une catégorisation du choix des matérielset
documents didactiques utilisés par ces différents types
d'enseignants.
Au plan instrumental, il nous parait fondamental de nous munir de
deux types d'instruments. L'un doit intégrer l'aspect quantitatif et
l'aspect qualitatif au sens où, si nous voulons sonder la pensée,
on ne peut pas nous contenter de questionner sur des représentations
recueillies dans la littérature ou sur le terrain. On ne peut donc faire
l'économie de l'entrevue.
Une fois toutes les données dépouillées,
nous entamerons la deuxième partie du projet à savoir, l'analyse
comparative des données.
I/DEPOUILLEMENT DES QUESTIONNAIRES
QUESTIONNAIRE PORTANT SUR :
A/ LES REPRESENTATIONS DES MATHEMATIQUES CHEZ LES
INSTITUTEURS ET CHEZ LES PROFESSEURS DU MOYEN SECONDAIRE
1- quel est votre point de vue sur les
mathématiques ?
sont -elles des objets ou des outils ?
REPONSES OBTENUES
-Chez les instituteurs :
I1 :--les mathématiques sont des contenus à
enseigner aux élèves pour qu'ils puissent résoudre des
problèmes de vie par le calcul, la mesure et la géométrie.
Ce qui justifie qu'elles sont des objets à utiliser dans plusieurs
situations afin de les acquérir.
I2 :--les mathématiques sont des connaissances
considérées comme une suite d'opérations sans
représentationsconcrètes et l'enfant doit le percevoir comme un
simple calcul opératoire. On peut dire aussi que les
mathématiques sont des objets déjàdécouverts et
à retenir par application.
I3 :--les mathématiques sont des règles de
calculs, de géométrie de mesure et de problèmes pratiques
à utiliser comme outils pour résoudre des situations
problèmes de la vie courante. Ainsi les contenus sont perçus
comme des outils.
I4 :--les mathématiques sont des objets
universellement acceptées et qui participent à la formation de
l'homme en particulier de l'élève à l'école et dans
son vécu quotidien :calculs de revenus familiaux,de
dépensesjournalières ,de structuration de l'espace etc. Alors ce
sont des outils
I5 :--les mathématiques sont des sciences
universelles crées à partir des observationsacceptées
partout par les hommes et améliorées à la suite de longues
recherches .Donc ce sont des hypothèsesformulées et
étudiées pour êtrerelativisées puis reconnues comme
règlesédictées.
2- quel est votre point de vue sur l'enseignement des
mathématiques ?
REPONSES OBTENUES :
-Chez les
instituteurs
I1 : --les mathématiques constituent certes une
discipline abstraite mais elles permettent de régler beaucoup de
problèmes liés à la vie courante. C'est pourquoi son
enseignement doit se reposer sur le vécu de l'élève en
s'appuyant sur la résolution de problème. Ce qui amènera
les élèves à réfléchir et à essayer
de découvrir le fait mathématique par intuition. Mais aussi de le
consolider par transfert dans d'autres situations similaires
I2 :--L'enseignement des mathématiques se fait
à travers divers registres : langagier, formel ou moyen de figures
etc. Et dans les plus petites classes il sera tout à fait
nécessaire de recourir à la concrétisation (utilisation de
bâtonnets, de cailloux...) mais aussi à la variabilité
perceptuelle ; par exemple utiliser à la fois des objets de
décomptage différents pour dégager au nombre de sa gangue
matérielle.
I3 :-l'enseignement des mathématiques doit être
reconsidéré sur le triple plan des méthodes, des supports
et de la psychologie des apprenants. En clair il s'agit de porter un regard
critique sur l'environnement scolaire.
I4 :--l'enseignement des mathématiques semble
compliqué parce qu'il faut beaucoup de supports pour impulser son
apprentissage. Vu la reforme auriculaire, son enseignement revêt toujours
de problèmes particuliers liés à un manque de mesure
d'accompagnement par rapport aux effectifs pléthoriques.
