Memoire Online - Fréquence optimale et fréquence de 5 minutes: Une comparaison des volatilités réalisées journalières à partir du modèle HAR-RV

Les données recueillies dans le cadre de ce travail sont des données de très hautes fréquences collectées pratiquement à la seconde. Une journée d'activité de trading commence de 9:30 am et se termine a 16 :00 PM du lundi au vendredi pour les jours non fériés de l'année en question¹⁹. Nous avons donc dans un premier temps regroupé les données en fréquences de 5 minutes ce qui nous donne 78 observations de prix pour chaque journée. Dans un second temps on a calculé la fréquence optimale à partir de la formule de Bandi et Russel M* (h?/(?(?)²)²)^1/3 où `h' est l'unité de période en secondes (dans notre cas `h' correspond a une journée d'activité de trading soit 23,400 secondes),`Q²⁰' est appelé `integreted quarticity' et est généralement remplacé par

optimale, on a choisit dans un premier temps, pour le calcul de r?⁴ et de ^?Q, une fréquence relativement basse de 15 minutes qui permette de rendre négligeable l'effet de la « microstructure noise du marché » sur leur calcul. Ensuite, on calcul un Mj²² pour chacun des 252 jours d'activités de l'année 2010 et on détermine sa valeur moyenne de sorte qu'on ait une valeur unique M*. Dans le cadre de ce travail on a trouvé une valeur M* avoisinant les 9 minutes et de ce fait, pour la simplicité des calculs on a considéré M*=9 minutes.

(?) est la volatilité réalisée journalière au temps t+1, ???(?) est la volatilité réalisée journalière au temps t, ???(?) est la volatilité réalisée hebdomadaire obtenue en faisant la moyenne arithmétique simple de la volatilité réalisée pour 5 jours ouvrables consécutifs et ??_?^(?)est la volatilité réalisée mensuelle obtenue en faisant la moyenne arithmétique simple de 20 jours ouvrables consécutifs. De ce fait, on a pu déterminer les volatilités réalisées ???(?) en prenant la racine carrée de la somme des carrés du logarithme

19 Cete consideration d'un journee d'activité est selon le New York Stock Exchange (NYSE).

21 Pour le calcul le calcul de Q? on a pris M=15 minutes afin d'éviter la microstructure noise contamination.

Volatilité Réalisée du CHK stock: Données regroupées par fréquences de 5 minutes

Les graphiques présentés dans cette partie du travail font ressortir les tendances des volatilités réalisées regroupées par fréquences de 5 minutes. La comparaison de ces dernières, mois par mois (de janvier 2010 à décembre 2010), laisse ressortir une certaine consistance dans les données sauf pour les mois de Février, Mai et Juin où il y a certaine hausse à leur début. Cette variation peut également être observée quand un graphique chronologique annuelle est réalisé et également en observant les volatilités hebdomadaires et mensuelles.

Figure 1 : Volatilités réalisées des données regroupées en fréquence de 5 minutes

Volatilité Réalisée du CHK stock: Données regroupées par fréquences optimale de 9 minutes

A peu près les mêmes tendances sont observées quand les volatilités réalisées sont regroupées par fréquences de 9 minutes que quand elles le sont par fréquences de 5 minutes. Les graphiques suivant en attestent cette similitude.

Figure 2 : Volatilités réalisées des données regroupées en fréquence de 9 minutes

Volatilité Réalisée, fréquences de 5 minutes et de 9 minutes : Comparaison

En dehors des similitudes observées au niveau de leur tendance, on a jugé bon de mettre sur un même repère les volatilités réalisées de même type. Ce faisant, on peut remarquer que les graphes sont presque toujours confondus dans le cas des volatilités journalières et hebdomadaires, sauf à quelques rares endroits. En ce qui concerne leurs volatilités réalisées

considérées mensuellement, les données regroupées en fréquence de 9 minutes attestent de volatilités généralement plus élevées que ceux regroupées en fréquence optimale de 5 minutes.

Figure 3 : Volatilités réalisées : graphiques comparés des données de 5 minutes et de 9 minutes

Une analyse descriptive des donnés journalières permet de tirer les même conclusions que précédemment.

