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Exploitation optimale dynamique d'une ressource naturelle épuisable: cas du gaz naturel en Côte d'Ivoire

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par Jean Elisee ASSI
Université de Cocody-Abidjan - DEA-PTCI en Economie 2005
  

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A. Approche analytique simple

Supposons que la demande pour une ressource naturelle de type non renouvelable soit linéaire et stable dans le temps.

L'inverse de la courbe de demande pour l'année t s'écrit alors : p t = a - bq t (1)

Le bénéfice total tiré de l'extraction d'une quantité durant l'année t est égal à l'intégrale de

qt

la fonction :

qt

Bénéfice total = =

? a - bq t dq

( )

0

b 2

? -

?? ( aq q

2

) ?

??

0

qt

(2)

 

b

BT = aq - q t (3)

2

t t 2

Nous admettons ici que coût marginal d'extraction est constant et égal à c. le coût total d'extraction d'une quantité quelconque qt sera : CT t = cqt (4)

Le stock total de la ressource exploitable estQ. L'horizon d'exploitation est T. L'allocation optimale intertemporelle suppose la recherche du bénéfice net actualisé maximum sous la contrainte de stock.

BT CT t

t -

Le bénéfice net actualisé par période s'écrit : BN t t

= (5)

(1 )

+ r

BN

Ce qui est égal ici à :

b

2

aq q cq

- -

t t t

(6)

2

t t

=

(1 )

+ r

Le programme optimal sera donc :

Max

q t

t

? t

T t t

aq q

-

2

=

1

(1 )

+ r

b

2

t-1

- cq

T

S/C

Q q

= ? t

 

t = 1

Pour résoudre ce programme on écrit le lagrangien :

b

aq q cq

2

T t t t T

- -?

= + ?

? Q q ?

2

L - ? ? (7)

1

(1 ) t t

ë

-

+ ? ?

r

t = 1 t = 1

?L a bq c

- -

t

- ë

=

avec t=1,2,.....,T (8)

1 0

=

?

q t

(1 )

+ r

t

 

T

Q q

- ? = (9)

0

t

t = 1

L'équation (8) nous indique que dans un programme d'allocation intertemporelle efficiente, les bénéfices marginaux nets actualisés doivent être égaux à ë pour chaque période, donc être égaux entre eux.

Cette équation peut être réécrite de la façon suivante :

Pt c ë

- =

(1 )t

+ r

-

1

(10)

 

Le coût marginal étant égal à c, on constate que la règle habituelle d'égalisation entre prix et coût marginal ne tient pas ici. Il s'introduit un autre terme. A la période 0 ce terme est égal àë. Il s'interprète comme la rente de rareté (ou royalty, ou coût d'usage) reflet du coût d'opportunité associé à la perte d'une unité de ressource pour la consommation future. En effet, ce prix fictif associé à la contrainte de stock retrace le changement de valeur de la fonction objectif à la suite d'une faible variation de la contrainte. On a donc une indication de l'accroissement de bénéfice résultant du maintien d'une unité supplémentaire in situ ou de la réduction de bénéfice de la disparition d'une unité supplémentaire in situ.

B. Approche planifiée, approche décentralisée, monopole

1. Exploitation intertemporelle optimale. Approche planifiée

On recherche les conditions nécessaires pour une exploitation intertemporelle optimale, dans le cadre général où les coûts sont affectés par la taille du stock résiduel.

On considère n firmes identiques dont les coûts totaux d'extraction sont du type :

C = C (y t , x t ) avec yt la production en période t et xt le stock résiduel.

Les coûts peuvent être reliés positivement, négativement au stock, ou être indépendants. On supposera en général qu'il y a une liaison négative.

Nous supposons qu'un grand nombre de firmes identiques sont sous le contrôle d'un planificateur. Il va s'agir de déterminer quelle quantité doit-on extraire de la ressource chaque

période. La mesure du bénéfice est constituée par le surplus donné par l'intégrale de la demande pour la ressource : avec ny

? n y t P z d z t = consommation dans la période t.

( )

0

Le bénéfice net est la différence entre bénéfice et coût.

T ny t

Le problème est alors du type : 0 0 ( ) ( , )

? ? -è

Max P z dz nC y x e dt

t

? ? ? ? ? ?