I5 :-il permet à l'enfant d'appréhender son
environnement proche et lointain, de résoudre des problèmes
économiques à travers les calculs, de transformer des surfaces,
des nombres,des éléments physiques par classement ou
comparaison.Pour sa démarche il faut aller du concret à
l'abstrait en passant par le semi-concret .En outre l'enfant doit construire sa
propre connaissance sous le contrôle du maitre.
B/ LES REPRESENTATIONS DES MATHEMATIQUES CHEZ LES
PROFESSEURS DE COLLEGE
3- quel est votre point de vue sur les
mathématiques ?
Sont-ils des objets ou des
outils ?
REPONSES OBTENUES
- chez les professeurs :
P1 :--les mathématiques sont des connaissances
admises par la société après plusieurs recherches
d'hypothèses expérimentées et validées s'appuyant
aux constats rudimentaires du vécu quotidien appelé pré
requis.Ce sont alors des outils permettant de créer des objets par la
démonstration.
P2 :--Les mathématiques sont
considérées comme des sciences appliquées dans les
activités humaines (la physique, l'informatique, lanumération,
l'architecture, l'industrie en général le développement
économique. Ce sont alors des outils de recherche et d'application.
P3 :--Les mathématiques sont plus qu'une forme de
pensée que des techniques comme le croient ceux de
l'élémentaire car la pensée, l'estimation, la
réflexion sont des activités mathématiques essentielles.
On peut dire alors que les mathématiques sont des outils pour
résoudre des problèmes.Ces outils sont aussi
considérés comme des objets car une notion déjà
découverte est objet et elle sera utilisée pour d'autres fins
comme outil.
P4 :-Les mathématiquessont un ensemble de
connaissances abstraites résultant de raisonnement logique
appliqué à divers objets tels que les nombres, les figures etc.
On considère ici les mathématiques comme étant des outils
de découverte de connaissances nouvelles.
P5 : lesmathématiques sont des connaissances et
théories à base scientifique, elles sont abstraites, imaginatives
et rigoureuses. Leur conception semble toujours difficile à
accéder pour les élèves mais on peut les aider à y
accéder en leur apprenant la démonstration. Ce donc des objets et
des outils.
4- quel est votre point de vue sur l'enseignement des
mathématiques
REPONSE OBTENUES :
- CHEZ LES PROFESSEURS
P1 :--l'enseignement des mathématiques contribue
à entrainer les élèves à la pratique d'une
démarche scientifique, d'apprendre aux élèves les
connaissances plus poussées par exemple la plénitude des
ensembles, lescalculs ,la résolution de problème, l'approche de
la géométrie et des mesures. En utilisant les
mathématiques, on est proche de la réalité pour faire
acquérir aux élèves les bases d'une culture
scientifique.
P2 : l'enseignement des mathématiques permet de
développer des capacités d'expérimentation, de
raisonnement, d'imagination et d'analyse critique. En résolvant des
problèmes, l'élève modélise des situations et
apprends progressivement à démontrer les choses. Il identifie et
formule un problème, conjecture un résultat, bâtit une
argumentation pour aboutir à une solution.
P3 : Pour enseigner les mathématiques ,il faut
partir des pré requis des élèves et les présenter
une nouvelle activité de recherche de solutions tendant vers la
découverte de l'objet à enseigner.
P4 :l'enseignement des mathématiques est difficile au
collège du fait que les élèves venant de
l'élémentaire ont déjà fixé des notions loin
d'être mathématiques et leurs modifications sont souvent rendues
difficiles à cause des noyaux durs.
P5 :-l'enseignement des mathématiques est un
processus de mise en situation des élèves exploitant des
hypothèses et à l'aide de leurs connaissances de base
c'est-à-dire leurs pré requis tenteront par la
démonstration de ces outils didactiques de trouver la solution attendue.
Et cette solution est la propriété, le théorème, la
règle de la leçon du jour ensuite il faut d'autres situations
pour réemployer ces acquis.
II/Collecte des données
A l'issue des questionnaires, nous avons recueilli les
réponses des25 enseignants : instituteurs et professeurs .Ainsi, il
a été retenu comme résumé des
réponses :
1. UNE CATEGORISATION DES REPRESENTATIONS DES
MATHEMATIQUES
1-1 -Quel est votre point de vue sur les
mathématiques ?