. tabstat rvd5 rvd9 rvw5 rvw9 rvm5 rvm9, statistics( mean sd skewness kurtosis ) columns(variables)

Auto-Corrélation des Volatilités réalisées pour les séries journalières

L'analyse des graphiques et tableaux d'auto-corrélations pour les séries de volatilités réalisées attestent d'une éventuelle stationnarité (sous l'hypothèse que la variable en question est homoskedastique) pour les deux séries (Volatilités réalisées journalières regroupées en fréquences de 5 minutes et en fréquences de 9 minutes) quand on fait le calcul avec 30 retards pour les deux séries. En effet, l'auto-corrélation des erreurs tend vers 0 à partir de 19^ème retard pour la série RV(d)5 et à partir du 22^ème retard pour la série RV(d)9.

Figure 4 : Auto-corrélation des volatilités réalisées journalières : fréquence de 5 minutes

Figure 5 : Auto-corrélation des volatilités réalisées journalières : fréquence de 9 minutes

Les variables en questions sont toutes les volatilités calculées à partir du logarithme du prix du stock CHK, considérées de manière journalières, hebdomadaires ou mensuelles pour des données regroupés en fréquences de 5 et de 9 minutes. Dans le cadre de l'estimation et pour la prévision, les variables dépendantes sont notées RV(d)5 et RV(d)9 et se réfèrent respectivement aux volatilités réalisées journalières pour la période « t+1 » des séries regroupées en fréquences de 5 et 9 minutes. Les variables explicatives RV(d)5t, RV(w)5t, RV(m)5t, RV(d)9t, RV(w)9t, RV(m)9t sont respectivement les volatilités réalisées journalières, hebdomadaires et mensuelles pour la période « t » respectivement pour les séries regroupés en fréquences de 5 et 9 minutes. Le modèle HAR utilisé régresse la volatilité journalière sur la volatilité journalière retardée ainsi que sur les volatilités hebdomadaire et mensuelle, également retardées, c'est-à-dire de la période « t ». Cette partie du travail présente dans un premier temps les testes de stationnarité puis les estimations ensuite les prévisions pours les deux séries sous études.

Avant de procéder à l'estimation des paramètres du modèle, nous allons utiliser les tests Dickey-Fuller Augmenté (ADF) et Phillips-Perron (PP) pour déterminer si les séries de volatilités réalisés journalières, hebdomadaires et mensuelles sont stationnaires à travers le temps. L'hypothèse nulle de ces tests stipule que la variable contient une racine unitaire, tandis que l'hypothèse alternative indique que la série est générée par un processus stationnaire. Pour choisir le nombre optimal de retards à inclure dans la régression, nous avons utilisé le critère d'information AIC²³ (Akaike Information Criteria).

Le tableau ci-haut présente les résultats des deux tests (ADf et PP) pour les différentes séries utilisées dans l'estimation des volatilités réalisées journalières regroupées en fréquences de 5 et de 9 minutes. Selon le test ADF seulement les séries de volatilités réalisées journalières (fréquences de 5 et 9 minutes) sont stationnaires tandis que le test PP dénote la stationnarité des séries de volatilités hebdomadaires également en plus. Ceci est assez juste car le test PP est habituellement plus puissant que celui d'ADF. Michael et al (1997), soutiennent que ces problèmes peuvent être dus soit à des erreurs de mesure dans les données soit à cause de la faible puissance des tests, ou tout simplement à cause de l'absence de linéarité dans les séries. Toutefois on suppose que toutes les variables sont stationnaires pour pouvoir poursuivre notre étude.

L'estimation des paramètres du modèle HAR(3)-RV est faite par la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO)²⁴. On considère toutes les variables de l'équation ??????

(?) = c+ â^(d) ??? (?)+ â(w) ??? (?)+ â(m) ??? ^(?)+ùt+1d comme étant observées et on estime les paramètres. Cependant, dans le but de palier d'éventuels problèmes d'auto-corrélation des erreurs dans les données, on a appliqué la méthode de correction de covariance pour les séries corrélées de Newey-West. Le tableau suivant présente les résultats obtenus de l'estimation.

