Peut-on éviter les crises? mesure du risque de marché et théorie des valeurs extrêmes : une vision quantitative du risque extrême appliquée à la crise des subprimes

I.II.2 1 ÉTUDES FONDAMENTALES

Concernant la loi faible des grands nombres, rappelons cependant les études fondamentales permettant de lier la théorie fondée sur le comportement asymptotique de la distribution d'une somme de variable aléatoire et celui de la distribution du maximum et du minimum.

²⁵ Voir Embrechts, Kluppelberg, Mikosch et Beirlant, Goegebeur, Segers, Teugels pour plus d'approfondissements.

Soit X une variable aléatoire appartenant au domaine d'attraction d'une
fonction D(G ) avec (0,2) et (b_n) une suite croissante de nombre R

telle que P(X > b_n) ~ 1 , F1 = X1 et F_n = max(X₁, X₂,..., X_n),n > 2 , alors n

lim P(Y_n > bnxn) = lim P(Y_n > bnxn) =1

n nP(X > bnxn) n nP(F_n > bnxn)

Cela nous permet de conna»tre la probabilité, pour un nombre n grand, du dépassement d'un seuil x par l'ensemble de la composition d'une suite de n variables aléatoires. Lorsqu'une de ces variables se présente de facon extreme par rapport aux valeurs prises par chacun des autres éléments de la suite, nous considérons que le seuil x a été franchi. Ceci caractérise l'événement rare dont nous cherchons à étudier la distribution.

I.II.2.2 LOIS DES MAXIMA : RÉSULTAT EXACTS

Le phénomène empirique suit une marché aléatoire, mesuré par une variable X, décrivant l'évolution du prix d'un actif financier. La variable aléatoire X présente la rentabilité logarithmique. Nous dénommons

· g_X la fonction de densité notée [l, u ]

· G_X la fonction de répartition de probabilité de la variable aléatoire X. Soit X1, X2,É, X suite de variables aléatoires aux dates 1, 2 n . Nous

n une É,

écrivons F_n la rentabilité maximum et f_n le minimum, dont ceux-ci observées sur n séances boursières. Dans la suite de notre mémoire de recherche, nous traiterons les résultats ne concernant que le maximum (F_n), car ceux obtenus au minimum (f_n) s'en déduisent en considérant la série opposée X₁, X₂,..., X_n, démontrée par l'équation suivante:

f_n(X)Min(X₁, X₂,..., X_n)

= Max( X₁, X₂,..., X_n) F_n( X)

Si les cours suivent une marche aléatoire P_t+1 = P_t + de variable X1, X2,É,

t+1 .

X_n indépendamment, alors les distributions du maximum F_n sont conférées
parG_Fn (x) = [ G_X (x)]ⁿ. Les propriétés statistiques du maximum dépendent de

GX pour les grandes valeurs de x. En ce qui concerne les autres valeurs de x, l'influence de GX(x) se révèle être de moins en moins important avec n. C'est donc dans les queues de distribution de X, par définition synonymes d'extrême, que nous allons nous pencher dans cette étude. Nous pouvons en déduire la forme de la loi limite de F_n en faisant tend re n vers l'infini et en se servant de la formule. La fonction de répartition x < u = 0 et x > u =1 . Dans ce cas, la loi limite est dégénérée parce qu'elle se réduit à une masse de Dirac²⁶ portée en u. Toutefois, les formules présentées ci-dessus présentent un intérêt limité. La loi de la variable X est rarement connue précisément en pratique, ainsi que la loi du terme maximum. Nonobstant, même si la loi de la variable X est exactement connue, le calcule de F_n peut être vecteur de difficulté. Dépossédée d'expression analytique, la distribution d'une variable normale se révèle être une intégrale incalculable.

_nème

Sa puissance nous conduit à de sérieux problèmes numériques que ce

soit pour les grandes valeurs de n ou de x. C'est pour ces différentes raisons que nous sommes astreints à étudier le comportement asymptotique du terme maximum FnÕ.

Cependant, Il existe deux théorèmes distincts capables de contourner le problème de dégénérescence. Selon la méthode employée, il s'agit du théorème de Fisher-Tippet et du Théorème Balkema-de Haan-Picklands. Nous allons rentrer dans les détails dans la section suivante.

²⁶ Dans une masse de Dirac, mesuré a partir d'un espace (X,) et un point a dans X, tel que A ,( _a(A) =1 si a A et _a(A)=0 si a A.