(Cf. Questionnaires pages
précédentes)
Analyse des données
a.chez les instituteurs :
Les mathématiques sont des outils
(nombres-formules-relations calculs opératoires-figures etc....) dont
l'acquisition permet de résoudre des problèmes de vie. L'ensemble
de ces outils acquis constitue des objets appelés connaissances
mathématiques et ces objets seront réinvestis dans d'autres
situations de résolution de problèmes
(techniques-économies-mécaniques-statistiques etc....)
d'où le schéma objet-outil et outil-objet.
b. chez les professeurs
Les mathématiques sont des objets à enseigner
aux élèves dont l'acquisition passe par l'étude des outils
s'appuyant sur la démonstration et la construction de la
connaissance : objet à enseigner. Cet objet devenu une nouvelle
connaissance,intégrera le champ des connaissances mathématiques
et permettra de fixer d'autres objets à acquérir
ultérieurement. Et dans ce cas cet objet sera considéré
comme outil pour la démonstration et la construction de la nouvelle
connaissance (objet) ; d'où le schéma : outil-objet.
Analyse comparative des
données :
Comme pour les instituteurs, les professeurs aussi
considèrent les mathématiques aux concepts : objet et outil.
Mais les relations dialectiques sont différentes selon leur
représentation.
En effet, les instituteurs et les professeurs
considèrent les mathématiques comme des outils pour les autres
sciences et pour les connaissances mathématiques en
général. Dès lors pour découvrir des
vérités mathématiques universellement approuvées,
il faut valider des outils à savoir
(théorème-axiome-définition...) par des
démonstrations ou des preuves univoques. Et ces outils seront
maniés, réétudiés dans d'autres situations pour
clarifier la pensée logique, le raisonnement, la démarche et la
résolution de problème.
En guise d'exemple, si nous nous intéressons à
l'objet : `'étude des nombres complexes'' dont l'origine date
de la nécessité de résoudre des équations
polynomiales du 3edegré où les nombres positifs et
négatifs ont été connus. La question à poser
était : comment résoudre des équations à
coefficients numériques positifs ou négatifs ayant trois racines
numériques positives ou négatives. Le besoin de calculer des
racines carrées de nombres négatifs se faisait alors sentir. Il a
fallu attendre au 18esiècle (wessel 1798) et même le
début du 19e siècle avec les travaux de Gauss pour que
ces nombres complexes acquièrent du sens. Ainsi on a :
i2=-1 ou z=3+i avec 3(partie réelle) et (partie imaginaire).
Nous disons alors qu'un tel concept est appelé outil lorsque son usage
permet de résoudre un problème. L'outil est alors engagé
par quelqu'un, dans un contexte problématique et à un moment
donné.
Par ailleurs les instituteurs et les professeurs voient les
mathématiques comme des objets en corps de connaissances. Et ces objets
peuvent êtremodifiés par les outils intégrateurs pour
créer de nouvelles connaissances Par exemple la fonction exponentielle
utilisée dans l'objet : les nombres complexes ; modifie la
constitution de celui-ci, c'est-à-dire son architecture.
C'est ainsi que e2i peut s'écrire sous la
forme :(cos2i +sin2i)/2
Cependant on note une dialectique entre l'outil et l'objet
Pour les instituteurs le schéma est le suivant :
objet-outil-objet. Et pour eux l'objet mathématique a une dimension de
savoir à un moment donné, culturellement et socialement reconnue
par tous indépendamment de ses usages et vient d'étendre les
connaissances mathématiques. Cet objet sera réutilisé et
réinvesti dans d'autres contextes et devient outil dans ce cas. Par
exemple pour l'objet « aire d'une figure » l'instituteur
utilise des situations d'enseignement-apprentissage de découvertes
nouvelles par intuition pour faire remarquer la formule de l'aire de la figure
proposée ; et dès que la figure est connue par les
élèves ceux-ci utilisent d'autres situations d'application en
guise d'objet de connaissance.