Le seuil critique pour un niveau d'erreur de 5% est de 1,812²⁵ et en comparant les « t » statistiques (les valeurs entre parenthèses) à ce seuil on remarque que pour le modèle avec fréquences de 5 minutes, seulement le coefficient de la volatilité réalisée hebdomadaire est significativement différent de 0 tandis que pour le modèle avec fréquences de 9 minutes seulement le coefficient de la volatilité réalisée journalière l'est. Cette non significativité de la plus part des paramètres peut être du au fait que certaines séries ne sont pas stationnaires ou bien à cause d'une présence importante de « microstructure noise» dans les séries. Comme expliqué par Corsi 2009, la non significativité des paramètres en question peut être due au fait

24 Le principe des MCO est d'estimer les coefficients de façon à minimiser l'erreur d'estimation.

de l'estimation de séries fortement affectées par la microstructure noise. En effet c'est possiblement le cas des séries RV(d)5t; RV(w)5t; RV(d)9t et RV(w)9t qui sont toutes stationnaires selon les résultats du test PP a 5%.

Une analyse d'un modèle AR(5)²⁶ sur les volatilités journalières regroupées suivant les deux fréquences utilisées, nous permet de soutenir l'hypothèse d'un possible problème de microstructure noise au niveau des données. En effet l'estimation des modèles AR(5), avec la correction de Newey West, nous montre que seulement les coefficients des volatilités réalisées avec un seul retard sont significativement différents de « 0 ».

Afin de pouvoir continuer avec notre travail et réaliser les prévisions, on va supposer que toutes les séries sont stationnaires et que les résultats d'estimations sont concluants.

Dans cette partie du travail on va procéder des exercices de prévisions hors échantillon afin de déterminer lequel des séries du CHK stock, regroupées soit en fréquences de 5 minutes soit en fréquences optimales de 9 minutes de Bandi et Russell (2007), est plus performant en utilisant le model HAR(3)-RV de Corsi (2009). En effet, l'une des utilités principales de l'estimation de volatilités est la réalisation de prévisions pouvant servir à la prise de décision.

Pour évaluer et comparer les prévisions du modèle HAR(3)-RV appliqué aux séries de CHK stock regroupées en fréquences de 5 minutes et en fréquences optimale de 9 minutes, on priorise dans le cadre de ce travail la méthode de fenêtre récursive. On a choisit de faire la prévision sur deux mois soit 40 jours ouvrables, selon notre définition d'un mois, dans le cadre de notre travail. Soit R le nombre d'observations pour l'estimation et P celui pour la prévision, on a donc a R=192 et P=40 pour les deux variables sous études (séries de volatilités réalisées journalières regroupées en fréquences de 5 minutes et de 9 minutes). Le principe de la fenêtre récursive est la suivante: On estime le modèle sur les observations de 1 à R et on fait une prévision pour R + h²⁷. On ajoute alors une nouvelle observation à l'échantillon et on ré-estime le modèle pour les

observations 1 à R+1et on fait une prévision pour R+1+h. L'échantillon avec lequel nous faisons l'estimation augmente à chaque fois.

(?) = c+ â^(d) ??? (?)+ â(w) ??? (?)+ â(m) ??? ^(?)+ùt+1d en utilisant les données pour les jours de 1 à 192 et on détermine â^? (d)(192), â? (w)( 192), â? (m)( 192), ?^?28(192). Ensuite on produit la prévision de RV(d, 193) et on la note ??? (d, 193). Ensuite on estime à nouveau le même modèle mais en considérant maintenant les données se 1 à 193 pour déterminer â^? (d)(193), â? (w)( 193), â? (m)( 193), ?^?(193) puis produire la prévision de RV(d, 194)

L'objectif de ce travail étant de comparer l'efficacité d'un regroupement des volatilités réalisées , journalières, hebdomadaires et mensuelles ,en fréquence de 5 minutes et en fréquence optimale ( qui est de 9 minutes dans notre cas), on va calculer le « Heteroskedasticity adjusted root meam square error (HRMSE) » tel que proposé par Corsi, Pirino et Renò (2010) pour chacune des deux projections et ensuite les comparer. Le modèle qui produira le HRMSE le plus faible sera considéré comme étant le meilleur dans le cadre bien précis du CHK stock. L'expression du

Les projections et calculs des HRMSE se trouvent dans les deux tableaux suivants.

