3.2 Frontière technique et efficiences
techniques
La méthode DEA est utilisée pour analyser les
efficiences relatives et les performances managériales des unités
de production utilisant les mêmes facteurs de production. Cette
méthode nous
3Voir Ryan (1997)
4Voir Fan et Gijbels (1992) et Pagan et Ullah (1999)
pour des détails 5Generalized Cross Validation
permet de comparer les efficiences relatives de l'industrie
bancaire en mesurant une frontière d' efficacité et en
déterminant les inefficiences techniques des banques par rapport a cette
frontière. Depuis les années 80, plusieurs analyses de
l'efficience de l'industrie bancaire ont adopté cette
approche6
3.2.1 Pertinence de l'approche
Pour développer une approche déterministe
d'estimation de la frontière d'efficience, on part du fait qu'il existe
une unique frontière de production du système bancaire a chaque
date. De plus, on admettra que toutes les banques contribuent a la
définition de la frontière et leur système de production
est contraint par cette unique fonction de production. Considérons Yi,t
= Ft(Xi,t) la fonction de production avec l'indice banque i = 1, ...m et
l'indice temporel t = 1, ...T. La matrice d'inputsXi,tindique le
panier de facteurs de production utilisé par la banque i a la date t. Il
est ainsi possible pour chaque banque de définir un indice d'efficience
technique. On notera ainsi:
La méthode DEA permet ainsi pour un ensemble de
production donné d'estimer les indices d'efficience de chaque
banqueAi,tE [0 1] pour tout (i, t) E {1, ..., m} x {0, ..., T}.
L'efficience telle que spécifiée a l'équation 7 est neutre
car la distance a la frontière technologique est orthogonale
àl'espace engendré par les inputs. Avec l'approche DEA, il est
possible de spécifier plusieurs types de distance a la
frontière.
Les pionniers dans l'approche DEA sont Farrell (1957) et
Afriat (1972). Deux principales tendances dominent cette méthode: le
modèle de Charnes et al. (1978) (CCR) qui consiste a maximiser le ratio
output pondéré sur input pondéré, et le
modèle de Banker et al. (1984) qui, contrairement au modèle CCR,
admet des rendements d'échelle variables. Le second modèle permet
d' estimer les coefficients d' efficience technique purs. L' approche
générale consiste a déterminer la borne supérieure
du plus petit ensemble convexe regroupant les données.
Le premier indice d' efficience développé par
Debreu (1951) est en fait un coefficient d'utilisation optimale des ressources.
Cet indice est inférieur a 1 si l'utilisation des ressources n' est pas
optimal et se décompose en:
6On peut citer a titre d'exemple Sherman et Gold
(1985), Rangan et al. (1988), Ferrier et Lovell (1990), Alyet al. (1990),
Elayasiani et Mehdian (1990), Berg et al. (1993), Brockett et al. , et
plusieurs autres publications...
· la sous utilisation des ressources physiques;
· l'inefficience technique des unités de
production;
· l'inefficience de l'organisation économique.
Debreu (1951) pour calculer cet indice multiplie la distance
entre les ressources optimales et les ressources disponibles par le prix pour
chaque bien, ensuite divise la somme sur tous les biens par l'indice
général des prix. On parle d'efficience allocative de
production.OR
OQ tel que
représenté a la figure 2 représente
l'efficience allocative telle que définie par Debreu (1951). Cet indice
ne respecte pas la caractéristique "homothétie" du fait que la
quantité disponible peut être inférieure ou
supérieure a la quantité optimale. Une autre mesure d' efficience
technique est celle de Farrell (1957) que l'on considère comme
l'efficience technique de production, soit la production maximale que l'on peut
obtenir d'un processus fixe a partir d'inputs donnés.
OQ
OP représente sur la figure 2 l'efficience technique
de production. La difficulté ici est qu'il est important pour cette
mesure de connaltre la fonction de production efficiente. D'oü
l'intérêt de rechercher dans un premier temps la fonction de
production efficiente a partir des observations avant de calculer l'efficience
de chaque unité de production. En supposant que la courbe d'isoproduit
est convexe par rapport a l'origine et que les rendements sont constants, la
courbe 88* toujours sur la figure 2 représente l'estimation
de l'isoproduit efficient.