Enfin pour les professeurs le schéma est le
suivant : outil-objet .Les outils à savoir,
propriétés, théories, définitions, axiomes
déjà acquis par les élèves serviront d'outils de
connaissances pour l'installation de l'objet à enseigner. Ce passage de
l'outil à l'objet repose sur la démonstration et la
construction.
Par exemple pour enseigner l'objet : « la
bissectrice d'un angle » il faut passer par les
outils : « équidistance d'un point à une
droite » pour pouvoir démontrer que les trois bissectrices
d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du
cercle inscrit dans le triangle.
2. UNE CATEGORISATION DES REPRESENTATIONS DE
L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES
2-1.Quel est votre point de vue sur l'enseignement des
maths ?
Analyse des données
a. chez les instituteurs
Selon eux, l'enseignement des mathématiques repose sur
une liste d'objets à enseigner et à acquérir,
accompagnée de commentaires ou d'instruction sur des modalités de
mise en oeuvre. Et l'enseignant se chargera de les présenter et de les
communiquer aux élèves en faisant des choix et en prenant des
décisions : soit progresser ou remédier
Ainsi chez ces instituteurs de l'élémentaire la
connaissance à acquérir nécessite la disposition de moyens
adaptés avant d'attaquer les problèmes à résoudre
d'où l'idée de pré-requis.Et pour la découverte de
l'objet à enseigner il sera utile d'organiser les élèves
en groupe pour que ces derniers puissent rechercher individuellement avant
d'échanger leurs idées c'est la socialisation. Tout cela à
partir d'une situation problème (motivation). Par exemple pour une
leçon de géométrie dont l'objet est : le
périmètre du rectangle dont les dimensions sont données
Longueur=20m et largeur=15m ; l'instituteur procédera comme
suit :
Pour introduire cette leçon, il part d'une situation
problème à résoudre par les élèves et en
groupe. Après production écrite au tableau des différents
groupes, il faut confronter les résultats pour choisir la ou les
meilleure(s) réponse(s). Ensuite une ou deux autres situations
similaires permettront aux élèves de dégager ou
découvrir intuitivement la formule de calcul d'un
périmètre du rectangle qui est : périmètre
égale (L+l) x2.
Après institutionnalisation du percept il propose des
exercices d'application ou de consolidation pour la fixation de la
règle. Enfin c'est l'évaluation qui vient permettant à
l'instituteur de prendre une décision : proposer ou
remédier.
b.chez les professeurs
Selon les professeurs du moyen, l'enseignement des
mathématiques repose sur des outils à construire pour
créer de nouvelles connaissances appelées objets. En effet
l'objet à enseigner sera découvert par démonstration
à partir d'activité lors des situations
d'enseignement-apprentissage. Cependant la nécessité de recourir
aux pré-requis est primordiale avant toute étude
d'activité de découverte ou de construction aboutissant à
l'institutionnalisation du nouveau percept (propriété,
théorème, définition etc....) constituant l'objet à
enseigner. Par ailleurs cet objet intégrera le champ des connaissances
mathématiques de l'élève pour le réinvestissement
et la recherche de solution dans une démarche logique.
Par exemple pour étudier `'la reconnaissance d'un
triangle isocèle `' à partir des droites remarquables en
4e et/ou 5e, le professeur utilisera les outils
suivants : bissectrice, hauteur, médiane, médiatrice,
longueur des cotés, angles et équidistance. Ainsi une forte dose
de démonstration s'appuyant sur ces outils permettra de construire
l'objet qui est la nature de ce triangle. Il propose alors une activité
de construction d'un triangle ayant une bissectrice et la hauteur issue du
sommet de cette bissectrice. En utilisant la complémentarité des
angles d'un triangle rectangle, on fait constater que les angles à la
base du triangle d'origine sont égaux d'où le triangle
isocèle.
NB : la base de ce triangle
étant perpendiculaire à la bissectrice de cet objet
déjà découvert sera réinvesti dans d'autres
situations de reconnaissances c'est l'évaluation ou la consolidation. Et
pour une autre leçon cet objet deviendra outil.