Tableau # 4 Prévisions des volatilités réalisées journalières regroupées en fréquences de 5 minutes

RV(d)5tf RV(w)5tf RV(m)5tf c" b1" b2" b3" Y" Y Y-Y" (Y-Y")/Y ((Y-Y")/Y)"2 (1/40)* ((Y-Y")/Y)"2

0.0018459	0.1563002		0.6018683		0.0076421
0.0017772	0.1645432		0.5858661		0.0220828
0.0017479	0.1651393		0.5815531		0.0286278
0.0017428	0.1636357		0.5827547		0.0293956
0.0018368	0.1725239		0.5702962		0.0236012
0.0018747	0.1720189		0.5685132		0.0220048
0.0018578	0.1713607		0.5704522		0.0224127
0.0018637	0.1709753		0.5706345		0.0220171
0.001829	0.1722678		0.5700312		0.0248247
0.0018153	0.172427		0.5704733		0.0256084
0.0018023	0.172894		0.5701506		0.0268075
0.0017804	0.170913		0.5728039		0.0283278
0.0018097	0.1709216		0.5725243		0.0255466
0.0018138	0.1705714		0.5728131		0.0251709
0.00177	0.1675821		0.5783849		0.0270914
0.0017913	0.1670175		0.5782288		0.0255592
0.0017537	0.1658684		0.5773317		0.0315081
0.001782	0.1648022		0.5784558		0.0284316
0.0017729	0.1662356		0.5770919		0.0293317
0.0016938	0.1664063		0.5707775		0.0434201
0.0016851	0.1641059		0.5723782		0.0449302
0.0017792	0.1501784		0.5898017		0.0314926
0.0017234	0.1566712		0.5798423		0.0407615
0.0016855	0.1530694		0.5807374		0.0471365
0.0017167	0.1557225		0.577874		0.0442253
0.0017442	0.158738		0.5723437		0.0439705
0.0017771	0.1592116		0.568745		0.0436602
0.001772	0.1588429		0.5698252		0.0434721
0.0017849	0.1586889		0.5685018		0.0435955
0.0017709	0.1595789		0.5691348		0.0435511
0.0017296	0.1586224		0.5742235		0.0437012
0.0017297	0.1586182		0.5742241		0.0436986
0.0016885	0.1566861		0.5787317		0.045387
0.0016946	0.1562236		0.5792334		0.044698
0.0016601	0.159206		0.5747735		0.049852
0.0016252	0.1613872		0.5690936		0.0569481
0.0016141	0.1629218		0.5662217		0.0594351
0.0015826	0.1594892		0.5661395		0.0659914
0.0016092	0.1587013		0.5688399		0.061456
0.0016032	0.1579979		0.5692925		0.0622881
		0.005868819
0.007035562		0.004248532		-0.00278703		-0.655998308	0.43033378	0.010758345
0.007520017		0.00634207		-0.001177947		-0.185735409	0.034497642	0.000862441
0.007776141		0.007737261		-3.88804E-05		-0.005025087	2.52515E-05	6.31287E-07
0.008009672		0.010947599		0.002937927		0.268362687	0.072018532	0.001800463
0.006985544		0.007909681		0.000924137		0.116836185	0.013650694	0.000341267
0.006452743		0.005889717		-0.000563026		-0.09559475	0.009138356	0.000228459
0.006601513		0.006711692		0.000110179		0.016415996	0.000269485	6.73712E-06
0.006485142		0.005281377		-0.001203766		-0.227926485	0.051950483	0.001298762
0.006743892		0.006047966		-0.000695926		-0.115067763	0.01324059	0.000331015
0.006618745		0.006172305		-0.000446441		-0.072329678	0.005231582	0.00013079
0.006692729		0.005999666		-0.000693063		-0.115516972	0.013344171	0.000333604
0.006958394		0.007826758		0.000868364		0.110948083	0.012309477	0.000307737
0.006712663		0.006497243		-0.00021542		-0.033155529	0.001099289	2.74822E-05
0.00634954		0.004813758		-0.001535782		-0.319040104	0.101786588	0.002544665
0.006578762		0.007142242		0.00056348		0.078893986	0.006224261	0.000155607
0.006362125		0.005652878		-0.000709247		-0.125466593	0.015741866	0.000393547
0.007227727		0.007616882		0.000389155		0.051091075	0.002610298	6.52574E-05
0.006574		0.005820431		-0.000753568		-0.129469527	0.016762358	0.000419059
