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Stockage d'information sur une structure chaotique

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par Jean-Pierre Bachy
Université Joseph Fourier Grenoble - Mémoire de recherche 1993
  

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STOCKAGE D'INFORMATION SUR UNE STRUCTURE EN BOUCLE

Jean-Pierre Bachy, MD

Séminaire de Modélisation du 7 mai 1993 TIMC IMAG

UJF Grenoble

Nous proposons un modèle de stockage d'information issu d'une réflexion sur les circuits réverbérants, supports éventuels de la mémoire à court terme. Il se prête à une recherche par le contenu de formes incomplètes ou bruitées qui l'apparente aux mémoires associatives.

Les vecteurs mémorisés sur cette structure en boucle sont quasi orthogonaux. Sachant que l'orthogonalité des images stockées est nécessaire pour obtenir une bonne mémorisation sur les réseaux de neurones on peut envisager ce mode de stockage transitoire et d' orthogonalisation comme un prétraitement d'images destinées au stockage sur mémoire associative.

Il est à noter que dans ce cas, les images étant stockées sous forme chaotique, la reconnaissance d'une image stockée sur le réseau passe obligatoirement par une phase de prétraitement.

1. Théorie de la transformation vectorielle

Dans une première partie nous décrivons la transformation vectorielle qui transforme le vecteur d'origine en un vecteur de même dimension dont les composantes sont délocalisées de façon chaotique. Lorsque certaines conditions sont remplies, l'étirement-recouvrement introduit par la fonction modulo ne fait que délocaliser les composantes sans les superposer. La transformation du vecteur est biunivoque.

1.1 Transformation d'un vecteur en un vecteur chaotique

Si on décrit un vecteur comme une suite de n composantes Ci de valeur Vi. Chaque composante a une position Ai.

Le vecteur d'origine peut s'écrire:

C1, Ci .... ,Cn de valeurs V1,Vi ,Vn

avec i {1.. n}

La transformation va porter sur la position des composantes successives du vecteur: la suite des positions va subir une permutation qui va délocaliser les composantes d'origine tout en conservant leur valeur.

Pour chaque composante Ci d'adresse Ai, on va calculer une nouvelle adresse A'i qui correspondra à la position de cette composante dans le vecteur transformé.

(1) A'i = i * b mod (n+1)

avec i {1..n}

b premier par rapport à (n+1)

Si on calcule les valeurs successives de la suite A'1 à A'n

(2) A'i = (A'i-1 + b) mod (n+1)

avec A'0 = 0

i {1.. n}

b premier par rapport à (n+1)

On remarque que la suite est de la forme

(3) Ai = (a * Ai-1 + b) mod (n+1)

avec a = 1

i {1.. n}

b premier par rapport à (n+1)

Cette formule a pour particularité de générer la suite des nombres de 1 à n dans un ordre chaotique [DEW87]. Cette suite est différente pour chaque valeur des paramètres à ceci près qu'apparaissent des récurrences lorsque le nombre de permutations possibles est atteint.

Les composantes du vecteur d'origine sont délocalisées et de manière différente pour chaque valeur du paramètre b.

Lorsqu'on fait varier b pour un même vecteur d'origine, A'1 (qui a pour valeur b mod (n+1)), joue le rôle de germe pour la série des nouvelles adresses. Sa valeur varie de 1 à n et peut prendre les n valeurs de 1 à n. A un vecteur donné on peut donc faire correspondre n vecteurs transformés si b est premier et non multiple ou sous-multiple de (n+1).

Cette transformation vectorielle est une permutation qui peut être aisément réalisée par un produit matriciel entre le vecteur d'origine d'une part et une matrice de permutation n x n (P) construite à partir de la série chaotique correspondant à un paramètre b donné.

exemple avec b = 3:

l 0

1

1

1

0 1 0 10

0

=

?

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

e

c
a

f

d

~ ~

~ b ~

a

b

c

d

e

~ ~

~ f ~

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

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