3. Une catégorisation des représentations
des concepts mathématiques chez ces différents enseignants.
QUESTIONNAIRE :
3.1. Selon le thème proposé, vous
répondez par vrai ou faux, les affirmations suivantes :
1. les mathématiques sont une science, un outil pour
les autres sciences. v ou f
2. elles sont des activités utiles pour la vie de tous
les jours. v ou f
3. elles sont l'ensemble composé de la
géométrie, la numération, la mesure et des
problèmes pratiques. V ou f
4. les mathématiques s'acquièrent par la
logique, le raisonnement inductif et l'application .v ou f
5.les mathématiques s'acquièrent par la logique
le raisonnement déductif. V ou f
RECUEIL DES DONNEES :
THEMES:
instituteursprofesseurs
1. lesmathématiques sont une science, un 05/25
soit 12.5%20/25=80%
Outil pour les autres sciences ?(v :05etf :20)
(v :20 et f :05)
2. elles sont des activités utiles pour la vie
25/25 soit 100% 12/25=48%
De tous les jours ?
(v :25 et f :00) (v :12 et f :13)
3. elles sont l'ensemble compose par la
Géométrie, la numération, la mesure et
19/25 soit 100% 3/25=12%
Les problèmes pratiques.
(v :19 et f : 06) (v :03 etf :22)
4. lesmathématiques s'acquièrent par le
23/25 soit 92% 5/25=12.5%
Raisonnement inductif et l'application.
(v :23 et f :02) (v :05 et f :20)
5. lesmathématiques s'acquièrent par la
10/25 soit 40% 23/25=92%
Logique, le raisonnement déductif...
(v :10 et f :15) (v :23 et f :02)
ANALYSE DES DONNEES :
D'après le tableau ci-dessus on constate que :
-la plupart des instituteurs pensent que les
mathématiques sont des activités utiles pour la vie de tous les
jours contrairement aux professeurs decollège.
En effet ils le disent car les connaissances
mathématiques servent àmanier les nombres pour calculer,
résoudre des problèmes de vie, tracer des figures pour le
repérage et la délimitation mais aussi utiliser des unités
conventionnelles pour mesurer ou comparer des quantités, des masses, des
volumes, du temps etc....
-de même ils pensent aussi que les mathématiques
sont l'ensemble compose de la numération, de la géométrie,
de la mesure et des problèmes pratiques. Ceci peut s'expliquer par le
fait qu'ils enseignent ces disciplines dans leurs classes conformément
à leur programme officiel.
-Enfin ils pensent aussi que les connaissances
mathématiques s'acquièrent par le raisonnement inductif. On peut
l'expliquer par le fait qu'ils débutent leurs leçons
d'acquisition à partir de plusieurs situations
d'enseignement-apprentissages permettant à leurs élèves de
découvrir le fait mathématique par l'observation, la comparaison
ou l'analyse. Ainsi dès que la règle est découverte ils
proposent aux élèves des situations nouvelles pour appliquer et
consolider les acquis : c'est le transfert.
-Par contre les professeurs pensent à leur tour que les
mathématiques sont un outil, une science pour les autres sciences ;
une idée qui n'est pas bien partagée par bon nombre
d'instituteurs. Enréalité les professeurs à cause de leur
niveau plus élevé savent que les connaissances sont
étroitementliées à celles des autres sciences ; par
exemples les mathématiquesappliquées dans l'industrie, les
statistiques, l'informatique etc.
-De même, les professeurs soutiennent,contrairement aux
instituteurs, que les connaissances mathématiques s'acquièrent
par la logique et le raisonnement déductif. Cela est du au fait que les
professeurs partent du fait mathématique contenu dans l'activité
de recherche des élèves lors de la leçon qui fait appel
à la démonstration.
ETUDE COMPARATIVE DES REPONSES
OBTENUES
-Les réponses des instituteurs sont plus
élevées en pourcentage pour les questions (2-3 et 4) mais ne
reflètent pas tout à fait la réalité.