0.006147081		0.003517128		-0.002629953		-0.747755821	0.559138768	0.013978469
0.007344819		0.00738077		3.59509E-05		0.004870885	2.37255E-05	5.93138E-07
0.007900158		0.010424015		0.002523858		0.242119517	0.05862186	0.001465547
0.006648317		0.004473709		-0.002174608		-0.486086137	0.236279733	0.005906993
0.006931213		0.005434635		-0.001496579		-0.275377982	0.075833033	0.001895826
0.007524139		0.008566717		0.001042578		0.121700962	0.014811124	0.000370278
0.007040897		0.007886634		0.000845737		0.107236784	0.011499728	0.000287493
0.006588018		0.007531939		0.000943922		0.125322541	0.015705739	0.000392643
0.006161541		0.005886214		-0.000275327		-0.046774834	0.002187885	5.46971E-05
0.006103207		0.006475832		0.000372625		0.057540904	0.003310956	8.27739E-05
0.005936236		0.005228465		-0.000707771		-0.135368821	0.018324718	0.000458118
0.005791484		0.004346462		-0.001445021		-0.332459157	0.110529091	0.002763227
0.00617182		0.006004133		-0.000167686		-0.027928441	0.000779998	1.94999E-05
0.006012499		0.004565474		-0.001447025		-0.316949503	0.100456987	0.002511425
0.006472666		0.006708174		0.000235507		0.035107493	0.001232536	3.08134E-05
0.006480789		0.005215601		-0.001265188		-0.242577562	0.058843874	0.001471097
0.006717458		0.005446289		-0.001271169		-0.233400871	0.054475967	0.001361899
0.007243671		0.006585228		-0.000658443		-0.099987956	0.009997591	0.00024994
0.007190466		0.005662202		-0.001528263		-0.269906167	0.072849339	0.001821233
0.007718061		0.008778895		0.001060834		0.120839166	0.014602104	0.000365053
0.007274014		0.006955459		-0.000318555		-0.045799325	0.002097578	5.24395E-05
0.007452727		0.008403169		0.000950442		0.113105178	0.012792781	0.00031982
0.004248532		0.007437029		0.006477798
0.00634207		0.007765266		0.006786572
0.007737261		0.00783919		0.006693154
0.010947599		0.007348013		0.006578023
0.007909681		0.006368086		0.006458978
0.005889717		0.006020611		0.006457826
0.006711692		0.006042601		0.006539937
0.005281377		0.006265614		0.006498663
0.006047966		0.006508787		0.006558386
0.006172305		0.006261946		0.006517411
0.005999666		0.006455934		0.006426119
0.007826758		0.006386576		0.006426342
0.006497243		0.006344601		0.006263278
0.004813758		0.006209238		0.006273825
0.007142242		0.005949912		0.006293917
0.005652878		0.005997618		0.006209119
0.007616882		0.006951845		0.006255737
0.005820431		0.006323211		0.006158003
0.003517128		0.006246051		0.006305926
0.00738077		0.007255969		0.006477842
0.010424015		0.007357142		0.006528962
0.004473709		0.006778727		0.00632396
0.005434635		0.007061228		0.006426751
0.008566717		0.007269467		0.006485111
0.007886634		0.006601817		0.006355011
0.007531939		0.005893783		0.006252902
0.005886214		0.005588221		0.006161543
0.006475832		0.005324073		0.006182722
0.005228465		0.005370542		0.006158296
0.004346462		0.005367969		0.006242826
0.006004133		0.005587934		0.006432462
0.004565474		0.005704153		0.006480055
0.006708174		0.005923499		0.006719377
0.005215601		0.006337643		0.006720978
0.005446289		0.006685615		0.006971874
0.006585228		0.007276991		0.007276991
0.005662202		0.007437161		0.007449931
0.008778895		0.007426378		0.008045841
0.006955459		0.007188374		0.007679314
0.008403169		0.007023501		0.008403169

