1.5.2 - Répartition des décès selon
l'âge des assurés
nombre de décès
600
500
400
300
200
100
0
15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64
65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99
groupes
d'âges
décès
Graphique 2 : répartition des
décès selon l'âge des assurés ;
Source :
nos calculs
Au niveau des décès, on observe un coefficient
d'aplatissement et un coefficient d'asymétrie proches de zéro. Le
taux brut de mortalité est estimé à 7,07 %o. L'âge
moyen de décès, tous sexes confondus est de 57,1 ans et l'
âge médian de 57,6 ans. L' écart type relatif aux
décès est de 15,89 ans.
Le premier quartile est observé à 44,6 ans et
le troisième quartile est observé à 68,7 ans, signe d'une
forte concentration des décès entre ces deux âges
(jusqu'à 50 %). L'âge de la retraite normale est fixé
à 55 ans. De 15 à 19 ans, on n'enregistre qu'un seul
décès pour une population de 807 personnes. Le mode de cette
distribution se situe à 53 ans. Pour la suite de notre analyse, l' on
pourrait écarter les effectifs relatifs aux extrémités de
la distribution pour nombre insuffisant.
1.6-Calculs des quotients bruts de mortalité
Pour la population concernée, les données
suivantes sont disponibles pour les effectifs d' âge x
(x = 15ans, ,99ans)
· Le nombre moyen de personnes exposées au
risque-décès P(x) ;
· Le nombre moyen de décès D(x) sur la
période d'étude choisie.
Pour la construction des quotients bruts de mortalité,
nous avons émis l'hypothèse que toutes les observations sont
complètes et qu'aucune sortie inopinée autre que les
décès n'est possible. Les quotients bruts de mortalité
bruts qm(x) pour notre étude sont estimés par la méthode
du maximum de vraisemblance3. Ils sont égaux au ratio entre
les décès et la population soumise au risque de
décès :
qm(x) = D(x)/P(x)
Les données dont on dispose sont regroupées par
période. Ainsi, on connaît le nombre de décès D(x)
sur une période parmi les P(x) individus d'un certain âge x.
Compte tenu des données disponibles, nous supposerons que les
décès sont uniformément repartis entre les deux âges
entiers (en moyenne les décès se produisent en milieu d'
année). Cette hypothèse est acceptable pour autant que D(x) est
très faible par rapport à P(x). Si nous disposions de
données infra annuelles, il aurait été intéressant
d'utiliser la méthode de Kaplan Meier4. En effet, à
partir de sa fonction de survie, il est possible de calculer les quotients de
mortalité par âge sans émettre l' hypothèse de
répartition des décès sur [x, x+ 1].
Par ailleurs compte tenu de leur faible nombre, les effectifs
des personnes et décès aux âges inférieurs à
22 ans et supérieurs à 89 ans n' ont pas été
utilisés afin d' atténuer la variabilité des quotients de
mortalité et de satisfaire les contraintes de volume à chaque
âge (explication à la page suivante).
3 Cette méthode est exposée à la page
suivante, pour la démonstration, voir X. BRY (bibliographie)
4 Pour la description de cette méthode, voir dans le
guideline mortalité de la Commission d'Agrément en France,
disponible sur Internet
Encadré n°4 : Loi de distribution des
quotients de mortalité
Les quotients de mortalité calculés qm(x) sont
les premiers estimateurs de q(x) où q(x) est le quotient de
mortalité que l'on cherche à estimer. La probabilité de
décès de chaque personne suit une loi de Bernoulli de
paramètre q(x). La loi du nombre de décès
enregistrés parmi les P(x) bénéficiaires d'âge x
soumis au risque peut être approchée par la loi d'une somme de
P(x) lois de Bernoulli indépendantes et identiquement
distribuées, soit une loi binomiale de paramètres (P(x),
q(x)).
Puisque nous sommes dans le cas où les données
sont nombreuses, cette loi est approximée
qx-qx ()*(1())
par une loi normale de moyenne q(x) et de variance
Px ()
D x~ N (q(x),
() qx- qx
() * (1())
P x ()
) estimateur de q(x), d'où
Px
()
D x
()
q à (x) = = qm(x)
P x ()
qà (x) est aussi l'estimateur du
maximum de vraisemblance. En effet, soit P(x) le nombre de
personnes observées d'âge atteint x, et soit D(x) le
nombre de personnes décédées d'âge atteint x.
Px ()
Où yi prend les valeurs :
0 si l'individu survit jusqu'à l'âge x+1 ;
1 si l'individu décède entre l'âge x et
l'âge x+1.
On fait l'hypothèse qu'à chaque âge x, la
survie ou le décès de chacune des P(x) personnes soumises au
risque est indépendant de la survie ou du décès des autres
personnes. Les estimateurs sans biais des quotients de mortalité avec
une probabiité de 95% sont :
~ ~ ~
q(xi)?
|
à q
|
()
xi
|
*
|
(1
|
-
|
à q
|
())
xi
|
Px() i
*
()1.96
xi#177;
1 ~ ~
Vi
à
q
à condition de respecter le critère de Cochran,
qui fixe le seuil minimum de décès à 5.
On vient donc d'obtenir un estimateur de q(x). Cependant, cet
estimateur n'est valable que pour des nombres suffisants de décès
de personnes observés à chaque âge. Ce n'est pas le cas
pour les âges les plus élevés où le nombre
d'assurés est très faible.
Cet estimateur obtenu à partir du modèle
binomial équivaut au taux brut de mortalité qui est défini
comme étant le rapport des décès annuels entre deux
âges consécutifs (x et x+1), à la population du groupe
d'âges considéré.
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