Néanmoins le fait qu'ils pensent que les mathématiques sont des
activités utiles de tous les jours(question 2), semble être
important comme intention pédagogique.
-Les réponses des professeurs sont plus
élevées en pourcentage pour les questions(1 et 5).En effet ils
pensent que les mathématiques sont un outil, une science pour les autres
sciences(question1) car elles ne sont pas crééesseules. Mais
aussi elles s'acquièrent par la logique, le raisonnement
déductif : ce qui est en conformité avec la démarche
scientifique.
4. UNE CATEGORISATION DU CHOIX DES MATERIELS ET
DOCUMENTS UTILISES PAR LES DIFFERENTS ENSEIGNANTS.
Les matériels sont de nombreux éléments
pouvant être regroupés en un ensemble, rassemblés selon
leur utilisation pour une fin concrète. Ces éléments
peuvent être physiques, virtuels ou abstraits.
Et pour les matériels didactiques ; ce sont des
outils qui facilitent l'enseignement et l'apprentissage. Ce genre de
matériel est très utilisé dans le cadre éducatif
afin de faciliter l'acquisition de concepts mathématiques
d'habiletés, d'attitudes et de dextérités.
Mais malheureusement les instituteurs et les professeurs
n'utilisent pas toujours les mêmes matériels pour les
mathématiques. Pourquoi ?
Il sera alors nécessaire de comparer les réponses
recueillies et de voir les relations entre les représentations et les
choix (documents et matériels) qu'ont les instituteurs et les
professeurs.
Recueil des données du questionnaire 4.
Questionnaire4
1- quels sont les documents et matériels
didactiques que vous choisissez pour l'enseignement des
mathématiques ?
2- Qu'est- ce qui justifie ce choix ?
Réponses des instituteurs
1-les matériels choisis sont :
-la règle graduée, l'équerre, le rapporteur
et le compas ;
-le cahier de leçons, le cahier de devoir, l'ardoise.
2-Les documents choisis sont :
Le livre de calcul, le décret 791165 (horaire et
programme
3-Justification du choix
La règle graduée permet de mesurer et de tracer
des distances, l'équerre permet de former l'angle droit, le rapporteur
pour tracer des angles et le compas sert à tracer des cercles.
Le cahier de leçons contient des traces écrites
que les élèves doivent apprendre, le cahier de devoir
reçoit les productions des élèves pour l'évaluation
des apprentissages alors que l'ardoise permet aux élèves faire de
productions lors des situations d'enseignement-apprentissage pour la fixation
de mots nouveaux
-Le livre de calcul contient des exercices et des
résumés de cours permettant aux élèves de
consolider les acquis par des exercices à la maison soit proposés
par le maitre soit exécutés par eux-mêmes.
Le décret 79-1165 portant horaires et programmes permet
aux instituteurs d'être fixés sur l'emploi du temps et les
contenus à enseigner.
Questionnaire
1- Quels sont les documents et matériels
didactiques que vous choisissez pour l'enseignement des
mathématiques ?
2- Qu'est -ce qui justifie ce choix ?
Réponses des professeurs
1.1-Les matériels didactiques :
-La règle graduée, l'équerre, le compas, le
rapporteur, le crayon.
-Le cahier de cours, le cahier d'activités de
recherches.
1.2.Les documents didactiques
-le livre d'élève
-le guide d'usage du professeur, le programme officiel.
1-3- Justification du choix
La règle graduée pour mesurer les distances,
segments, comparer les longueurs, tracer des droites, le compas pour former des
cercles et avec la règle suffisent à tracer toute sorte de figure
géométrique. ; L'équerre pour tracer des droites
perpendiculaires ; parallèles par glissement à l'aide de la
règle.
Le cahier de cours reçoit les traces écrites
à retenir par les élèves, le cahier d'activités par
les recherches des élèves pendant les activités du
cours.
-Le guide d'usage contient des contenus planifiés par le
législateur que le professeur utilisera pour bien mener ses cours et les
organiser dans le temps mais aussi des exercices d'activités du cours
bien énoncés et bien traités en guise d'exemples
pratiques.