Tableau # 5 Prévisions des volatilités réalisées journalières regroupées en fréquences optimales de 9 minutes

RV(d)9tf RV(w)9tf RV(m)9tf c" b1" b2" b3" Y" Y Y-Y" (Y-Y")/Y ((Y-Y")/Y)"2 (1/40)* ((Y-Y")/Y)"2

0.004248532			0.007437029		0.006379598
0.00634207			0.007765266		0.006688372
0.007737261			0.00783919		0.006594954
0.010947599			0.007348013		0.006479822
0.007909681			0.006368086		0.006360778
0.005889717			0.006020611		0.006359626
0.006711692			0.006042601		0.006441737
0.005281377			0.006265614		0.006400463
0.006047966			0.006508787		0.006460186
0.006172305			0.006261946		0.006419211
0.005999666			0.006455934		0.006327919
0.007826758			0.006386576		0.006328142
0.006497243			0.0059518		0.006165078
0.004813758			0.005816437		0.006175624
0.007142242			0.005557111		0.006195717
0.005652878			0.005604817		0.006110919
0.005652878			0.006559044		0.006157536
0.005820431			0.006323211		0.006158003
0.003517128			0.006246051		0.006150091
0.00738077			0.007255969		0.006249331
0.010424015			0.007357142		0.006165095
0.004473709			0.006778727		0.005901533
0.005434635			0.007061228		0.005921585
0.008566717			0.007269467		0.00596387
0.007886634			0.006601817		0.005856193
0.007531939			0.005893783		0.005650987
0.005886214			0.005588221		0.005539465
0.006475832			0.005324073		0.00544073
0.005228465			0.005370542		0.00532952
0.004346462			0.005367969		0.005465916
0.006004133			0.005587934		0.005594856
0.004565474			0.005704153		0.005472397
0.006708174			0.005923499		0.005982961
0.005215601			0.005714305		0.005984453
0.005446289			0.00577157		0.005911916
0.006585228			0.005821523		0.00582443
0.005662202			0.005535032		0.005701916
0.005662202			0.00537754		0.005634773
0.00550193			0.005501166		0.005500463
0.005696053			0.005683414		0.005436699
0.005152772			0.005300706		0.005347576
0.0016343	0.4988372			0.2190531		0.0789913
0.0015735	0.5045644			0.2082028		0.0900205
0.0015446	0.5049687			0.2049135		0.0957035
0.0015167	0.4983139			0.2097454		0.1001111
0.001601	0.5046873			0.2017939		0.0933165
0.0016411	0.5041005			0.2007061		0.0909254
0.0016186	0.5034672			0.2024683		0.0920309
0.0016335	0.5026033			0.2029615		0.0908822
0.0016023	0.5036406			0.2022821		0.0936587
0.0015894	0.5038038			0.2024889		0.0945826
0.0015807	0.5040811			0.2022566		0.0954257
0.0015481	0.5016975			0.2050819		0.0982425
0.0015793	0.5022696			0.2034937		0.0960373
0.0015993	0.5011631			0.2038083		0.0947347
0.001548	0.4973144			0.2111833		0.0964418
0.0015752	0.4971371			0.2099546		0.0950001
0.0015571	0.4981234			0.2086602		0.0971989
0.0015386	0.4987583			0.2080517		0.0991009
0.0015557	0.4964643			0.210267		0.097359
0.0014701	0.4965922			0.2038865		0.1123259
0.0014411	0.4912439			0.2064881		0.1179327
0.0015748	0.4764531			0.2275757		0.0971853
0.0015246	0.4806918			0.2199227		0.1059929
0.001468	0.4772629			0.2182951		0.1169314
0.0014982	0.4789231			0.2177648		0.1126093
0.0015219	0.4804558			0.2161432		0.1101519
0.001563	0.4805763			0.2153835		0.1062996
0.0015474	0.4799933			0.2163888		0.1075804
0.0015695	0.479653			0.216393		0.1054701
0.0015643	0.479908			0.2162551		0.1059211
0.0015111	0.479429			0.2177645		0.1106778
0.0015249	0.4786584			0.2185117		0.1091777
0.0014766	0.4770252			0.2213892		0.1129838
0.0014959	0.4763711			0.2212694		0.1117119
0.0014761	0.4768629			0.2213596		0.1132328
0.0014494	0.4760472			0.2227128		0.1155342
0.0014636	0.4760072			0.2223139		0.1144428
0.0014548	0.4759681			0.2226839		0.1150718
0.0014474	0.4760374			0.2227438		0.1157511
0.0014323	0.4761774			0.2226057		0.117418
		0.005868819
0.005886663		0.004248532			-0.001638131		-0.385575644	0.148668577	0.003716714
0.006992323		0.00634207			-0.000650253		-0.102530152	0.010512432	0.000262811
0.007689191		0.007737261			4.80704E-05		0.006212839	3.85994E-05	9.64984E-07
0.009161955		0.010947599			0.001785644		0.163108302	0.026604318	0.000665108
