|
RAPPORT DE STAGE
Diplôme escompté : Master
Probabilités et Finance
Entreprise d'accueil: Credit
Agricole CIB
Equipe GMD - Structures Rates
présenté et soutenu
par
Kaiza Amuh
le 19 Septembre 2014
Sujet du stage:
Etude du modèle ZABR et du Normal SABR
Maître de stage: Vincent Porte
Jury
M. Emmanuel Gobet, Examinateur
11
iii
Résumé
Dans ce document, nous exposons et résolvons deux
problèmes rencontrés par les praticiens avec l'utilisation du
modèle SABR : un problème de densité négative et un
problème de contrôle des ailes. Pour le premier problème,
nous proposons un modèle initialement développé par
Philippe Balland, le SABR Normal. Ce dernier permet d'effectuer du pricing sans
arbitrage mais présente deux inconvénients majeurs: un temps de
calcul excessif et le fait même de changer de modèle de base. Le
second problème quant-à lui nous amène à introduite
un nouveau modèle, extension du SABR, appelé modèle ZABR.
Celui-ci permet de contrôler les ailes du smile grâce à un
paramètre particulier mais présente aussi des arbitrages lorsque
l'on tente de faire du pricing directement avec les volatilités
implicites obtenues en les injectant dans les formules de pricing usuelles de
vanilles provenant des modèles de Black-Scholes et de Bachelier.
Néanmoins, nous exposons une technique de migration vers un
modèle à volatilité locale équivalent au ZABR,
essentiellement basée sur de la projection markovienne, qui permet de
faire un pricing plutôt "à la Dupire". Ceci permet effectivement
d'éviter tout arbitrage, de part la construction même des
modèles à volatilité locale. Nous exposons aussi deux
façons de calibrer le modèle ZABR, une première assez
simple mais peu précise, et une seconde plus fastidieuse
découlant du modèle à volatilité locale
équivalent au ZABR. Nous faisons ensuite une comparaison des
différents temps de calcul et montrons enfin comment le contrôle
des ailes de la volatilité implicite peut permettre une couverture plus
efficace contre les risques liés à chacun des paramètres
du modèle.
iv
Abstract
In this document, we highlight and solve two problems that are
encountered by practitioners with the use of the SABR model : a negative
density problem and a wings control problem. For the first one, we propose a
model initially developed by Philippe Balland, the Normal SABR. The latter
allows arbitrage-free pricing but presents two main drawbacks: an excessive
computation time and the change of the basis model. The second problem leads to
the introduction of a new model, an extension of SABR called ZABR. This one
offers a parameter that controls the wings of the smile but also yields
arbitrage while attempting a direct pricing with obtained implied volatility,
using usual vanilla pricing formulae from Black-Scholes and Bachelier model.
However, we expose a trick in order to migrate towards a local volatility model
equivalent to ZABR, mainly based on markovian projection, that allows a
"Dupire-like" pricing. Doing this completely eliminates arbitrage, because of
the very construction of local volatility models. We also present two different
ways to calibrate the ZABR model, a first one simple but inaccurate, and a
second one which is a direct consequence of the equivalent local volatility
modelling and a little bit harder to implement.
v
Acknowledgement
Foremost, I would like to express my sincere gratitude to my
advisor Vincent Porte and his colleague Harry Bensusan for their continuous
support for my internship, their motivation, enthusiasm, and immense knowledge.
Their guidance helped me each time of my research and during the drafting of my
report.
Beside my advisor, I would like to thank the whole Structured
Rates team of Crédit Agricole, specially Eric N., Thomas T. and Nicolas
B. for their availability and their insightful comments.
My sincere thanks also go to all my teachers, specially
Emmanuel Gobet, Nicole El Karoui and Vincent Lemaire for their art of
dispensing courses very clearly.
ACKNOWLEDGEMENT
? ACKNOWLEDGEMENT
vii
Contents
Résumé ..................................... iii
Abstract ..................................... iv
Acknowledgement ............................... v
Contents
..................................... vii
Introduction 1
1 Problems encountered with SABR model 3
1 Negative density problem ......................... 3
2 Wings Control ............................... 7
2 Normal SABR 11
1 Equivalent SABR local volatility ..................... 12
2 Asymptotic expansion with different base models ...........
13
3 Approximation for normal SABR .................... 15
4 Pricing formula with normal SABR as base ............... 16
3 The ZABR model 21
1 Short maturity expansion ........................ 22
2 Application to benchmark models .................... 24
2.1 Local Volatility model : case ~(ót) = 0 .............
24
2.2 Degeneracy into a SABR model : case c(ó) =
áó ....... 25
3 Expansion for the ZABR model ..................... 26
3.1 Implied volatility computation ..................
26
3.2 Graphical results ......................... 27
| 