-Le programme officiel indique au professeur ce qu'il faut
enseigner pour chaque classe.
CONCLUSION
Cette partie déjàexplorée nous fournit des
pistes intéressantes pour l'identification des difficultés
liées àl'enseignement des mathématiques à
l'élémentaire comme au collège mais aussi elle nous permet
de déceler les ressemblances et les dissemblances des
représentations des instituteurs et des professeurs decollège des
mathématiques et de leur enseignement. Enfin nous mettrons en exergue
l'évolution de ces représentations dans laphase de transition.
III/EVOLUTION DES REPRESENTATIONS DE L'ELEMENTAIRE AU
COLLEGE
Bien que les représentations des mathématiques et
leur enseignement soient significativement différentes d'une part et
semblables d'autres part ; il apparait claire une évolution en
phase de transition de l'élémentaire au collège.
En effet en ce qui concerne les connaissances
mathématiques ; les perceptions qu'ont les instituteurs sont
considérées comme limitées, liées à leur
niveau académique car la plupart d'entres sont recrutés à
partir du BFEM. Ce qui justifie leur réponse dans le questionnement 1
à savoir : Quel est votre point de vue sur les
mathématiques ?
En définitive les élèvesqui
réussissent ou qui échouent en mathématiques font des
gestes qui conditionnent leurs succès ou leurs échecs ; mais
ces gestes sont invisibles et mentaux. Pourtant la connaissance de ces gestes
de réussite permettrait à l'enseignant d'aider avec
précision l'élève en difficultés en lui enseignant
ses propres moyens d'apprendre mais l'instituteur de
l'élémentaire et leprofesseur du collège ont-ils les
mêmes types d'enseignement ; la même perception face à
cette situation ?
-Comment vont-ils identifier ces gestes mentaux ?
- Comment les déterminent-ils ?
-Dans certaines situations ils ont des perceptions similaires
des représentationsmathématiques. Lesquelles ?
Par ailleurs dans le domaine pédagogique, les choix
didactiques se différencientà cause de la dimension psychologique
qui traduit la rupture ou la transition entre l'élémentaire et le
collège.
IV/LES DIFFICULTES DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES
A L'ELEMENTAIRE ?
Généralement l'enseignement des
mathématiques à l'élémentaire se résume
malheureusement à l'adage : « je découvre,
j'apprends et j'applique malgré toutes innovations
pédagogiques. Or il est attesté que si un élève a
des connaissances en mathématiques alors il est capable d'en provoquer
le fonctionnement comme outils explicites dans des situations problèmes
qu'il doit résoudre, qu'il y ait ou non des indicateurs dans la
formulation de cette situation d'entrée. Pour être sur de cette
acquisition, l'enseignant doit intégrer dans son organisation des
moments où la classe fonctionne comme une société de
chercheurs en activité mais tel n'est pas le cas .De même par
ignorancedes concepts notionnels la plupart des instituteurs ne parviennent pas
à différencier par exemple : l'aire et la surface d'une
figure géométrique ; lechiffre et le nombreetc.
La non exploitation des matériels didactiques surtout
en géométrie ; au moment où les élèves,
pour tracer des droites perpendiculaires préfèrent utiliser la
règle et les lignes deleur cahiers ou ardoises, bien
apprécié par le maître ; parfois pour tracer le cercle
ils prennent des pièces de monnaie ou des cerceaux etc. ...
V/LES DIFFICULTES DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES
AU COLLEGE
Les professeursont toujours
considéré que les élèves venant des petites classes
c'est-à-dire de l'élémentaire ne faisaient pas de
mathématiques mais des techniques opératoires. Ainsi lors des
enseignements -apprentissages les élèves ont des problèmes
de perception des concepts et définitionsexacts des
mathématiquesdifférente de celle acquise antérieurement.
Par exemple s'il s'agit d'enseigner les nombres décimaux avec la preuve
de la division : dividende= (diviseur x produit) +reste où le
reste est considéré comme un entier pour l'instituteur alors
qu'il est considéré comme un décimal au 10e,
100e ,1000eprésetc. Pour le professeur
Du côté de la géométrie les
élèves venant de l'élémentaire montrent qu'ils
n'ont pas eu l'habitude de manier les outils didactiques(équerre,
compas, rapporteur).