0.007471522		0.007909681			0.000438159		0.055395276	0.003068637	7.67159E-05
0.006396734		0.005889717			-0.000507017		-0.086085187	0.007410659	0.000185266
0.006813991		0.006711692			-0.000102299		-0.015241876	0.000232315	5.80787E-06
0.006141304		0.005281377			-0.000859927		-0.162822564	0.026511187	0.00066278
0.006569965		0.006047966			-0.000521999		-0.086309872	0.007449394	0.000186235
0.006574151		0.006172305			-0.000401846		-0.065104711	0.004238623	0.000105966
0.006514619		0.005999666			-0.000514954		-0.085830403	0.007366858	0.000184171
0.007406229		0.007826758			0.00042053		0.053729729	0.002886884	7.21721E-05
0.006645899		0.006497243			-0.000148656		-0.022879823	0.000523486	1.30872E-05
0.005782262		0.004813758			-0.000968504		-0.201194949	0.040479407	0.001011985
0.006871035		0.007142242			0.000271207		0.037972274	0.001441894	3.60473E-05
0.00614275		0.005652878			-0.000489873		-0.086658975	0.007509778	0.000187744
0.006340048		0.005652878			-0.00068717		-0.12156115	0.014777113	0.000369428
0.006367407		0.005820431			-0.000546976		-0.093975088	0.008831317	0.000220783
0.005213934		0.003517128			-0.001696806		-0.482440679	0.232749009	0.005818725
0.007316689		0.00738077			6.40813E-05		0.008682194	7.53805E-05	1.88451E-06
0.008808063		0.010424015			0.001615953		0.155022097	0.024031851	0.000600796
0.005822528		0.004473709			-0.001348819		-0.301499105	0.090901711	0.002272543
0.006317555		0.005434635			-0.00088292		-0.162461691	0.026393801	0.000659845
0.007840829		0.008566717			0.000725888		0.084733511	0.007179768	0.000179494
0.007372396		0.007886634			0.000514238		0.065203718	0.004251525	0.000106288
0.007037032		0.007531939			0.000494907		0.06570784	0.00431752	0.000107938
0.006184229		0.005886214			-0.000298014		-0.050629231	0.002563319	6.4083E-05
0.006393142		0.006475832			8.26904E-05		0.012769079	0.000163049	4.07623E-06
0.005801601		0.005228465			-0.000573137		-0.109618529	0.012016222	0.000300406
0.005390009		0.004346462			-0.001043546		-0.240090933	0.057643656	0.001441091
0.006225736		0.006004133			-0.000221602		-0.036908287	0.001362222	3.40555E-05
0.00555409		0.004565474			-0.000988616		-0.21654188	0.046890386	0.00117226
0.006663944		0.006708174			4.42294E-05		0.006593367	4.34725E-05	1.08681E-06
0.005913397		0.005215601			-0.000697796		-0.133790128	0.017899798	0.000447495
0.006020249		0.005446289			-0.000573959		-0.105385377	0.011106078	0.000277652
0.006553728		0.006585228			3.14999E-05		0.004783421	2.28811E-05	5.72028E-07
0.006041907		0.005662202			-0.000379704		-0.067059493	0.004496976	0.000112424
0.005995723		0.005662202			-0.00033352		-0.058902939	0.003469556	8.67389E-05
0.00592856		0.00550193			-0.00042663		-0.077541879	0.006012743	0.000150319
0.006048158		1.00550193			0.999453771		0.993984936	0.988006053	0.024700151

La réalisation d'une prévision hors échantillon suivant le principe de la fenêtre récursive nous a permis de calculer le HRMSE pour les deux modèles. Dans les tableaux précédents `??

représente la projection de la volatilité réalisée journalière pour les 2 modèles et `Y' est la volatilité réalisée observée. Les dernières colonnes des mêmes tableaux ont servi au calcul du HRMSE au fin de comparaison de la performance des deux modèles. En terme de HRMSE on peut remarquer que le modèle HAR(3)-RV regroupée suivant la fréquence optimum de 9 minutes et appliqué à la série CHK Stock du 4 janvier 2010 au 31 décembre 2010 donne une meilleure performance que si la série est regroupée en fréquence de 5 minutes. Le HRMSE de ce dernier qui est 0,027932873 est en effet supérieur à celui du précédent qui est de 0,023251856 pour une des prévisions hors échantillons sur 40 jours suivant le principe de la fenêtre récursive.

Fréquence optimale et fréquence de 5 minutes: Une comparaison des volatilités réalisées journalières à partir du modèle HAR-RV

IV- Statistiques descriptives et analyse des données