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Zabr modelling

( Télécharger le fichier original )
par Kaiza Amouh
Ecole Polytechnique (X) - DEA Probabilités et Finance 2014
  

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RAPPORT DE STAGE

Diplôme escompté : Master Probabilités et Finance
Entreprise d'accueil: Credit Agricole CIB
Equipe GMD - Structures Rates

présenté et soutenu

par

Kaiza Amuh

le 19 Septembre 2014

Sujet du stage:

Etude du modèle ZABR et du Normal SABR

Maître de stage: Vincent Porte

Jury

M. Emmanuel Gobet, Examinateur

11

iii

Résumé

Dans ce document, nous exposons et résolvons deux problèmes rencontrés par les praticiens avec l'utilisation du modèle SABR : un problème de densité négative et un problème de contrôle des ailes. Pour le premier problème, nous proposons un modèle initialement développé par Philippe Balland, le SABR Normal. Ce dernier permet d'effectuer du pricing sans arbitrage mais présente deux inconvénients majeurs: un temps de calcul excessif et le fait même de changer de modèle de base. Le second problème quant-à lui nous amène à introduite un nouveau modèle, extension du SABR, appelé modèle ZABR. Celui-ci permet de contrôler les ailes du smile grâce à un paramètre particulier mais présente aussi des arbitrages lorsque l'on tente de faire du pricing directement avec les volatilités implicites obtenues en les injectant dans les formules de pricing usuelles de vanilles provenant des modèles de Black-Scholes et de Bachelier. Néanmoins, nous exposons une technique de migration vers un modèle à volatilité locale équivalent au ZABR, essentiellement basée sur de la projection markovienne, qui permet de faire un pricing plutôt "à la Dupire". Ceci permet effectivement d'éviter tout arbitrage, de part la construction même des modèles à volatilité locale. Nous exposons aussi deux façons de calibrer le modèle ZABR, une première assez simple mais peu précise, et une seconde plus fastidieuse découlant du modèle à volatilité locale équivalent au ZABR. Nous faisons ensuite une comparaison des différents temps de calcul et montrons enfin comment le contrôle des ailes de la volatilité implicite peut permettre une couverture plus efficace contre les risques liés à chacun des paramètres du modèle.

iv

Abstract

In this document, we highlight and solve two problems that are encountered by practitioners with the use of the SABR model : a negative density problem and a wings control problem. For the first one, we propose a model initially developed by Philippe Balland, the Normal SABR. The latter allows arbitrage-free pricing but presents two main drawbacks: an excessive computation time and the change of the basis model. The second problem leads to the introduction of a new model, an extension of SABR called ZABR. This one offers a parameter that controls the wings of the smile but also yields arbitrage while attempting a direct pricing with obtained implied volatility, using usual vanilla pricing formulae from Black-Scholes and Bachelier model. However, we expose a trick in order to migrate towards a local volatility model equivalent to ZABR, mainly based on markovian projection, that allows a "Dupire-like" pricing. Doing this completely eliminates arbitrage, because of the very construction of local volatility models. We also present two different ways to calibrate the ZABR model, a first one simple but inaccurate, and a second one which is a direct consequence of the equivalent local volatility modelling and a little bit harder to implement.

v

Acknowledgement

Foremost, I would like to express my sincere gratitude to my advisor Vincent Porte and his colleague Harry Bensusan for their continuous support for my internship, their motivation, enthusiasm, and immense knowledge. Their guidance helped me each time of my research and during the drafting of my report.

Beside my advisor, I would like to thank the whole Structured Rates team of Crédit Agricole, specially Eric N., Thomas T. and Nicolas B. for their availability and their insightful comments.

My sincere thanks also go to all my teachers, specially Emmanuel Gobet, Nicole El Karoui and Vincent Lemaire for their art of dispensing courses very clearly.

ACKNOWLEDGEMENT

? ACKNOWLEDGEMENT

vii

Contents

Résumé ..................................... iii

Abstract ..................................... iv

Acknowledgement ............................... v
Contents ..................................... vii

Introduction 1

1 Problems encountered with SABR model 3

1 Negative density problem ......................... 3

2 Wings Control ............................... 7

2 Normal SABR 11

1 Equivalent SABR local volatility ..................... 12

2 Asymptotic expansion with different base models ........... 13

3 Approximation for normal SABR .................... 15

4 Pricing formula with normal SABR as base ............... 16

3 The ZABR model 21

1 Short maturity expansion ........................ 22

2 Application to benchmark models .................... 24

2.1 Local Volatility model : case ~(ót) = 0 ............. 24

2.2 Degeneracy into a SABR model : case c(ó) = áó ....... 25

3 Expansion for the ZABR model ..................... 26

3.1 Implied volatility computation .................. 26

3.2 Graphical results ......................... 27

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