VI/LES RESSEMBLANCES ENTRE LES CONCEPTIONS ET
PERCEPTIONS DE LEURS REPRESENTATIONS
Bien que les instituteurs et les professeurs aient des
représentationsdifférentes des mathématiques et de leur
enseignement, il existe néanmoins des ressemblances parmi lesquelles on
peut noter :
-pour enseigner les mathématiques il faut
nécessairement passer par des situations problèmes et que
celles-ci doivent respecter certains critères ou principes
(l'activité mentale, l'intérêt, la motivation et de la
construction, la globalité, la progression et la variabilité
etc.).
-La recherche des élèves doit être
réalisée en classe et pour cela il faut prendre la
précaution de bien installer les pré-requis.
-L'utilisation du français comme langue seconde ou
moyen de communication est un obstacle pour la compréhension des
contenus mathématiques.
- Certains concepts mathématiques sont utilisés
par les élèves dans leur vécu quotidien.
VII/LES DISSEMBLANCES ENTRE LES CONCEPTIONS ET LES
PERCEPTIONS DE LEURS REPRESENTATIONS
On note par ailleurs des dissemblances :
-Le raisonnement mathématique inductif chez les
instituteurs est déductif chez les professeurs.
- la droite définie comme une ligne à
l'élémentaire est considérée comme un ensemble de
points alignés au collège.
-la manipulation des matérielsdidactiques est
laissée rade à l'élémentaireau profit des lignes et
carreaux du cahier contrairement au collège où leur utilisation
est fondamentale surtout en construction géométrique.
VIII/LA PHASE DE TRANSITION ENTRE L'ELEMENTAIRE ET LE
COLLEGE
Il est vrai que les instituteurs pour des raisons de
considérations psychologiques et pédagogiques sont obligés
de limiter leurs contenus d'enseignement. La manière de les enseigner
pose un problème de formation de l'esprit scientifique et critique des
élèves. Il faut cependant les préparer à recevoir
des connaissances dans la continuité d'analyse et de recherche de
solutions par la démonstration.
Actuellement l'introduction de l'entrée par les
compétences à l'élémentaire et au collège
semble venir en aide à cette préoccupation .Dans le même
sens des innovotions pédagogiques avec l'apparition du programme PREMST
(projet de renforcement pour l'enseignement des mathématiques sciences
et technologiques) à l'élémentaire peut régler ce
problème de transition car elles permettent d'initier les
élèves aux aptitudes et attitudes mathématiques.
CONCLUSION GENERALE :
Plusieurs recherches montrent l'importance des
représentations des enseignants de mathématiques selon leur
discipline, son enseignement et son apprentissage et justifient que celles-ci
structurent leurs pratique et prises de décision.
Les représentations des mathématiques et de
l'enseignement des mathématiques que nous venons d'exploiter ici ne
constituent,bienévidemment qu'une partie de l'état du champ des
représentations des instituteurs de l'élémentaire et des
professeurs de collège à l'heure actuelle. Ils ont
été exposés ici pour deux raisons. Il s'agit de mettre
à la disposition critique de la communauté des chercheurs,
desformateurs, desdécideursétatiques et des enseignants ;
des moyens pour contribuer à l'analyse des modes d'enseignement, des
programmes, des méthodespédagogiques, des manuels scolaires et
matériels didactiques mais surtout des concepts mathématiques.
Des réflexions plus poussées seront
sollicitées pour permettre à l'enseignement des
mathématiques d'être univoque et cohérent de
l'élémentaire au collège.
En définitive cette recherche nous a permis de
comprendre les enjeux de ces représentations et les obstacles qu'elles
engendrent pour la continuité de la formation des apprenants dans un
esprit critique et logique.
LA TRANSITION ENTRE L'ELEMENTAIRE ET LE COLLEGE
LA DIMENSION PSYCHOLOGIQUE
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