- t t

y t

dx

Sous contrainte de : t = -

ny t

dt

Et de x0 = Xmax

On peut traiter ce problème en termes de contrôle optimal en considérant simplement la valeur courante du hamiltonien (et non la valeur actualisée). Le hamiltonien courant pour ce problème est :

nyt

H=?

c 0

P z dz - nC y t xt - ì nyt

( ) ( , )

 

Les conditions de premier ordre sont :

· 0

? =

H c

? yt

( t )

P ny

? C

- - =

n n ì 0 (11)

? y t

~ - = -

?

ì èì

~ = + n

x t

C

?

(12)

?xt

· d x t H c

?

=

dt ì

?

 

d x

t

= - (13)

y t

 
 
 

La condition (12) conduit à un résultat plus complexe s'agissant de la règle de Hotelling. En effet, si 0

? =

? x t

marginal d'exploitation + rente de rareté) P = CmE + ë .

C

, alors on retrouve la relation fréquemment évoquée (prix = coût

Si par contre on a : 0

? <

C

comme c'est assez fréquemment le cas, alors le taux de

?xt

changement de la rente de rareté est inférieur aux taux d'intérêt.

L'écart constitué par

?
?

C

est une forme de dividende associé au maintien d'une unité dans

 
 

le stock pour sa contribution à l'abaissement du niveau des coûts d'extraction.

2. Approche en terme de concurrence / planification

Ici, au lieu d'un planificateur cherchant à rendre maximum le bénéfice social net, nous avons affaire à une firme opérant dans des conditions de concurrence pure et parfaite. Cette firme est une des n firmes considérées auparavant. Elle est en position de preneur de prix avec

p=p(ny) .

Le problème se met alors sous la forme :

T

M a x p y c y x e d t

? -

- è t

0 ( , )

[ ]

t t t

y t

d x

Avec t = -

y t

d t

x 0 = Xmax

Le hamiltonien courant pour ce problème est :

H c = py t - c(y t ,x t ) -ø y t = 0

Les conditions de premier ordre donnent notamment les deux résultats suivants :

? H

· 0

c =

? y t

( t )

p ny

(14)

?yt

ø0=

?C

- -

H c

? xt

?

· ø èø ~ - = -

?

C (15)

xt

ø è ø

~ = +

?

Les conditions sont identiques aux précédents sachant que ì =ø. Comme les équations et les paramètres sont également identiques, les solutions sont les mêmes.

3. Monopole

Compte tenu de l'importance et de la fréquence de ce type de structure de marché, il est important de s'interroger sur l'effet qu'il faut en attendre en matière de profit d'épuisement de la ressource.

Par rapport au modèle précédent une seule différence intervient, elle résulte du fait que le monopole prend en compte l'influence du niveau de production sur le prix.

?

(16)

H

?

c ?

d p C

= 0 p y d y y ø

+ - -

t 0

? =

y t t t

La rente de rareté ou royalty est alors la différence entre le revenu marginal (constitué

des deux premiers termes) et du coût marginal (troisième terme).

?

ì è ì

~ = + n

?

C

(17)

xt

En général, la production et donc le profil temporel d'utilisation de la ressource est différent de la production en situation de concurrence. Ceci dépend de la demande et de la relation entre prix et revenu marginal. Il y a bien sûr une tendance naturelle du monopole à retarder l'épuisement du stock dans la mesure où il parvient à maintenir des prix plus élevés. La figure 2 ci-dessous permet illustrer le profil d'épuisement et le profil des prix optimaux d'une ressource non renouvelable en situation d'exploitation concurrentielle et monopolistique. Il ressort de cette figure que le monopole à un profil d'épuisement plus long (48 ans) contre 28 ans en situation de concurrence dans la mesure où le monopole pratique des prix optimaux plus élevés.

Figure 1 : profil d'épuisement et des prix optimaux d'une ressource non renouvelable en situation de concurrence et de monopole

Profil d'épuisement d'une ressource non renouvelable
Exploitation concurrentielle et monopolistique

Stock résiduel

200
150

100

50

 
 
 
 
 

4

Prix

milliers

3

2

1
0

0 10 20 30 40 50

Temps t

Profil de concurrence Profil de monopole

5

Profil des prix optimaux
Exploitation concurrentielle et monopolistique

0 10 20 30 40 50

Temps t

Source : Point, P. (2004)

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"Enrichissons-nous de nos différences mutuelles "   Paul Valery