Figure 2: Frontière d'efficience sur un ensemble
convexe: Efficience Allocative et Efficience Technique. Cette
présentation graphique est inspirée de deux graphiques de Farrell
(1957). Les unités Q et C sont efficientes dans ce système de
production hypothétique.
3.2.2 DEA : un estimateur statique
Considérons pour chaque banque i = 1, ..., N, à
chaque date t = 1, ..., T, un vecteur d'inputs Xi,t un vecteur d'outputs Yi,t E
p +. On supposera que chaque banque est soumise à une date
donnée à un unique niveau efficace de production
tel que Y*
i,t = Ft(Xi,t).Ft : X ? <+ est la
borne supérieure de l' ensemble de production à la
date t
Définition 2
Le niveau ef~cace de production est le maximum de produit
qu'une banque peut obtenir pour un panier d'inputs donné.
On appelle de façon alternative cette efficacité,
la capacité de mise en oeuvre par une banque de la technologie de
transformation disponible dans le système à la date t ou distance
à la
frontière technologique du système. On
note:ei,t= Y *
i,t- Yi,t.
De façon formelle, l' estimateur DEA de la
frontière technologique est donnée par le programme
linéaire suivant:
àFt(X)=max{YE <+/Y=
|
XN
i=1
|
ëi,tYi,t etXi,t~
|
XN
i=1
|
ëi,tUi,t} (8)
|
|
avec U les différents facteurs.
Dans cette optimisation, on a X = ?Xi,t et Y = ?Yi, t. Les
paramètres de lissage {ëi,t}N i=1 sont tels
queëi,t~ 0 etPN i=1 ëi,t= 1. Deux cas de figure
sont couramment envisagés:
· Si on n'impose aucune condition sur laPn j=1
ëj alors il s'agit d'un modèle DEA avec rendements d'
échelle constants tel que développé par Charnes et al.
(1978).
· Si par contre on considère quePn j=1
ëj= 1 on est dans le cadre d'un modèle DEA avec des
rendements d' échelle variables tel que développé par
Banker et al. (1984).
Banker (1993) formule les hypothèses suivantes pour
caractériser les ensembles de production:
· L' ensemble d' inputs est convexe et compacte
· La fonction de production Ft est croissante
monotone et concave
· La fonction de production Ft enveloppe chaque
output Yi,t à la date t
· A la date t, si une fonction satisfait aux
hypothèses de monotonicité, concavité et enveloppement,
alors elle est inférieure à Ft
De l' estimation de la frontière, l' on peut
déduire l'indice d' efcience définit au sens de Farrell (1957)
selon la minimisation suivante:
E( Yi,t, Xi, t) =
min{ë/(Yi,t/ë, Xi,t)E
Ft} (9)
Cet indice de Farrell-Debreu est l'inverse de la proportion
dans laquelle l'output peut être amélioré étant
donnés la technologie et les quantités. Cet indice sera ainsi
calculé en résolvant le problème pour chaque banque de
l'échantillon. Cet indice est égal a 1 pour les unités
efcientes et inférieur a 1 pour celles sous efficientes.
Les propriétés statistiques de l'estimateur
DEA ne sont pas faciles a mettre en évidence du fait qu'il
s'agit d'un estimateur non paramétrique (l'estimation d'un ensemble de
points). Banker (1993) montre que l'estimateur DEA est un estimateur
convergent dont la vitesse de convergence dépend du paramètre de
lissage de la fonction de production. Par contre, cet estimateur est purement
statique et sous estime énormément la vraie frontière
technologique. De plus il laisse la possibilité d'une implosion de la
technologie du fait que l'inefcience des unités les plus performantes
réduit la frontière estimée d'une période a une
autre. Pour éviter ce problème d' implosion, on considère
qu' il existe une suite croissante d' ensembles de production (R())i avec {t =
0, ..., T}7. Ainsi, pour estimer la frontière
technologique a la date T, il est important de considérer la
réunion des ensembles de production entre t = 0 et t = T, d'oü
l'intérêt de définir un estimateur dynamique.
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