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INSTITUT DES HAUTES ÉTUDES ÉCONOMIQUES ET
COMMERCIALES
MÉMOIRE DE RECHERCHE
APPLIQUÉE
PEUT-ON EVITER LES CRISES?
MESURE DU RISQUE DE
MARCHÉ ET THÉORIE DES VALEURS EXTRæMES:
UNE VISION QUANTITATIVE DU RISQUE EXTRæME
APPLIQUÉE Ë LA CRISE DES
SUBPRIMES
MASTER : FINANCE DE MARCHÉ [SMT]
AUTEUR : J. MEILHOC
TUTEUR : A. AUBRY, QUANTITATIVE FUND MANAGER DATE : 2 JUIN
2012
RÉSUMÉ
Les récentes crises financières et
monétaires ont conduit le développement de nouveaux outils de
protection contre le risque de marché. Le théorème de la
limite centrale, qui décrit le comportement asymptotique de la moyenne
d'un grand nombre de variables indépendantes, ne semble plus
adéquat lorsque des événements rares ou extrêmes
deviennent normes, comme lors de la crise des Subprimes. A ce titre, la
Value-at-Risk, qui peut se définir comme le quantile déterminant
la plus grande perte que peut subir un portefeuille avec une probabilité
d'occurrence déterminé, permet de mesurer ce risque
extrême. La théorie des valeurs extrêmes (TVE),
étudiée dans le cadre de la recherche d'évènements
rares d'une suite de variable s aléatoires indépendantes,
associée à la Value-at-Risk peut être un excellent
indicateur. Ce mémoire de recherche prend son essence dans la recherche
des valeurs extrêmes appliquées à la Value-at-Risk, afin
d'y élaborer un modèle de prévention du risque
cohérent.
MOTS-CLÉS : FINANCE QUANTITATIVE; MODÉLISATION
MATHÉMATIQUE; PROBABILITÉS ET STATISTIQUES ; RISK MANAGEMENT ;
THÉORIE DES VALEURS EXTRæMES ; VALUE-AT-RISK (VAR)
ABSTRACT
Financial crises have become a principal concern to lead the
development of new market risk indicators. The central limit theorem, which
describes the average asymptotic behavior of a random process, does not
characterize rare or extreme events, like subprime mortgage crises do. Value at
Risk (VaR) is defined by risk exposure at a given probability level at a
specified time horizon. Computing extreme value theory (EVT), focusing on the
tails of the sample distribution, is an excellent approach for its use in
managing risks. This research paper presents an application of extreme value
theory to compute to Value-at-Risk of a market position in order to provide a
consistent risk measurment.
KEY-WORDS: QUANTITATIVE FINANCE; MATHEMATICAL MODELING;
PROBABILITY AND STATISTICS; RISK MANAGEMENT; EXTREME VALUE THEORY ;
VALUE-AT-RISK (VAR)
Introduction 6
I. Section théorique 10
I.I. Modèle de fréquence des
rentabilités anormales 10
I.I.1 Taux de rentabilités normales et anormales
11
I.I . 1 . 1 Processus d'évaluation 11
I.I . 1 .2 Procédure de test 12
I.I.2 Calcul des rentabilités anormales
12
I.I .2 . 1 Modèles théoriques 12
I. I .2 . 1 . 1 Modèle de moyenne 13
I. I .2 . 1 . 2 Modèle de marché 13
I.I .2 .2 Évaluation des paramètres 14
I.I.3 Rentabilités anormales 16
I.I.4 Test de significativité 17
I.I .4. 1 Moindres carrés ordinaires 17
I. I.4.2 Rentabilités anormales transversales et
cumulés 19
I.I .4. 3 Méthode de Brown et Warner 19
I.I .4.4 Méthode de Pattel 20
I.I .4. 5 Méthode de Bohemer, Musumeci et Poulsen 20
I.II. Mesure du risque 22
I.II.1 Mesure du risque gaussien 25
I.II. 1 . 1 Distribution de gauss 25
I. II. 1 .2 . 1 Loi des grands nombres 25
I. II. 1 .2 .2 Loi de Gauss 26
I.II. 1 . 2 Value-at-Risk classique 27
I.II.2 Distribution des valeurs extremes 29
I.II.2 1 Études fondamentales 30
I.II.2 . 2 Lois des maxima : résultat exacts 31
I.II.3 Mesure du risque extreme 33
I.II. 3 . 1 Théorème de Fisher-Tippet 33
I. II. 3.1.1 Modélisation paramétrique des maxima
par blocs 36
I. II. 3 . 1 .2 Sélection de la taille des blocs 36
I. II. 3 . 1 . 3 Estimation du modèle BM par le maximum de
vraisemblance 36
I.II. 3 . 2 Théorème de Balkema-de Haan -Picklands
39
I. II. 3 .2 . 1 Modélisation paramétrique de la
distribution des excès 42
I. II. 3 .2 .2 Estimation du modèle de seuil par le
maximum de vraisemblanc e 43
I.II. 3 . 3 4 Value -at-Risk extreme 43
3
II. Section empirique 46
II.I Mesure des fréquences anormales
46
II.I.1 Processus 46
II.I.2 Taux de rentabilités normales et anormales
52
II. I.2 . 1 Fréquences normales 52
II. I.2 . 2 Fréquences anormales 53
II.I.3 Résultat des fréquences anormales
54
II. I. 3 . 1 Rentabilités anormales stationnaires 54
II. I. 3 . 2 Rentabilités anormales cumulées 55
II.I.4 Test de significativité 56
II.II. Théorie des valeurs extremes et
Value-at-Risk 58
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